Concentration et loi des grands nombres

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Toutes les leçons du chapitre, prêtes pour le papier. Les séries d'exercices sont notées A, B, C… et corrigées à la fin.

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1. Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

Si une variable XX a une très petite variance, XX est-elle souvent loin de son espérance ?

  1. Non, c'est rare
  2. Oui, souvent

L'idée clé

Cette inégalité vaut pour toute variable aléatoire, sans connaître sa loi.

Inégalité de Bienaymé-Tchebychev : pour tout δ>0\delta > 0, P(∣X−E(X)∣≥δ)≤V(X)δ2P\big(|X - E(X)| \geq \delta\big) \leq \dfrac{V(X)}{\delta^2}.

Exemple corrigé

E(X)=50E(X) = 50 et V(X)=4V(X) = 4. Majore P(∣X−50∣≥5)P(|X - 50| \geq 5), puis minore P(45<X<55)P(45 < X < 55).

P(∣X−50∣≥5)≤425=0,16P(|X - 50| \geq 5) \leq \dfrac{4}{25} = 0{,}16
V/δ² avec δ = 5.
P(45<X<55)≥1−0,16=0,84P(45 < X < 55) \geq 1 - 0{,}16 = 0{,}84
Événement contraire.

À toi, guidé

À toi : V(X)=9V(X) = 9 et δ=3σ(X)\delta = 3\sigma(X). Majore P(∣X−E(X)∣≥δ)P(|X - E(X)| \geq \delta).

19\dfrac{1}{9}
σ = 3, δ = 9 : 9/81.

Entraînement ★

  1. V(X)=1V(X) = 1. D'après l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, quel majorant obtient-on pour P(∣X−E(X)∣≥2)P\big(|X - E(X)| \geq 2\big) ?
  2. V(X)=4V(X) = 4. D'après l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, quel majorant obtient-on pour P(∣X−E(X)∣≥3)P\big(|X - E(X)| \geq 3\big) ?
  3. V(X)=1V(X) = 1. D'après l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, quel majorant obtient-on pour P(∣X−E(X)∣≥5)P\big(|X - E(X)| \geq 5\big) ?

Attention !

Entraînement ★★

  1. E(X)=24E(X) = 24 et V(X)=2V(X) = 2. Quel minorant de P(18<X<30)P\big(18 < X < 30\big) obtient-on ?
  2. E(X)=30E(X) = 30 et V(X)=3V(X) = 3. Quel minorant de P(22<X<38)P\big(22 < X < 38\big) obtient-on ?
  1. V(X)=3V(X) = 3. Quel majorant de P(∣X−E(X)∣≥5)P\big(|X - E(X)| \geq 5\big) donne l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev ?
  1. Que majore l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev ?
    1. La probabilité de s'écarter de l'espérance d'au moins δ\delta
    2. La probabilité de rester près de l'espérance
    3. L'espérance de XX

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. V(X)=1V(X) = 1. D'après l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, quel majorant obtient-on pour P(∣X−E(X)∣≥2)P\big(|X - E(X)| \geq 2\big) ?
  2. V(X)=4V(X) = 4. D'après l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, quel majorant obtient-on pour P(∣X−E(X)∣≥3)P\big(|X - E(X)| \geq 3\big) ?
  3. V(X)=1V(X) = 1. D'après l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, quel majorant obtient-on pour P(∣X−E(X)∣≥5)P\big(|X - E(X)| \geq 5\big) ?

Fiche résumé

Bienaymé-Tchebychev

P(∣X−E(X)∣≥δ)≤V(X)δ2P\big(|X - E(X)| \geq \delta\big) \leq \dfrac{V(X)}{\delta^2}.

Attention : c'est un majorant, souvent large ; ce n'est pas la valeur de la probabilité.

2. Inégalité de concentration et loi des grands nombres

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

On lance un grand nombre de fois un dé équilibré. Que devient la moyenne MnM_n des résultats ?

  1. Elle se rapproche de 3,53{,}5 avec une grande probabilité
  2. Elle vaut exactement 3,53{,}5 à partir d'un certain nn

L'idée clé

On applique Bienaymé-Tchebychev à MnM_n, de variance V(X)n\dfrac{V(X)}{n}.

Inégalité de concentration : P(∣Mn−E(X)∣≥δ)≤V(X)nδ2P\big(|M_n - E(X)| \geq \delta\big) \leq \dfrac{V(X)}{n\delta^2}.

Loi des grands nombres : pour tout δ>0\delta > 0, lim⁡n→+∞P(∣Mn−E(X)∣≥δ)=0\displaystyle\lim_{n \to +\infty} P\big(|M_n - E(X)| \geq \delta\big) = 0.

Exemple corrigé

V(X)=2V(X) = 2. Quelle taille nn garantit P(∣Mn−E(X)∣≥0,1)≤0,05P(|M_n - E(X)| \geq 0{,}1) \leq 0{,}05 d'après l'inégalité ?

