Inégalité de concentration et loi des grands nombres

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

On lance un grand nombre de fois un dé équilibré. Que devient la moyenne $M_n$ des résultats ?

On applique Bienaymé-Tchebychev à $M_n$ , de variance $\dfrac{V(X)}{n}$ .

Inégalité de concentration : $P\big(|M_n - E(X)| \geq \delta\big) \leq \dfrac{V(X)}{n\delta^2}$ .

Loi des grands nombres : pour tout $\delta > 0$ , $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} P\big(|M_n - E(X)| \geq \delta\big) = 0$ .

$V(X) = 2$ . Quelle taille $n$ garantit $P(|M_n - E(X)| \geq 0{,}1) \leq 0{,}05$ d'après l'inégalité ?

\dfrac{2}{n \times 0{,}01} = \dfrac{200}{n}

Majorant.

n \geq 4\,000

On résout 200/n ≤ 0,05.

À toi : avec $V(X) = 1$ , $n = 100$ et $\delta = 1$ , que vaut le majorant ?

0{,}01

1/(100 × 1).

$V(X) = 9$ , $n = 16$ et $\delta = 3$ . Quel majorant de $P\big(|M_n - E(X)| \geq \delta\big)$ donne l'inégalité de concentration ?
$V(X) = 4$ , $n = 50$ et $\delta = 4$ . Quel majorant de $P\big(|M_n - E(X)| \geq \delta\big)$ donne l'inégalité de concentration ?
$V(X) = 3$ , $n = 18$ et $\delta = 4$ . Quel majorant de $P\big(|M_n - E(X)| \geq \delta\big)$ donne l'inégalité de concentration ?

On lance 6 fois mille une pièce équilibrée. Que dit la loi des grands nombres sur la fréquence de pile ?
1. Elle a une grande probabilité d'être proche de $0{,}5$
2. Elle vaut exactement $0{,}5$
3. Une série de piles est compensée par une série de faces
On lance 9 fois mille une pièce équilibrée. Que dit la loi des grands nombres sur la fréquence de pile ?
1. Elle a une grande probabilité d'être proche de $0{,}5$
2. Elle vaut exactement $0{,}5$
3. Une série de piles est compensée par une série de faces

Problème final. $V(X) = 7$ . On veut $P\big(|M_n - E(X)| \geq 0{,}1\big) \leq 0{,}1$ d'après l'inégalité de concentration.

Quand la taille $n$ d'un échantillon augmente, comment évolue le majorant $\dfrac{V(X)}{n\delta^2}$ ?
1. Il diminue
2. Il augmente
3. Il ne change pas

$V(X) = 4$ et $\delta = 1$ . À partir de quelle taille $n$ le majorant $\dfrac{V(X)}{n\delta^2}$ est-il au plus égal à $\dfrac{1}{ 20 }$ ?

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

$V(X) = 9$ , $n = 16$ et $\delta = 3$ . Quel majorant de $P\big(|M_n - E(X)| \geq \delta\big)$ donne l'inégalité de concentration ?
$V(X) = 4$ , $n = 50$ et $\delta = 4$ . Quel majorant de $P\big(|M_n - E(X)| \geq \delta\big)$ donne l'inégalité de concentration ?
$V(X) = 3$ , $n = 18$ et $\delta = 4$ . Quel majorant de $P\big(|M_n - E(X)| \geq \delta\big)$ donne l'inégalité de concentration ?

Concentration et grands nombres

Attention : il n'y a pas de compensation d'un tirage à l'autre.

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