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Toutes les leçons du chapitre, prêtes pour le papier. Les séries d'exercices sont notées A, B, C… et corrigées à la fin.

Avec le corrigé

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1. Graphes : sommets, arêtes, degré, chaînes

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

Un graphe a 4 sommets, tous reliés deux à deux. Combien a-t-il d'arêtes ?

L'idée clé

Un graphe modélise des relations.

Figure non à l'échelle

Un graphe est formé de sommets reliés par des arêtes. Son ordre est son nombre de sommets. Le degré d'un sommet est le nombre d'arêtes qui en partent.

Une chaîne est une suite d'arêtes consécutives ; sa longueur est son nombre d'arêtes. Un graphe est connexe si deux sommets sont toujours reliés par une chaîne. La somme des degrés est le double du nombre d'arêtes.

Exemple corrigé

Un graphe a les degrés 3, 3, 2, 2. Combien a-t-il d'arêtes ?

3 + 3 + 2 + 2 = 10

Somme des degrés.

5

arêtes

Double du nombre d'arêtes.

À toi, guidé

À toi : combien d'arêtes a le graphe complet à 3 sommets ?

3

3 × 2 / 2.

Entraînement ★

Combien d'arêtes le graphe complet d'ordre 6 a-t-il ?
Combien d'arêtes le graphe complet d'ordre 4 a-t-il ?
Combien d'arêtes le graphe complet d'ordre 3 a-t-il ?

Attention !

Entraînement ★★

Un graphe a 13 arêtes. Quelle est la somme des degrés de ses sommets ?
Un graphe a 12 arêtes. Quelle est la somme des degrés de ses sommets ?

Dans un graphe complet d'ordre 7, quel est le degré de chaque sommet ?

La somme des degrés d'un graphe vaut 6. Combien a-t-il d'arêtes ?

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

Combien d'arêtes le graphe complet d'ordre 6 a-t-il ?
Combien d'arêtes le graphe complet d'ordre 4 a-t-il ?
Combien d'arêtes le graphe complet d'ordre 3 a-t-il ?

Fiche résumé

Graphes

Ordre : nombre de sommets.
Somme des degrés = 2 × nombre d'arêtes.

Attention : une chaîne se mesure en arêtes.

2. Matrices et opérations

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

Que vaut le coefficient en haut à gauche de $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix}$ ?

$19$
$5$

L'idée clé

Une matrice est un tableau de nombres. On multiplie ligne par colonne.

$(AB)_{ij}$ est le produit de la ligne $i$ de $A$ par la colonne $j$ de $B$ . Il faut que $A$ ait autant de colonnes que $B$ a de lignes.

En général, $AB \neq BA$ .

Exemple corrigé

Calcule $\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ .

2 \times 1 + 0 \times 2 = 2

Première ligne.

1 \times 1 + 3 \times 2 = 7

Seconde ligne.

\begin{pmatrix} 2 \\ 7 \end{pmatrix}

On écrit la colonne.

À toi, guidé

À toi : avec $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$ , calcule $AB$ .

11

3 + 8.

Entraînement ★

Avec $A = \begin{pmatrix} 5 & 4 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 0 \end{pmatrix}$ , calcule le coefficient en haut à gauche de $AB$ .
Avec $A = \begin{pmatrix} 2 & 6 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 0 \end{pmatrix}$ , calcule le coefficient en haut à gauche de $AB$ .
Avec $A = \begin{pmatrix} 1 & 6 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix} 5 & 1 \\ 4 & 0 \end{pmatrix}$ , calcule le coefficient en haut à gauche de $AB$ .

Attention !

Entraînement ★★

$A$ a 5 lignes et 4 colonnes ; $B$ a 4 lignes et 2 colonnes. Quelle est la taille de $AB$ ?
1. 5 lignes et 2 colonnes
2. 4 lignes et 4 colonnes
3. Le produit n'existe pas
$A$ a 5 lignes et 3 colonnes ; $B$ a 3 lignes et 2 colonnes. Quelle est la taille de $AB$ ?
1. 5 lignes et 2 colonnes
2. 3 lignes et 3 colonnes
3. Le produit n'existe pas

Avec $A = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ , quel est le coefficient en haut à gauche de $A + B$ ?

