Loi binomiale : seuil et intervalles

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

Une pièce donne pile avec la probabilité $\dfrac{1}{2}$ . On veut au moins un pile avec une probabilité d'au moins $0{,}99$ . Comment calculer $P(X \geq 1)$ facilement ?

$1 - P(X = 0)$
$P(X = 1)$

L'idée clé

La calculatrice ou un tableur donne les probabilités cumulées $P(X \leq k)$ .

$P(a \leq X \leq b) = P(X \leq b) - P(X \leq a - 1)$ .

Seuil : on cherche le plus petit entier $k$ tel que $P(X \leq k) \geq \alpha$ , ou le plus petit $n$ tel que $1 - (1 - p)^n \geq \alpha$ .

Exemple corrigé

Trouve le plus petit $n$ tel que $1 - 0{,}5^n \geq 0{,}99$ .

0{,}5^n \leq 0{,}01

On isole la puissance.

n = 7

0,5⁶ ≈ 0,0156 et 0,5⁷ ≈ 0,0078.

À toi, guidé

À toi : si $P(X \leq 5) = 0{,}9$ et $P(X \leq 2) = 0{,}3$ , que vaut $P(3 \leq X \leq 5)$ ?

0{,}6

0,9 − 0,3.

Entraînement ★

$X$ suit la loi $\mathcal{B}\left(6 ; \dfrac{1}{ 2 }\right)$ . Calcule $P(X \geq 1)$ .
$X$ suit la loi $\mathcal{B}\left(5 ; \dfrac{1}{ 3 }\right)$ . Calcule $P(X \geq 1)$ .
$X$ suit la loi $\mathcal{B}\left(5 ; \dfrac{1}{ 4 }\right)$ . Calcule $P(X \geq 1)$ .

Attention !

Entraînement ★★

Trouve le plus petit entier $n$ tel que $1 - \left(\dfrac{1}{2}\right)^n \geq 1 - \dfrac{1}{10^{ 2 }}$ .
Trouve le plus petit entier $n$ tel que $1 - \left(\dfrac{1}{2}\right)^n \geq 1 - \dfrac{1}{10^{ 3 }}$ .

$X$ suit la loi $\mathcal{B}\left(3 ; \dfrac{1}{2}\right)$ . Calcule $P(1 \leq X \leq 2)$ .
$X$ suit la loi $\mathcal{B}\left(5 ; \dfrac{1}{2}\right)$ . Calcule $P(1 \leq X \leq 4)$ .

$X$ suit la loi $\mathcal{B}\left(4 ; \dfrac{1}{2}\right)$ . Calcule $P(X = 1)$ .

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

$X$ suit la loi $\mathcal{B}\left(6 ; \dfrac{1}{ 2 }\right)$ . Calcule $P(X \geq 1)$ .
$X$ suit la loi $\mathcal{B}\left(5 ; \dfrac{1}{ 3 }\right)$ . Calcule $P(X \geq 1)$ .
$X$ suit la loi $\mathcal{B}\left(5 ; \dfrac{1}{ 4 }\right)$ . Calcule $P(X \geq 1)$ .

Fiche résumé

Seuil et intervalles

$P(a \leq X \leq b) = P(X \leq b) - P(X \leq a - 1)$ .
« Au moins un » : on passe par le contraire.

Attention : au $a - 1$ .

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