Continuité des fonctions

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1. Continuité

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

On peut tracer la courbe d'une fonction continue sans lever le crayon. Laquelle de ces fonctions peut-on tracer ainsi près de x=0x = 0 ?

  1. y=∣x∣y = |x|
  2. y=1xy = \dfrac{1}{x}

L'idée clé

Être continue en un point, c'est n'y avoir ni trou, ni saut, ni asymptote.

ff est continue en aa si f(a)f(a) existe, si lim⁡x→af(x)\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) existe, et si elles sont égales. Les polynômes, sin⁡\sin, cos⁡\cos, exp⁡\exp et ∣x∣|x| sont continues sur R\mathbb{R} ; les quotients de polynômes sont continus là où ils sont définis.

Exemple corrigé

Pour quelle valeur de kk la fonction f(x)={x+ksi x<2x2si x≥2f(x) = \begin{cases} x + k & \text{si } x < 2 \\ x^2 & \text{si } x \geq 2 \end{cases} est-elle continue ?

f(2)=4f(2) = 4
f(2) est donné par la seconde expression.
Quand xx tend vers 2 par la gauche, f(x)f(x) tend vers 2+k2 + k
La limite à gauche est donnée par la première.
2+k=42 + k = 4, donc k=2k = 2
Elles doivent être égales.

À toi, guidé

À toi : g(x)={3xsi x<1x+msi x≥1g(x) = \begin{cases} 3x & \text{si } x < 1 \\ x + m & \text{si } x \geq 1 \end{cases}.

3=1+m3 = 1 + m
Limite à gauche 3, valeur 1 + m.
m=2m = 2
On résout.

Entraînement ★

  1. Pour quelle valeur de kk la fonction f(x)={x2+ksi x<34xsi x≥3f(x) = \begin{cases} x^2 + k & \text{si } x < 3 \\ 4x & \text{si } x \geq 3 \end{cases} est-elle continue sur R\mathbb{R} ?
  2. Pour quelle valeur de kk la fonction f(x)={x2+ksi x<38xsi x≥3f(x) = \begin{cases} x^2 + k & \text{si } x < 3 \\ 8x & \text{si } x \geq 3 \end{cases} est-elle continue sur R\mathbb{R} ?
  3. Pour quelle valeur de kk la fonction f(x)={x2+ksi x<37xsi x≥3f(x) = \begin{cases} x^2 + k & \text{si } x < 3 \\ 7x & \text{si } x \geq 3 \end{cases} est-elle continue sur R\mathbb{R} ?

Attention !

Entraînement ★★

  1. La fonction f(x)=x2−25x−5f(x) = \dfrac{x^2 - 25}{x - 5} est-elle continue en x=5x = 5 ?
    1. Non : f(5)f(5) n'est pas défini
    2. Oui : la limite existe, elle vaut 1010
    3. Non : la limite n'existe pas
  2. La fonction f(x)=x2−81x−9f(x) = \dfrac{x^2 - 81}{x - 9} est-elle continue en x=9x = 9 ?
    1. Non : f(9)f(9) n'est pas défini
    2. Oui : la limite existe, elle vaut 1818
    3. Non : la limite n'existe pas
  1. Quelles fonctions sont continues pour tout réel xx ? Coche-les toutes.
    1. x3−2x+1x^3 - 2x + 1
    2. sin⁡x\sin x
    3. ∣x∣|x|
    4. 1x\dfrac{1}{x}
    5. tan⁡x\tan x

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. Pour quelle valeur de kk la fonction f(x)={x2+ksi x<34xsi x≥3f(x) = \begin{cases} x^2 + k & \text{si } x < 3 \\ 4x & \text{si } x \geq 3 \end{cases} est-elle continue sur R\mathbb{R} ?
  2. Pour quelle valeur de kk la fonction f(x)={x2+ksi x<38xsi x≥3f(x) = \begin{cases} x^2 + k & \text{si } x < 3 \\ 8x & \text{si } x \geq 3 \end{cases} est-elle continue sur R\mathbb{R} ?
  3. Pour quelle valeur de kk la fonction f(x)={x2+ksi x<37xsi x≥3f(x) = \begin{cases} x^2 + k & \text{si } x < 3 \\ 7x & \text{si } x \geq 3 \end{cases} est-elle continue sur R\mathbb{R} ?

Fiche résumé

Continuité en aa

  1. f(a)f(a) existe.
  2. lim⁡x→af(x)\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) existe.
  3. Elles sont égales.

