Succession d'épreuves et loi binomiale

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Toutes les leçons du chapitre, prêtes pour le papier. Les séries d'exercices sont notées A, B, C… et corrigées à la fin.

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1. Succession d'épreuves indépendantes et arbres

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

On lance deux fois une pièce équilibrée. Quelle est la probabilité d'obtenir pile puis pile ?

  1. 14\dfrac{1}{4}
  2. 11

L'idée clé

Une succession d'épreuves se représente par un arbre.

Sur un arbre, la probabilité d'un chemin est le produit des probabilités de ses branches. La probabilité d'un événement est la somme des probabilités des chemins qui y mènent.

Si les épreuves sont indépendantes, les probabilités de la seconde épreuve ne dépendent pas du résultat de la première.

Exemple corrigé

On choisit un élève ; AA : « il est interne », P(A)=0,4P(A) = 0{,}4. Ensuite, BB : « il a réussi », avec PA(B)=0,5P_A(B) = 0{,}5 et PAˉ(B)=0,75P_{\bar{A}}(B) = 0{,}75. Calcule P(B)P(B).

0,4×0,5=0,20{,}4 \times 0{,}5 = 0{,}2
Chemin passant par A.
0,6×0,75=0,450{,}6 \times 0{,}75 = 0{,}45
Chemin passant par Ā.
P(B)=0,2+0,45=0,65P(B) = 0{,}2 + 0{,}45 = 0{,}65
Formule des probabilités totales.

À toi, guidé

À toi : avec le même arbre, calcule PB(A)P_B(A), sous forme de fraction.

413\dfrac{4}{13}
P(A ∩ B) ÷ P(B) = 0,2 ÷ 0,65.

Entraînement ★

  1. On répète deux épreuves indépendantes. AA a pour probabilité 14\dfrac{1}{ 4 } à la première, et BB a pour probabilité 14\dfrac{1}{ 4 } à la seconde. Calcule la probabilité d'obtenir AA puis BB.
  2. On répète deux épreuves indépendantes. AA a pour probabilité 16\dfrac{1}{ 6 } à la première, et BB a pour probabilité 13\dfrac{1}{ 3 } à la seconde. Calcule la probabilité d'obtenir AA puis BB.
  3. On répète deux épreuves indépendantes. AA a pour probabilité 12\dfrac{1}{ 2 } à la première, et BB a pour probabilité 14\dfrac{1}{ 4 } à la seconde. Calcule la probabilité d'obtenir AA puis BB.

Attention !

Entraînement ★★

  1. P(A)=45P(A) = \dfrac{ 4 }{5}, PA(B)=610P_A(B) = \dfrac{ 6 }{10} et PAˉ(B)=410P_{\bar{A}}(B) = \dfrac{ 4 }{10}. Calcule P(B)P(B).
  2. P(A)=35P(A) = \dfrac{ 3 }{5}, PA(B)=710P_A(B) = \dfrac{ 7 }{10} et PAˉ(B)=410P_{\bar{A}}(B) = \dfrac{ 4 }{10}. Calcule P(B)P(B).
  1. On lance 3 fois de suite une épreuve indépendante, où AA a la probabilité 12\dfrac{1}{ 2 }. Calcule la probabilité d'obtenir AA à chaque fois.
  1. Dans un arbre, P(A)=35P(A) = \dfrac{ 3 }{5} et PA(B)=410P_A(B) = \dfrac{ 4 }{10}. Calcule P(A∩B)P(A \cap B).

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. On répète deux épreuves indépendantes. AA a pour probabilité 14\dfrac{1}{ 4 } à la première, et BB a pour probabilité 14\dfrac{1}{ 4 } à la seconde. Calcule la probabilité d'obtenir AA puis BB.
  2. On répète deux épreuves indépendantes. AA a pour probabilité 16\dfrac{1}{ 6 } à la première, et BB a pour probabilité 13\dfrac{1}{ 3 } à la seconde. Calcule la probabilité d'obtenir AA puis BB.
  3. On répète deux épreuves indépendantes. AA a pour probabilité 12\dfrac{1}{ 2 } à la première, et BB a pour probabilité 14\dfrac{1}{ 4 } à la seconde. Calcule la probabilité d'obtenir AA puis BB.