2n×0,01=200n\dfrac{2}{n \times 0{,}01} = \dfrac{200}{n}
Majorant.
n≥4 000n \geq 4\,000
On résout 200/n ≤ 0,05.

À toi, guidé

À toi : avec V(X)=1V(X) = 1, n=100n = 100 et δ=1\delta = 1, que vaut le majorant ?

0,010{,}01
1/(100 × 1).

Entraînement ★

  1. V(X)=9V(X) = 9, n=16n = 16 et δ=3\delta = 3. Quel majorant de P(∣Mn−E(X)∣≥δ)P\big(|M_n - E(X)| \geq \delta\big) donne l'inégalité de concentration ?
  2. V(X)=4V(X) = 4, n=50n = 50 et δ=4\delta = 4. Quel majorant de P(∣Mn−E(X)∣≥δ)P\big(|M_n - E(X)| \geq \delta\big) donne l'inégalité de concentration ?
  3. V(X)=3V(X) = 3, n=18n = 18 et δ=4\delta = 4. Quel majorant de P(∣Mn−E(X)∣≥δ)P\big(|M_n - E(X)| \geq \delta\big) donne l'inégalité de concentration ?

Attention !

Entraînement ★★

  1. On lance 6 fois mille une pièce équilibrée. Que dit la loi des grands nombres sur la fréquence de pile ?
    1. Elle a une grande probabilité d'être proche de 0,50{,}5
    2. Elle vaut exactement 0,50{,}5
    3. Une série de piles est compensée par une série de faces
  2. On lance 9 fois mille une pièce équilibrée. Que dit la loi des grands nombres sur la fréquence de pile ?
    1. Elle a une grande probabilité d'être proche de 0,50{,}5
    2. Elle vaut exactement 0,50{,}5
    3. Une série de piles est compensée par une série de faces
  1. Problème final. V(X)=7V(X) = 7. On veut P(∣Mn−E(X)∣≥0,1)≤0,1P\big(|M_n - E(X)| \geq 0{,}1\big) \leq 0{,}1 d'après l'inégalité de concentration.
  1. Quand la taille nn d'un échantillon augmente, comment évolue le majorant V(X)nδ2\dfrac{V(X)}{n\delta^2} ?
    1. Il diminue
    2. Il augmente
    3. Il ne change pas
  1. V(X)=4V(X) = 4 et δ=1\delta = 1. À partir de quelle taille nn le majorant V(X)nδ2\dfrac{V(X)}{n\delta^2} est-il au plus égal à 120\dfrac{1}{ 20 } ?

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. V(X)=9V(X) = 9, n=16n = 16 et δ=3\delta = 3. Quel majorant de P(∣Mn−E(X)∣≥δ)P\big(|M_n - E(X)| \geq \delta\big) donne l'inégalité de concentration ?
  2. V(X)=4V(X) = 4, n=50n = 50 et δ=4\delta = 4. Quel majorant de P(∣Mn−E(X)∣≥δ)P\big(|M_n - E(X)| \geq \delta\big) donne l'inégalité de concentration ?
  3. V(X)=3V(X) = 3, n=18n = 18 et δ=4\delta = 4. Quel majorant de P(∣Mn−E(X)∣≥δ)P\big(|M_n - E(X)| \geq \delta\big) donne l'inégalité de concentration ?

Fiche résumé

Concentration et grands nombres

  • P(∣Mn−E(X)∣≥δ)≤V(X)nδ2P\big(|M_n - E(X)| \geq \delta\big) \leq \dfrac{V(X)}{n\delta^2}.
  • Quand nn devient grand, MnM_n se concentre autour de E(X)E(X).

Attention : il n'y a pas de compensation d'un tirage à l'autre.

Corrigé: Concentration et loi des grands nombres

1. Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

A

  1. 14\frac{1}{4}
  2. 49\frac{4}{9}
  3. 125\frac{1}{25}

B

  1. 1718\frac{17}{18}
  2. 6164\frac{61}{64}

C

  1. 325\frac{3}{25}

D

  1. La probabilité de s'écarter de l'espérance d'au moins δ\delta

E

  1. 14\frac{1}{4}
  2. 49\frac{4}{9}
  3. 125\frac{1}{25}

2. Inégalité de concentration et loi des grands nombres

A

  1. 116\frac{1}{16}
  2. 1200\frac{1}{200}
  3. 196\frac{1}{96}

B

  1. Elle a une grande probabilité d'être proche de 0,50{,}5
  2. Elle a une grande probabilité d'être proche de 0,50{,}5

C

  1. 70007000

D

  1. Il diminue

E

  1. 8080

F

  1. 116\frac{1}{16}
  2. 1200\frac{1}{200}
  3. 196\frac{1}{96}