Attention : que la limite existe ne suffit pas, f(a)f(a) doit lui être égale.

2. Dérivabilité et continuité

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

f(x)=∣x∣f(x) = |x|. Juste à gauche de 0, la pente vaut −1-1 ; juste à droite, elle vaut 11. La courbe a-t-elle une tangente à l'origine ?

  1. Non
  2. Oui, puisque la courbe n'a pas de coupure

L'idée clé

Être dérivable en aa, c'est avoir un nombre dérivé f′(a)f'(a).

Toute fonction dérivable en aa est continue en aa. La réciproque est fausse : une fonction continue peut ne pas être dérivable en un point anguleux ou en un point à tangente verticale.

Exemple corrigé

f(x)=∣x−2∣+1f(x) = |x - 2| + 1 est-elle dérivable en x=2x = 2 ?

ff est continue en 22
Pas de saut ni de trou en 2.
Pente −1-1 à gauche et 11 à droite
Les deux expressions sont 1 − (x − 2) et 1 + (x − 2).
ff n'est pas dérivable en x=2x = 2 : point anguleux
Les pentes diffèrent.

À toi, guidé

À toi : f(x)=x2f(x) = x^2 pour x≤1x \leq 1 et f(x)=2x−1f(x) = 2x - 1 pour x>1x > 1.

Elles se raccordent en (1;1)(1 ; 1)
Les deux expressions donnent 1 en x = 1.
Pente à gauche : 22 ; à droite : 22. Donc ff est dérivable en 11
La pente de x² en 1 est 2 × 1.

Entraînement ★

  1. f(x)=∣x−−1∣f(x) = |x - -1| est-elle dérivable en x=−1x = -1 ?
    1. Non : la courbe a un point anguleux (pentes −1-1 et 11).
    2. Oui, car ff est continue en x=−1x = -1.
    3. Non, car ff n'est pas continue en x=−1x = -1.
  2. f(x)=∣x−1∣f(x) = |x - 1| est-elle dérivable en x=1x = 1 ?
    1. Non : la courbe a un point anguleux (pentes −1-1 et 11).
    2. Oui, car ff est continue en x=1x = 1.
    3. Non, car ff n'est pas continue en x=1x = 1.

Attention !

Entraînement ★★

  1. f(x)=x2f(x) = x^2 pour x≤4x \leq 4 et f(x)=mx−16f(x) = mx - 16 pour x>4x > 4. Quelle valeur de mm rend ff dérivable en x=4x = 4 ?
  2. f(x)=x2f(x) = x^2 pour x≤5x \leq 5 et f(x)=mx−25f(x) = mx - 25 pour x>5x > 5. Quelle valeur de mm rend ff dérivable en x=5x = 5 ?
  3. f(x)=x2f(x) = x^2 pour x≤6x \leq 6 et f(x)=mx−36f(x) = mx - 36 pour x>6x > 6. Quelle valeur de mm rend ff dérivable en x=6x = 6 ?

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. f(x)=x2f(x) = x^2 pour x≤4x \leq 4 et f(x)=mx−16f(x) = mx - 16 pour x>4x > 4. Quelle valeur de mm rend ff dérivable en x=4x = 4 ?
  2. f(x)=x2f(x) = x^2 pour x≤5x \leq 5 et f(x)=mx−25f(x) = mx - 25 pour x>5x > 5. Quelle valeur de mm rend ff dérivable en x=5x = 5 ?
  3. f(x)=x2f(x) = x^2 pour x≤6x \leq 6 et f(x)=mx−36f(x) = mx - 36 pour x>6x > 6. Quelle valeur de mm rend ff dérivable en x=6x = 6 ?

Fiche résumé

Dérivabilité et continuité

  • Dérivable ⇒\Rightarrow continue ; la réciproque est fausse.
  • Pas de nombre dérivé : point anguleux, tangente verticale, coupure.

Attention : une courbe sans coupure peut ne pas avoir de tangente.

3. Le théorème des valeurs intermédiaires

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

À 7 h, il faisait 4 °C ; à midi, 15 °C. La température varie de façon continue. A-t-il fait exactement 10 °C à un moment entre les deux ?

  1. Oui, à un certain moment
  2. Pas forcément

L'idée clé

Une fonction continue ne saute aucune valeur.

Théorème des valeurs intermédiaires : si ff est continue sur [a;b][a ; b] et si kk est compris entre f(a)f(a) et f(b)f(b), alors l'équation f(x)=kf(x) = k a au moins une solution dans [a;b][a ; b].