Fiche résumé

Arbres

  • On multiplie le long d'un chemin.
  • On additionne les chemins menant au même événement.

Attention : ne compte aucun chemin deux fois, n'en oublie aucun.

2. La loi binomiale

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

On lance une pièce trois fois. Combien de suites contiennent exactement un pile ?

  1. 3
  2. 1

L'idée clé

Une épreuve de Bernoulli a deux issues : succès, de probabilité pp, et échec. Un schéma de Bernoulli répète nn fois cette épreuve, de façon indépendante.

Le nombre XX de succès suit la loi binomiale B(n;p)\mathcal{B}(n ; p) : P(X=k)=(nk)pk(1−p)n−kP(X = k) = \binom{n}{k}p^k(1 - p)^{n - k}, où (nk)\binom{n}{k} compte les chemins de l'arbre avec kk succès.

Exemple corrigé

XX suit B(5;0,2)\mathcal{B}(5 ; 0{,}2). Calcule P(X=2)P(X = 2).

(52)=10\binom{5}{2} = 10
Nombre de chemins.
0,22×0,83=0,020480{,}2^2 \times 0{,}8^3 = 0{,}02048
Probabilité d'un chemin.
P(X=2)=0,2048P(X = 2) = 0{,}2048
On multiplie.

À toi, guidé

À toi : XX suit B(4;12)\mathcal{B}\left(4 ; \dfrac{1}{2}\right). Calcule P(X=1)P(X = 1).

14\dfrac{1}{4}
4 × (½)⁴.

Entraînement ★

  1. Un joueur réussit un lancer franc avec la probabilité 16\dfrac{1}{ 6 }. En 5 lancers indépendants, calcule la probabilité d'en réussir exactement un.
  2. Un joueur réussit un lancer franc avec la probabilité 15\dfrac{1}{ 5 }. En 6 lancers indépendants, calcule la probabilité d'en réussir exactement un.
  1. Quelle situation relève d'une loi binomiale ?
    1. Le nombre de piles en 9 lancers d'une pièce équilibrée
    2. Le nombre de lancers jusqu'au premier pile
    3. Le nombre d'as dans 9 cartes tirées d'un jeu, sans remise

Attention !

Entraînement ★★

  1. Une graine germe avec la probabilité 14\dfrac{1}{ 4 }, indépendamment des autres. On plante 6 graines. Calcule la probabilité que exactement deux germent.
  2. Une graine germe avec la probabilité 13\dfrac{1}{ 3 }, indépendamment des autres. On plante 8 graines. Calcule la probabilité que exactement deux germent.
  1. Problème final. Une pièce d'une machine est défectueuse avec la probabilité 15\dfrac{1}{ 5 }, indépendamment des autres. On teste quatre pièces ; XX compte les pièces défectueuses.

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. Un joueur réussit un lancer franc avec la probabilité 16\dfrac{1}{ 6 }. En 5 lancers indépendants, calcule la probabilité d'en réussir exactement un.
  2. Un joueur réussit un lancer franc avec la probabilité 15\dfrac{1}{ 5 }. En 6 lancers indépendants, calcule la probabilité d'en réussir exactement un.
  3. Un joueur réussit un lancer franc avec la probabilité 12\dfrac{1}{ 2 }. En 7 lancers indépendants, calcule la probabilité d'en réussir exactement un.

Fiche résumé

Loi binomiale

P(X=k)=(nk)pk(1−p)n−kP(X = k) = \binom{n}{k}p^k(1 - p)^{n - k} pour XX suivant B(n;p)\mathcal{B}(n ; p).

Attention : multiplie par le nombre de chemins.

3. Espérance et écart type d'une loi binomiale

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

On lance 100 fois une pièce équilibrée. Combien de piles attend-on en moyenne ?

  1. 50
  2. 25

L'idée clé

Une loi binomiale est la somme de nn variables de Bernoulli indépendantes.