Avec $A = \begin{pmatrix} 9 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ , quel est le coefficient en haut à gauche de $2A$ ?

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

Avec $A = \begin{pmatrix} 5 & 4 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 0 \end{pmatrix}$ , calcule le coefficient en haut à gauche de $AB$ .
Avec $A = \begin{pmatrix} 2 & 6 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 0 \end{pmatrix}$ , calcule le coefficient en haut à gauche de $AB$ .
Avec $A = \begin{pmatrix} 1 & 6 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix} 5 & 1 \\ 4 & 0 \end{pmatrix}$ , calcule le coefficient en haut à gauche de $AB$ .

Fiche résumé

Produit de matrices

Ligne par colonne.
$AB \neq BA$ en général.

Attention : les colonnes de $A$ doivent correspondre aux lignes de $B$ .

3. Inverse et puissances d'une matrice carrée

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

$A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$ . Que vaut $A^2$ ?

$\begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 9 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 6 \end{pmatrix}$

L'idée clé

On utilise $AA^{-1} = I$ et $A^n = A \times \dots \times A$ .

Pour $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ et $ad - bc \neq 0$ : $A^{-1} = \dfrac{1}{ad - bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$ .

Si $A = PDP^{-1}$ avec $D$ diagonale, alors $A^n = PD^nP^{-1}$ .

Exemple corrigé

Inverse $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{pmatrix}$ .

ad - bc = 1

Déterminant : 6 − 5.

A^{-1} = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -5 & 2 \end{pmatrix}

Formule.

À toi, guidé

À toi : que vaut $ad - bc$ pour $\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ ?

1

3 − 2.

Entraînement ★

Calcule $ad - bc$ pour $\begin{pmatrix} 9 & 1 \\ 7 & 2 \end{pmatrix}$ .
Calcule $ad - bc$ pour $\begin{pmatrix} 7 & 2 \\ 8 & 9 \end{pmatrix}$ .
Calcule $ad - bc$ pour $\begin{pmatrix} 4 & 5 \\ 4 & 7 \end{pmatrix}$ .

Attention !

Entraînement ★★

Avec $D = \begin{pmatrix} 6 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ , que vaut le coefficient en haut à gauche de $D^{ 2 }$ ?
Avec $D = \begin{pmatrix} 6 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ , que vaut le coefficient en haut à gauche de $D^{ 4 }$ ?

La matrice $\begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ est-elle inversible ?
1. Non : son déterminant est nul
2. Oui : ses coefficients sont non nuls
3. Oui : toute matrice carrée l'est

Avec $D = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ , quel est le coefficient en haut à gauche de $D^{ 4 }$ ?

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

Calcule $ad - bc$ pour $\begin{pmatrix} 9 & 1 \\ 7 & 2 \end{pmatrix}$ .
Calcule $ad - bc$ pour $\begin{pmatrix} 7 & 2 \\ 8 & 9 \end{pmatrix}$ .
Calcule $ad - bc$ pour $\begin{pmatrix} 4 & 5 \\ 4 & 7 \end{pmatrix}$ .

Fiche résumé

Inverse et puissances

$A^{-1}$ existe si $ad - bc \neq 0$ .
$A^n = PD^nP^{-1}$ .

Attention : une puissance se calcule par produit de matrices, pas terme à terme.

4. Matrice d'adjacence et nombre de chemins

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

$A$ est la matrice d'adjacence d'un graphe. Que signifie $a_{ij} = 1$ ?

Il y a une arête de $i$ vers $j$
Le sommet $i$ a pour degré 1

L'idée clé

Les puissances de $A$ comptent les chemins.

La matrice d'adjacence $A$ a pour coefficient $a_{ij} = 1$ s'il existe une arête de $i$ vers $j$ , 0 sinon.

Le coefficient $(i ; j)$ de $A^n$ est le nombre de chemins de longueur $n$ reliant $i$ à $j$ .

Exemple corrigé

$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ . Combien de chemins de longueur 2 vont de 2 à 2 ?

A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}

Calcul de A².

