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Toutes les leçons du chapitre, prêtes pour le papier. Les séries d'exercices sont notées A, B, C… et corrigées à la fin.

Avec le corrigé

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1. Principes additif et multiplicatif

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

À la cantine, on choisit une entrée parmi 3 puis un plat parmi 4. Combien de menus différents peut-on composer ?

L'idée clé

Pour dénombrer, on se demande d'abord comment se décompose le choix.

Figure non à l'échelle

Principe multiplicatif : pour des choix successifs (ceci et cela), on multiplie. $\text{Card}(A \times B) = \text{Card}(A) \times \text{Card}(B)$ .

Principe additif : pour des cas qui s'excluent (ceci ou cela), on additionne. Si $A$ et $B$ sont disjoints, $\text{Card}(A \cup B) = \text{Card}(A) + \text{Card}(B)$ .

Exemple corrigé

Un code est formé d'une lettre parmi 26 puis d'un chiffre parmi 10. Un autre système utilise un seul symbole, à choisir parmi 12. Combien y a-t-il de codes en tout ?

26 \times 10 = 260

Une lettre et un chiffre : choix successifs, on multiplie.

260 + 12 = 272

Un code est de l'un ou de l'autre système : les cas s'excluent, on additionne.

À toi, guidé

À toi : un trajet passe par l'une des 3 routes de A à B, puis l'une des 5 routes de B à C. Combien y a-t-il de trajets de A à C ?

3 \times 5

Une route, puis une autre : on multiplie.

15

Le produit.

Entraînement ★

Un menu se compose d'une entrée parmi 4, d'un plat parmi 8 et d'un dessert parmi 5. Combien de menus différents existe-t-il ?
Un menu se compose d'une entrée parmi 2, d'un plat parmi 3 et d'un dessert parmi 3. Combien de menus différents existe-t-il ?
Un menu se compose d'une entrée parmi 2, d'un plat parmi 3 et d'un dessert parmi 4. Combien de menus différents existe-t-il ?

Attention !

Entraînement ★★

Une bibliothèque propose 9 romans, 7 BD et 6 mangas. Tom emprunte un seul livre. Combien de choix a-t-il ?
Une bibliothèque propose 12 romans, 13 BD et 7 mangas. Tom emprunte un seul livre. Combien de choix a-t-il ?

Un mot de passe est soit une lettre parmi 4 suivie d'un chiffre parmi 4, soit un symbole seul parmi 6. Combien de mots de passe sont possibles ?
Un mot de passe est soit une lettre parmi 5 suivie d'un chiffre parmi 9, soit un symbole seul parmi 6. Combien de mots de passe sont possibles ?

Pour aller de $A$ à $C$ , on peut passer par $B$ (5 routes de $A$ à $B$ , puis 6 routes de $B$ à $C$ ) ou prendre l'une des 1 routes directes. Combien y a-t-il de trajets possibles ?

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

Un menu se compose d'une entrée parmi 4, d'un plat parmi 8 et d'un dessert parmi 5. Combien de menus différents existe-t-il ?
Un menu se compose d'une entrée parmi 2, d'un plat parmi 3 et d'un dessert parmi 3. Combien de menus différents existe-t-il ?
Un menu se compose d'une entrée parmi 2, d'un plat parmi 3 et d'un dessert parmi 4. Combien de menus différents existe-t-il ?

Fiche résumé

Additionner ou multiplier ?

Ceci et cela (choix successifs) : on multiplie.
Ceci ou cela (cas disjoints) : on additionne.

Attention : pose-toi la question à chaque étape du dénombrement.

2. k-uplets et parties d'un ensemble

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

Un cadenas a 3 molettes, chacune avec les chiffres de 0 à 9. Combien de codes existe-t-il ?

1 000
59 049
30

L'idée clé

Un k-uplet (ou k-liste) est une liste ordonnée de $k$ éléments, répétitions permises.

Le nombre de $k$ -uplets d'un ensemble à $n$ éléments est $n^k$ .

Le nombre de parties d'un ensemble à $n$ éléments est $2^n$ : chaque élément est dedans ou dehors.

Exemple corrigé

Un ensemble $E$ a 5 éléments. Combien a-t-il de parties ?

2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2

Pour chaque élément : 2 possibilités, dans la partie ou non.

2^5 = 32

Principe multiplicatif, 5 fois.

E

a 32 parties.

Ce compte inclut l'ensemble vide et E lui-même.

À toi, guidé

À toi : combien de mots de 4 lettres peut-on écrire avec l'alphabet $\{a, b, c\}$ ?

3^4

3 choix pour chacune des 4 lettres.

81

3 × 3 × 3 × 3.