Si XX suit B(n;p)\mathcal{B}(n ; p) : E(X)=npE(X) = np, V(X)=np(1−p)V(X) = np(1 - p) et σ(X)=np(1−p)\sigma(X) = \sqrt{np(1 - p)}.

Exemple corrigé

XX suit B(50;0,3)\mathcal{B}(50 ; 0{,}3).

E(X)=15E(X) = 15
np.
V(X)=10,5V(X) = 10{,}5
np(1 − p).
σ(X)≈3,24\sigma(X) \approx 3{,}24
Racine carrée.

À toi, guidé

À toi : n=200n = 200, p=0,1p = 0{,}1. Calcule l'espérance.

2020
200 × 0,1.

Entraînement ★

  1. XX suit la loi binomiale avec n=91n = 91 et p=19p = \dfrac{1}{ 9 }. Calcule E(X)E(X).
  2. XX suit la loi binomiale avec n=87n = 87 et p=18p = \dfrac{1}{ 8 }. Calcule E(X)E(X).
  1. XX suit la loi binomiale avec n=70n = 70 et p=15p = \dfrac{1}{ 5 }. Calcule σ(X)\sigma(X).
  2. XX suit la loi binomiale avec n=71n = 71 et p=12p = \dfrac{1}{ 2 }. Calcule σ(X)\sigma(X).

Attention !

Entraînement ★★

  1. Un QCM compte 87 questions à 4 réponses. Un élève répond au hasard à toutes. Que signifie E(X)=874E(X) = \frac{87}{4} ?
    1. Sur un grand nombre de QCM remplis au hasard, le nombre moyen de bonnes réponses est proche de \frac{87}{4}
    2. L'élève aura exactement \frac{87}{4} bonnes réponses
    3. \frac{87}{4} est le meilleur score possible

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. XX suit la loi binomiale avec n=91n = 91 et p=19p = \dfrac{1}{ 9 }. Calcule E(X)E(X).
  2. XX suit la loi binomiale avec n=87n = 87 et p=18p = \dfrac{1}{ 8 }. Calcule E(X)E(X).
  3. XX suit la loi binomiale avec n=59n = 59 et p=15p = \dfrac{1}{ 5 }. Calcule E(X)E(X).

Fiche résumé

Espérance et écart type

E(X)=npE(X) = np et σ(X)=np(1−p)\sigma(X) = \sqrt{np(1 - p)}.

Attention : l'écart type est la racine carrée de np(1−p)np(1 - p).

4. Loi binomiale : seuil et intervalles

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

Une pièce donne pile avec la probabilité 12\dfrac{1}{2}. On veut au moins un pile avec une probabilité d'au moins 0,990{,}99. Comment calculer P(X≥1)P(X \geq 1) facilement ?

  1. 1−P(X=0)1 - P(X = 0)
  2. P(X=1)P(X = 1)

L'idée clé

La calculatrice ou un tableur donne les probabilités cumulées P(X≤k)P(X \leq k).

P(a≤X≤b)=P(X≤b)−P(X≤a−1)P(a \leq X \leq b) = P(X \leq b) - P(X \leq a - 1).

Seuil : on cherche le plus petit entier kk tel que P(X≤k)≥αP(X \leq k) \geq \alpha, ou le plus petit nn tel que 1−(1−p)n≥α1 - (1 - p)^n \geq \alpha.

Exemple corrigé

Trouve le plus petit nn tel que 1−0,5n≥0,991 - 0{,}5^n \geq 0{,}99.

0,5n≤0,010{,}5^n \leq 0{,}01
On isole la puissance.
n=7n = 7
0,5⁶ ≈ 0,0156 et 0,5⁷ ≈ 0,0078.

À toi, guidé

À toi : si P(X≤5)=0,9P(X \leq 5) = 0{,}9 et P(X≤2)=0,3P(X \leq 2) = 0{,}3, que vaut P(3≤X≤5)P(3 \leq X \leq 5) ?

0,60{,}6
0,9 − 0,3.