2

chemins

Coefficient (2 ; 2).

À toi, guidé

À toi : avec le même $A^2$ , combien de chemins de longueur 2 vont de 1 à 1 ?

1

Coefficient (1 ; 1).

Entraînement ★

Pour un graphe, $A^3 = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 6 & 9 \end{pmatrix}$ . Combien de chemins de longueur 3 vont du sommet 1 au sommet 2 ?
Pour un graphe, $A^3 = \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ . Combien de chemins de longueur 3 vont du sommet 1 au sommet 2 ?
Pour un graphe, $A^3 = \begin{pmatrix} 7 & 2 \\ 5 & 9 \end{pmatrix}$ . Combien de chemins de longueur 3 vont du sommet 1 au sommet 2 ?

Attention !

Entraînement ★★

$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ . Que vaut le coefficient $(1 ; 1)$ de $A^2$ ?
$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$ . Que vaut le coefficient $(1 ; 1)$ de $A^2$ ?

$A = \begin{pmatrix} 0 & 5 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$ compte les arêtes de chaque sommet vers chaque sommet. Combien d'arêtes vont du sommet 1 au sommet 2 ?

La matrice d'adjacence d'un graphe non orienté est toujours :
1. Symétrique
2. Diagonale
3. Inversible

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

Pour un graphe, $A^3 = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 6 & 9 \end{pmatrix}$ . Combien de chemins de longueur 3 vont du sommet 1 au sommet 2 ?
Pour un graphe, $A^3 = \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ . Combien de chemins de longueur 3 vont du sommet 1 au sommet 2 ?
Pour un graphe, $A^3 = \begin{pmatrix} 7 & 2 \\ 5 & 9 \end{pmatrix}$ . Combien de chemins de longueur 3 vont du sommet 1 au sommet 2 ?

Fiche résumé

Chemins

Coefficient $(i ; j)$ de $A^n$ : chemins de longueur $n$ de $i$ à $j$ .
Graphe non orienté : $A$ est symétrique.

Attention : la puissance est la longueur.

5. Systèmes linéaires et transformations du plan

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

Le système $\begin{cases} 2x + y = 5 \\ x + y = 3 \end{cases}$ s'écrit $AX = B$ . Que vaut $A$ ?

$\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 5 \\ 3 \end{pmatrix}$

L'idée clé

Une matrice inversible résout un système en une ligne.

$AX = B$ , avec $A$ inversible, donne $X = A^{-1}B$ .

Une transformation du plan peut s'écrire $X' = AX$ : par exemple, $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ code la rotation d'angle $\dfrac{\pi}{2}$ autour de l'origine.

Exemple corrigé

Résous le système ci-dessus.

A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}

Inverse de A, de déterminant 1.

X = \begin{pmatrix} 5 - 3 \\ -5 + 6 \end{pmatrix}

Produit.

x = 2

y = 1

Solution.

À toi, guidé

À toi : quelle est l'image du point $(1 ; 0)$ par la rotation de matrice $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ ? Donne son ordonnée.

1

Seconde ligne : 1 × 1 + 0 × 0.

Entraînement ★

On résout $\begin{cases} 2x + y = 9 \\ x + y = 5 \end{cases}$ . Que vaut $x$ ?
On résout $\begin{cases} 2x + y = 7 \\ x + y = 6 \end{cases}$ . Que vaut $x$ ?
On résout $\begin{cases} 2x + y = 14 \\ x + y = 8 \end{cases}$ . Que vaut $x$ ?

Attention !

Entraînement ★★

Quelle est l'ordonnée de l'image de $(5 ; 4)$ par $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ ?
Quelle est l'ordonnée de l'image de $(5 ; 3)$ par $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ ?

On résout $\begin{cases} 2x + y = 8 \\ x + y = 5 \end{cases}$ . Que vaut $y$ ?

Quelle est l'abscisse de l'image de $(5 ; 1)$ par $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ ?

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

On résout $\begin{cases} 2x + y = 9 \\ x + y = 5 \end{cases}$ . Que vaut $x$ ?
On résout $\begin{cases} 2x + y = 7 \\ x + y = 6 \end{cases}$ . Que vaut $x$ ?
On résout $\begin{cases} 2x + y = 14 \\ x + y = 8 \end{cases}$ . Que vaut $x$ ?