Entraînement ★

Un code est une suite de 4 symboles, chacun choisi parmi 7 (les répétitions sont permises). Combien de codes existe-t-il ?
Un code est une suite de 5 symboles, chacun choisi parmi 6 (les répétitions sont permises). Combien de codes existe-t-il ?
Un code est une suite de 4 symboles, chacun choisi parmi 5 (les répétitions sont permises). Combien de codes existe-t-il ?

Attention !

Entraînement ★★

Un ensemble a 9 éléments. Combien a-t-il de parties (ensemble vide compris) ?
Un ensemble a 6 éléments. Combien a-t-il de parties (ensemble vide compris) ?

Pourquoi un ensemble à 8 éléments a-t-il autant de parties qu'il y a de mots de 8 lettres écrits avec 0 et 1 ?
1. À chaque partie correspond un mot : 1 si l'élément est dedans, 0 sinon.
2. Parce que chaque mot contient 8 lettres, donc il y a $2 \times 8$ mots.
3. Parce que le nombre de mots est $8^2$ , comme le nombre de parties.

Combien de codes de 2 chiffres peut-on former avec 6 chiffres différents, si les répétitions sont permises ?

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

Un code est une suite de 4 symboles, chacun choisi parmi 7 (les répétitions sont permises). Combien de codes existe-t-il ?
Un code est une suite de 5 symboles, chacun choisi parmi 6 (les répétitions sont permises). Combien de codes existe-t-il ?
Un code est une suite de 4 symboles, chacun choisi parmi 5 (les répétitions sont permises). Combien de codes existe-t-il ?

Fiche résumé

k-uplets et parties

$k$ -uplets d'un ensemble à $n$ éléments : $n^k$ .
Parties d'un ensemble à $n$ éléments : $2^n$ .

Attention : c'est $n^k$ , et non $k^n$ . Lis bien qui est le nombre de choix.

3. k-uplets d'éléments distincts, factorielle et permutations

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

8 coureurs disputent une course. Combien de podiums (1er, 2e, 3e) sont possibles ?

L'idée clé

Quand les éléments doivent être distincts, le nombre de choix diminue à chaque étape.

Nombre de $k$ -uplets d'éléments distincts d'un ensemble à $n$ éléments : $n(n-1)\cdots(n-k+1)$ .

Une permutation range les $n$ éléments : il y en a $n! = n \times (n-1) \times \cdots \times 2 \times 1$ , avec $0! = 1$ .

Exemple corrigé

De combien de façons peut-on asseoir 5 amis sur 5 chaises en ligne ?

5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1

5 choix pour la première chaise, puis un de moins à chaque fois.

5! = 120

C'est une permutation.

À toi, guidé

À toi : calcule $\dfrac{7!}{5!}$ .

\dfrac{7!}{5!} = 7 \times 6

On simplifie 5 × 4 × 3 × 2 × 1.

42

Le produit.

Entraînement ★

7 candidats se présentent à un concours. Combien de classements des 3 premiers sont possibles ?
9 candidats se présentent à un concours. Combien de classements des 3 premiers sont possibles ?
14 candidats se présentent à un concours. Combien de classements des 3 premiers sont possibles ?

Attention !

Entraînement ★★

De combien de façons peut-on ranger 5 livres différents sur une étagère ?
De combien de façons peut-on ranger 7 livres différents sur une étagère ?

Calcule $\dfrac{ 17! }{ 15! }$ .
Calcule $\dfrac{ 18! }{ 16! }$ .

9 coureurs disputent une course. Le coureur Léo finit premier. Combien de podiums (1er, 2e, 3e) sont alors possibles ?

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

7 candidats se présentent à un concours. Combien de classements des 3 premiers sont possibles ?
9 candidats se présentent à un concours. Combien de classements des 3 premiers sont possibles ?
14 candidats se présentent à un concours. Combien de classements des 3 premiers sont possibles ?

Fiche résumé

Éléments distincts

$k$ -uplets distincts : $n(n-1)\cdots(n-k+1)$ .
Permutations de $n$ éléments : $n!$ , et $0! = 1$ .

Attention : avec répétitions, c'est $n^k$ . Sans répétitions, le nombre de choix baisse.

4. Combinaisons et coefficients binomiaux

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

Dans une classe de 5 élèves, on en choisit 2 pour une sortie. Le duo Ana-Ben est le même que Ben-Ana. Combien de duos y a-t-il ?

L'idée clé

Une combinaison de $k$ éléments est une partie à $k$ éléments : sans ordre et sans répétition.

$\displaystyle\binom{n}{k} = \frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}$

On lit « $k$ parmi $n$ ». Chaque partie correspond à $k!$ listes ordonnées, d'où la division par $k!$ .