Si de plus ff est strictement monotone, cette solution est unique.

Exemple corrigé

Montre que x3+x−1=0x^3 + x - 1 = 0 a une unique solution dans [0;1][0 ; 1].

f(x)=x3+x−1f(x) = x^3 + x - 1 est continue et strictement croissante.
Un polynôme est continu, et f'(x) = 3x² + 1 > 0.
f(0)=−1<0f(0) = -1 < 0 et f(1)=1>0f(1) = 1 > 0
On calcule aux bornes.
Il existe une unique solution dans [0;1][0 ; 1]
Théorème avec k = 0, cas strictement monotone.

À toi, guidé

À toi : f(x)=x2−5f(x) = x^2 - 5 sur [2;3][2 ; 3].

f(2)=−1f(2) = -1
4 − 5.
f(3)=4f(3) = 4 : changement de signe, donc une solution (5\sqrt{5}) entre les deux
9 − 5.

Entraînement ★

  1. ff est continue sur [1;9][1 ; 9], avec f(1)=−1f(1) = -1 et f(9)=7f(9) = 7. La fonction ff s'annule-t-elle forcément entre 1 et 9 ?
    1. Oui, d'après le théorème des valeurs intermédiaires
    2. Seulement si ff est un polynôme
    3. Seulement si ff est croissante
  2. ff est continue sur [3;5][3 ; 5], avec f(3)=−2f(3) = -2 et f(5)=2f(5) = 2. La fonction ff s'annule-t-elle forcément entre 3 et 5 ?
    1. Oui, d'après le théorème des valeurs intermédiaires
    2. Seulement si ff est un polynôme
    3. Seulement si ff est croissante

Attention !

Entraînement ★★

  1. f(x)=1xf(x) = \dfrac{1}{x} vérifie f(−4)<0f(-4) < 0 et f(4)>0f(4) > 0. La fonction ff s'annule-t-elle sur ]−4;4[]-4 ; 4[ ?
    1. Non : ff n'est pas continue sur [−4;4][-4 ; 4], le théorème ne s'applique pas
    2. Oui, d'après le théorème des valeurs intermédiaires
    3. Oui, en x=0x = 0
  1. f(x)=x3+x−3f(x) = x^3 + x - 3 est continue. Entre quels entiers consécutifs mm et m+1m + 1 s'annule-t-elle ? Donne mm.
  2. f(x)=x3+x−11f(x) = x^3 + x - 11 est continue. Entre quels entiers consécutifs mm et m+1m + 1 s'annule-t-elle ? Donne mm.
  3. f(x)=x3+x−31f(x) = x^3 + x - 31 est continue. Entre quels entiers consécutifs mm et m+1m + 1 s'annule-t-elle ? Donne mm.

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. f(x)=x3+x−3f(x) = x^3 + x - 3 est continue. Entre quels entiers consécutifs mm et m+1m + 1 s'annule-t-elle ? Donne mm.
  2. f(x)=x3+x−11f(x) = x^3 + x - 11 est continue. Entre quels entiers consécutifs mm et m+1m + 1 s'annule-t-elle ? Donne mm.
  3. f(x)=x3+x−31f(x) = x^3 + x - 31 est continue. Entre quels entiers consécutifs mm et m+1m + 1 s'annule-t-elle ? Donne mm.

Fiche résumé

Théorème des valeurs intermédiaires

  1. Vérifier que ff est continue sur [a;b][a ; b].
  2. Comparer f(a)f(a) et f(b)f(b) à kk (souvent 0).
  3. Conclure à l'existence d'une solution ; à son unicité si ff est strictement monotone.

Attention : sans continuité, pas de conclusion.

4. Suites définies par uₙ₊₁ = f(uₙ) et continuité

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

u0=1u_0 = 1 et un+1=un+2u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2}. Les premiers termes sont 11 ; 1,731{,}73 ; 1,931{,}93 ; 1,981{,}98. Vers quelle valeur semble tendre la suite ?

  1. 22
  2. +∞+\infty

L'idée clé

Pour une suite récurrente un+1=f(un)u_{n+1} = f(u_n), la limite éventuelle se trouve avec ff.

Si (un)(u_n) converge vers ℓ\ell et si ff est continue en ℓ\ell, alors f(un)→f(ℓ)f(u_n) \to f(\ell).

