Dérivabilité et continuité

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

$f(x) = |x|$ . Juste à gauche de 0, la pente vaut $-1$ ; juste à droite, elle vaut $1$ . La courbe a-t-elle une tangente à l'origine ?

Non
Oui, puisque la courbe n'a pas de coupure

L'idée clé

Être dérivable en $a$ , c'est avoir un nombre dérivé $f'(a)$ .

Toute fonction dérivable en $a$ est continue en $a$ . La réciproque est fausse : une fonction continue peut ne pas être dérivable en un point anguleux ou en un point à tangente verticale.

Exemple corrigé

$f(x) = |x - 2| + 1$ est-elle dérivable en $x = 2$ ?

f

est continue en

2

Pas de saut ni de trou en 2.

Pente

-1

à gauche et

1

à droite

Les deux expressions sont 1 − (x − 2) et 1 + (x − 2).

f

n'est pas dérivable en

x = 2

: point anguleux

Les pentes diffèrent.

À toi, guidé

À toi : $f(x) = x^2$ pour $x \leq 1$ et $f(x) = 2x - 1$ pour $x > 1$ .

Elles se raccordent en

(1 ; 1)

Les deux expressions donnent 1 en x = 1.

Pente à gauche :

2

; à droite :

2

. Donc

f

est dérivable en

1

La pente de x² en 1 est 2 × 1.

Entraînement ★

$f(x) = |x - -1|$ est-elle dérivable en $x = -1$ ?
1. Non : la courbe a un point anguleux (pentes $-1$ et $1$ ).
2. Oui, car $f$ est continue en $x = -1$ .
3. Non, car $f$ n'est pas continue en $x = -1$ .
$f(x) = |x - 1|$ est-elle dérivable en $x = 1$ ?
1. Non : la courbe a un point anguleux (pentes $-1$ et $1$ ).
2. Oui, car $f$ est continue en $x = 1$ .
3. Non, car $f$ n'est pas continue en $x = 1$ .

Attention !

Entraînement ★★

$f(x) = x^2$ pour $x \leq 4$ et $f(x) = mx - 16$ pour $x > 4$ . Quelle valeur de $m$ rend $f$ dérivable en $x = 4$ ?
$f(x) = x^2$ pour $x \leq 5$ et $f(x) = mx - 25$ pour $x > 5$ . Quelle valeur de $m$ rend $f$ dérivable en $x = 5$ ?
$f(x) = x^2$ pour $x \leq 6$ et $f(x) = mx - 36$ pour $x > 6$ . Quelle valeur de $m$ rend $f$ dérivable en $x = 6$ ?

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

$f(x) = x^2$ pour $x \leq 4$ et $f(x) = mx - 16$ pour $x > 4$ . Quelle valeur de $m$ rend $f$ dérivable en $x = 4$ ?
$f(x) = x^2$ pour $x \leq 5$ et $f(x) = mx - 25$ pour $x > 5$ . Quelle valeur de $m$ rend $f$ dérivable en $x = 5$ ?
$f(x) = x^2$ pour $x \leq 6$ et $f(x) = mx - 36$ pour $x > 6$ . Quelle valeur de $m$ rend $f$ dérivable en $x = 6$ ?

Fiche résumé

Dérivabilité et continuité

Dérivable $\Rightarrow$ continue ; la réciproque est fausse.
Pas de nombre dérivé : point anguleux, tangente verticale, coupure.

Attention : une courbe sans coupure peut ne pas avoir de tangente.

À propos de cette leçon