Entraînement ★

  1. XX suit la loi B(6;12)\mathcal{B}\left(6 ; \dfrac{1}{ 2 }\right). Calcule P(X≥1)P(X \geq 1).
  2. XX suit la loi B(5;13)\mathcal{B}\left(5 ; \dfrac{1}{ 3 }\right). Calcule P(X≥1)P(X \geq 1).
  3. XX suit la loi B(5;14)\mathcal{B}\left(5 ; \dfrac{1}{ 4 }\right). Calcule P(X≥1)P(X \geq 1).

Attention !

Entraînement ★★

  1. Trouve le plus petit entier nn tel que 1−(12)n≥1−11021 - \left(\dfrac{1}{2}\right)^n \geq 1 - \dfrac{1}{10^{ 2 }}.
  2. Trouve le plus petit entier nn tel que 1−(12)n≥1−11031 - \left(\dfrac{1}{2}\right)^n \geq 1 - \dfrac{1}{10^{ 3 }}.
  1. XX suit la loi B(3;12)\mathcal{B}\left(3 ; \dfrac{1}{2}\right). Calcule P(1≤X≤2)P(1 \leq X \leq 2).
  2. XX suit la loi B(5;12)\mathcal{B}\left(5 ; \dfrac{1}{2}\right). Calcule P(1≤X≤4)P(1 \leq X \leq 4).
  1. XX suit la loi B(4;12)\mathcal{B}\left(4 ; \dfrac{1}{2}\right). Calcule P(X=1)P(X = 1).

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. XX suit la loi B(6;12)\mathcal{B}\left(6 ; \dfrac{1}{ 2 }\right). Calcule P(X≥1)P(X \geq 1).
  2. XX suit la loi B(5;13)\mathcal{B}\left(5 ; \dfrac{1}{ 3 }\right). Calcule P(X≥1)P(X \geq 1).
  3. XX suit la loi B(5;14)\mathcal{B}\left(5 ; \dfrac{1}{ 4 }\right). Calcule P(X≥1)P(X \geq 1).

Fiche résumé

Seuil et intervalles

  • P(a≤X≤b)=P(X≤b)−P(X≤a−1)P(a \leq X \leq b) = P(X \leq b) - P(X \leq a - 1).
  • « Au moins un » : on passe par le contraire.

Attention : au a−1a - 1.

Corrigé: Succession d'épreuves et loi binomiale

1. Succession d'épreuves indépendantes et arbres

A

  1. 116\frac{1}{16}
  2. 118\frac{1}{18}
  3. 18\frac{1}{8}

B

  1. 1425\frac{14}{25}
  2. 2950\frac{29}{50}

C

  1. 18\frac{1}{8}

D

  1. 625\frac{6}{25}

E

  1. 116\frac{1}{16}
  2. 118\frac{1}{18}
  3. 18\frac{1}{8}

2. La loi binomiale

A

  1. 31257776\frac{3125}{7776}
  2. 614415625\frac{6144}{15625}

B

  1. Le nombre de piles en 9 lancers d'une pièce équilibrée

C

  1. 12154096\frac{1215}{4096}
  2. 17926561\frac{1792}{6561}

D

  1. 45\frac{4}{5}

E

  1. 31257776\frac{3125}{7776}
  2. 614415625\frac{6144}{15625}
  3. 7128\frac{7}{128}

3. Espérance et écart type d'une loi binomiale

A

  1. 919\frac{91}{9}
  2. 878\frac{87}{8}

B

  1. 2705\frac{2 \sqrt{70}}{5}
  2. 712\frac{\sqrt{71}}{2}

C

  1. Sur un grand nombre de QCM remplis au hasard, le nombre moyen de bonnes réponses est proche de \frac{87}{4}

D

  1. 919\frac{91}{9}
  2. 878\frac{87}{8}
  3. 595\frac{59}{5}

4. Loi binomiale : seuil et intervalles

A

  1. 6364\frac{63}{64}
  2. 211243\frac{211}{243}
  3. 7811024\frac{781}{1024}

B

  1. 77
  2. 1010

C

  1. 34\frac{3}{4}
  2. 1516\frac{15}{16}

D

  1. 14\frac{1}{4}

E

  1. 6364\frac{63}{64}
  2. 211243\frac{211}{243}
  3. 7811024\frac{781}{1024}