En passant à la limite dans un+1=f(un)u_{n+1} = f(u_n), on obtient ℓ=f(ℓ)\ell = f(\ell) : la limite est un point fixe de ff.

Exemple corrigé

u0=1u_0 = 1 et un+1=un+2u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2}. On admet que (un)(u_n) converge. Trouve sa limite.

ℓ=ℓ+2\ell = \sqrt{\ell + 2}
f(x) = √(x + 2) est continue : ℓ est un point fixe.
ℓ2−ℓ−2=0\ell^2 - \ell - 2 = 0
On élève au carré.
ℓ=2\ell = 2
Les solutions sont −1 et 2. Or tous les termes sont positifs.

À toi, guidé

À toi : un+1=un2+4u_{n+1} = \dfrac{u_n}{2} + 4 converge. Trouve ℓ\ell.

ℓ2=4\dfrac{\ell}{2} = 4
On résout ℓ = ℓ/2 + 4.
ℓ=8\ell = 8
On multiplie par 2.

Entraînement ★

  1. La suite définie par un+1=un5+12u_{n+1} = \dfrac{u_n}{ 5 } + 12 converge. Quelle est sa limite ?
  2. La suite définie par un+1=un5+4u_{n+1} = \dfrac{u_n}{ 5 } + 4 converge. Quelle est sa limite ?
  3. La suite définie par un+1=un6+10u_{n+1} = \dfrac{u_n}{ 6 } + 10 converge. Quelle est sa limite ?

Attention !

Entraînement ★★

  1. La suite à termes positifs définie par un+1=un+12u_{n+1} = \sqrt{u_n + 12} converge. Quelle est sa limite ?
  2. La suite à termes positifs définie par un+1=un+6u_{n+1} = \sqrt{u_n + 6} converge. Quelle est sa limite ?
  1. La suite un+1=0,5 un+3u_{n+1} = 0{,}5\,u_n + 3 converge vers ℓ\ell. Que vaut ℓ\ell ?
  1. Pour une suite un+1=f(un)u_{n+1} = f(u_n), quelle condition assure que sa limite ℓ\ell vérifie f(ℓ)=ℓf(\ell) = \ell ?
    1. La suite converge vers ℓ\ell et ff est continue en ℓ\ell
    2. ff est croissante
    3. L'équation f(x)=xf(x) = x a une solution

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. La suite définie par un+1=un5+12u_{n+1} = \dfrac{u_n}{ 5 } + 12 converge. Quelle est sa limite ?
  2. La suite définie par un+1=un5+4u_{n+1} = \dfrac{u_n}{ 5 } + 4 converge. Quelle est sa limite ?
  3. La suite définie par un+1=un6+10u_{n+1} = \dfrac{u_n}{ 6 } + 10 converge. Quelle est sa limite ?

Fiche résumé

Suites un+1=f(un)u_{n+1} = f(u_n)

  • Si elle converge et si ff est continue : ℓ=f(ℓ)\ell = f(\ell).
  • On résout, puis on choisit la solution compatible avec la suite.

Attention : il faut d'abord savoir que la suite converge.

Corrigé: Continuité des fonctions

1. Continuité

A

  1. 33
  2. 1515
  3. 1212

B

  1. Non : f(5)f(5) n'est pas défini
  2. Non : f(9)f(9) n'est pas défini

C

  1. x3−2x+1x^3 - 2x + 1 · sin⁡x\sin x · ∣x∣|x|

D

  1. 33
  2. 1515
  3. 1212

2. Dérivabilité et continuité

A

  1. Non : la courbe a un point anguleux (pentes −1-1 et 11).
  2. Non : la courbe a un point anguleux (pentes −1-1 et 11).

B

  1. 88
  2. 1010
  3. 1212

C

  1. 88
  2. 1010
  3. 1212

3. Le théorème des valeurs intermédiaires

A

  1. Oui, d'après le théorème des valeurs intermédiaires
  2. Oui, d'après le théorème des valeurs intermédiaires

B

  1. Non : ff n'est pas continue sur [−4;4][-4 ; 4], le théorème ne s'applique pas

C

  1. 11
  2. 22
  3. 33

D

  1. 11
  2. 22
  3. 33

4. Suites définies par uₙ₊₁ = f(uₙ) et continuité

A

  1. 1515
  2. 55
  3. 1212

B

  1. 44
  2. 33

C

  1. 66

D

  1. La suite converge vers ℓ\ell et ff est continue en ℓ\ell

E

  1. 1515
  2. 55
  3. 1212