Fiche résumé

Systèmes

$AX = B \iff X = A^{-1}B$ .
$X' = AX$ code une transformation.

Attention : $A^{-1}$ se place à gauche.

6. Suites de matrices colonnes

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

$U_{n + 1} = AU_n$ et $U_0$ est connu. Comment écrire $U_2$ ?

$A^2U_0$
$2AU_0$

L'idée clé

Le calcul matriciel traite plusieurs suites liées.

Si $U_{n + 1} = AU_n$ , alors $U_n = A^nU_0$ .

Si $U_{n + 1} = AU_n + C$ et si $S = AS + C$ , alors $U_n - S = A^n(U_0 - S)$ .

Exemple corrigé

$u_{n + 1} = 2u_n + v_n$ et $v_{n + 1} = v_n$ , avec $U_0 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ . Calcule $U_1$ .

A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

La matrice.

U_1 = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}

Produit.

À toi, guidé

À toi : avec $u_{n + 1} = 3u_n$ et $u_0 = 2$ , que vaut $u_2$ ?

18

2 × 3².

Entraînement ★

On a $U_{n + 1} = \begin{pmatrix} 4 & 5 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}U_n$ et $U_0 = \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix}$ . Calcule la première coordonnée de $U_1$ .
On a $U_{n + 1} = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}U_n$ et $U_0 = \begin{pmatrix} 4 \\ 6 \end{pmatrix}$ . Calcule la première coordonnée de $U_1$ .
On a $U_{n + 1} = \begin{pmatrix} 4 & 6 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}U_n$ et $U_0 = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix}$ . Calcule la première coordonnée de $U_1$ .

Attention !

Entraînement ★★

Pour $u_{n + 1} = 6u_n - 15$ , quel est le nombre $s$ tel que $s = 6s - 15$ ?
Pour $u_{n + 1} = 4u_n - 18$ , quel est le nombre $s$ tel que $s = 4s - 18$ ?

Problème final. $U_{n + 1} = AU_n$ , avec $A = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ et $U_0 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ .

Avec $A = \begin{pmatrix} 0{,}5 & 0 \\ 0 & 0{,}2 \end{pmatrix}$ et $U_{n + 1} = AU_n$ , vers quoi tend $U_n$ ?
1. La colonne nulle
2. $U_0$
3. $A$

On a $U_{n + 1} = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}U_n$ et $U_0 = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix}$ . Quel est le premier coefficient de $U_{ 2 }$ ?

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

On a $U_{n + 1} = \begin{pmatrix} 4 & 5 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}U_n$ et $U_0 = \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix}$ . Calcule la première coordonnée de $U_1$ .
On a $U_{n + 1} = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}U_n$ et $U_0 = \begin{pmatrix} 4 \\ 6 \end{pmatrix}$ . Calcule la première coordonnée de $U_1$ .
On a $U_{n + 1} = \begin{pmatrix} 4 & 6 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}U_n$ et $U_0 = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix}$ . Calcule la première coordonnée de $U_1$ .

Fiche résumé

Suites de matrices

$U_n = A^nU_0$ .
Avec $C$ : on passe par le point fixe $S$ .

Attention : c'est une puissance, pas un multiple.

Corrigé: Graphes et matrices

1. Graphes : sommets, arêtes, degré, chaînes

$15$
$6$
$3$

$26$
$24$

$15$
$6$
$3$

2. Matrices et opérations

$26$
$28$
$29$

5 lignes et 2 colonnes
5 lignes et 2 colonnes

$18$

$26$
$28$
$29$

3. Inverse et puissances d'une matrice carrée

$11$
$47$
$8$

$36$
$1296$

Non : son déterminant est nul

$256$

$11$
$47$
$8$

4. Matrice d'adjacence et nombre de chemins

Symétrique

5. Systèmes linéaires et transformations du plan

6. Suites de matrices colonnes

$30$
$32$
$28$

La colonne nulle

$36$

$30$
$32$
$28$