Symétrie et triangle de Pascal

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Choisir les 2 élèves qui partent parmi 5, ou les 3 qui restent : est-ce le même nombre de possibilités ?

Deux relations permettent de calculer les coefficients binomiaux sans factorielle.

Figure non à l'échelle

Symétrie : $\dbinom{n}{k} = \dbinom{n}{n-k}$ .

Relation de Pascal : $\dbinom{n}{k} + \dbinom{n}{k+1} = \dbinom{n+1}{k+1}$ .

Valeurs à connaître : $\dbinom{n}{0} = 1$ , $\dbinom{n}{1} = n$ , $\dbinom{n}{2} = \dfrac{n(n-1)}{2}$ .

La ligne $n = 4$ du triangle de Pascal est $1, 4, 6, 4, 1$ . Trouve $\dbinom{5}{2}$ .

\dbinom{5}{2} = \dbinom{4}{1} + \dbinom{4}{2}

Relation de Pascal avec n = 4 et k = 1.

\dbinom{5}{2} = 4 + 6 = 10

On lit la ligne 4.

À toi : la ligne $n = 5$ est $1, 5, 10, 10, 5, 1$ . Trouve $\dbinom{6}{3}$ .

\dbinom{6}{3} = \dbinom{5}{2} + \dbinom{5}{3} = 10 + 10

Pascal : les deux termes juste au-dessus.

20

La somme.

On sait que $\dbinom{ 6 }{ 2 } = 15$ et $\dbinom{ 6 }{ 3 } = 20$ . Quelle est la valeur de $\dbinom{ 7 }{ 3 }$ ?
On sait que $\dbinom{ 4 }{ 2 } = 6$ et $\dbinom{ 4 }{ 3 } = 4$ . Quelle est la valeur de $\dbinom{ 5 }{ 3 }$ ?

Problème final. Un club compte 5 filles et 7 garçons. On forme un comité de 3 personnes.

Quelle est la somme des coefficients de la ligne $n = 6$ du triangle de Pascal ?

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

Triangle de Pascal

Attention : le coefficient de la ligne $n+1$ vient des deux termes juste au-dessus de lui.

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