Inverse et puissances d'une matrice carrée

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

$A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$ . Que vaut $A^2$ ?

$\begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 9 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 6 \end{pmatrix}$

L'idée clé

On utilise $AA^{-1} = I$ et $A^n = A \times \dots \times A$ .

Pour $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ et $ad - bc \neq 0$ : $A^{-1} = \dfrac{1}{ad - bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$ .

Si $A = PDP^{-1}$ avec $D$ diagonale, alors $A^n = PD^nP^{-1}$ .

Exemple corrigé

Inverse $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{pmatrix}$ .

ad - bc = 1

Déterminant : 6 − 5.

A^{-1} = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -5 & 2 \end{pmatrix}

Formule.

À toi, guidé

À toi : que vaut $ad - bc$ pour $\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ ?

1

3 − 2.

Entraînement ★

Calcule $ad - bc$ pour $\begin{pmatrix} 9 & 1 \\ 7 & 2 \end{pmatrix}$ .
Calcule $ad - bc$ pour $\begin{pmatrix} 7 & 2 \\ 8 & 9 \end{pmatrix}$ .
Calcule $ad - bc$ pour $\begin{pmatrix} 4 & 5 \\ 4 & 7 \end{pmatrix}$ .

Attention !

Entraînement ★★

Avec $D = \begin{pmatrix} 6 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ , que vaut le coefficient en haut à gauche de $D^{ 2 }$ ?
Avec $D = \begin{pmatrix} 6 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ , que vaut le coefficient en haut à gauche de $D^{ 4 }$ ?

La matrice $\begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ est-elle inversible ?
1. Non : son déterminant est nul
2. Oui : ses coefficients sont non nuls
3. Oui : toute matrice carrée l'est

Avec $D = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ , quel est le coefficient en haut à gauche de $D^{ 4 }$ ?

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

Calcule $ad - bc$ pour $\begin{pmatrix} 9 & 1 \\ 7 & 2 \end{pmatrix}$ .
Calcule $ad - bc$ pour $\begin{pmatrix} 7 & 2 \\ 8 & 9 \end{pmatrix}$ .
Calcule $ad - bc$ pour $\begin{pmatrix} 4 & 5 \\ 4 & 7 \end{pmatrix}$ .

Fiche résumé

Inverse et puissances

$A^{-1}$ existe si $ad - bc \neq 0$ .
$A^n = PD^nP^{-1}$ .

Attention : une puissance se calcule par produit de matrices, pas terme à terme.

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