Exemple corrigé

Calcule $\dbinom{6}{2}$ et interprète.

\dbinom{6}{2} = \dfrac{6 \times 5}{2!}

Deux facteurs au numérateur, car k = 2.

\dbinom{6}{2} = 15

2! = 2.

Il y a 15 façons de choisir 2 éléments parmi 6.

L'interprétation : des parties à 2 éléments.

À toi, guidé

À toi : calcule $\dbinom{7}{3}$ .

\dbinom{7}{3} = \dfrac{7 \times 6 \times 5}{6}

Trois facteurs, divisés par 3! = 6.

35

210 ÷ 6.

Entraînement ★

Calcule $\dbinom{ 11 }{ 2 }$ .
Calcule $\dbinom{ 12 }{ 3 }$ .
Calcule $\dbinom{ 12 }{ 2 }$ .

Attention !

Entraînement ★★

Dans une équipe de 21 personnes, on forme un groupe de 3, sans rôle particulier. Combien de groupes différents peut-on former ?
Dans une équipe de 7 personnes, on forme un groupe de 3, sans rôle particulier. Combien de groupes différents peut-on former ?

Dans une classe de 17 élèves, on tire au sort un délégué et un suppléant. Quel calcul donne le nombre de tirages possibles ?
1. $17 \times 16$
2. $\dbinom{ 17 }{2}$
3. $17^2$
Dans une classe de 18 élèves, on tire au sort un délégué et un suppléant. Quel calcul donne le nombre de tirages possibles ?
1. $18 \times 17$
2. $\dbinom{ 18 }{2}$
3. $18^2$

Un club compte 6 filles et 3 garçons. On choisit 2 filles et 1 garçon. Combien de groupes possibles ?

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

Calcule $\dbinom{ 11 }{ 2 }$ .
Calcule $\dbinom{ 12 }{ 3 }$ .
Calcule $\dbinom{ 12 }{ 2 }$ .

Fiche résumé

Combinaisons

$\dbinom{n}{k}$ : nombre de parties à $k$ éléments d'un ensemble à $n$ éléments.
$\dbinom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}$ .

Attention : si l'ordre compte, ce n'est pas une combinaison.

5. Symétrie et triangle de Pascal

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

Choisir les 2 élèves qui partent parmi 5, ou les 3 qui restent : est-ce le même nombre de possibilités ?

L'idée clé

Deux relations permettent de calculer les coefficients binomiaux sans factorielle.

Figure non à l'échelle

Symétrie : $\dbinom{n}{k} = \dbinom{n}{n-k}$ .

Relation de Pascal : $\dbinom{n}{k} + \dbinom{n}{k+1} = \dbinom{n+1}{k+1}$ .

Valeurs à connaître : $\dbinom{n}{0} = 1$ , $\dbinom{n}{1} = n$ , $\dbinom{n}{2} = \dfrac{n(n-1)}{2}$ .

Exemple corrigé

La ligne $n = 4$ du triangle de Pascal est $1, 4, 6, 4, 1$ . Trouve $\dbinom{5}{2}$ .

\dbinom{5}{2} = \dbinom{4}{1} + \dbinom{4}{2}

Relation de Pascal avec n = 4 et k = 1.

\dbinom{5}{2} = 4 + 6 = 10

On lit la ligne 4.

À toi, guidé

À toi : la ligne $n = 5$ est $1, 5, 10, 10, 5, 1$ . Trouve $\dbinom{6}{3}$ .

\dbinom{6}{3} = \dbinom{5}{2} + \dbinom{5}{3} = 10 + 10

Pascal : les deux termes juste au-dessus.

20

La somme.

Entraînement ★

Sans calculatrice, calcule $\dbinom{ 27 }{ 25 }$ .
Sans calculatrice, calcule $\dbinom{ 13 }{ 11 }$ .
Sans calculatrice, calcule $\dbinom{ 23 }{ 21 }$ .

Attention !

Entraînement ★★

On sait que $\dbinom{ 6 }{ 2 } = 15$ et $\dbinom{ 6 }{ 3 } = 20$ . Quelle est la valeur de $\dbinom{ 7 }{ 3 }$ ?
On sait que $\dbinom{ 4 }{ 2 } = 6$ et $\dbinom{ 4 }{ 3 } = 4$ . Quelle est la valeur de $\dbinom{ 5 }{ 3 }$ ?

Problème final. Un club compte 5 filles et 7 garçons. On forme un comité de 3 personnes.

Quelle est la somme des coefficients de la ligne $n = 6$ du triangle de Pascal ?

Calcule $\dbinom{ 11 }{1} + \dbinom{ 11 }{0}$ .

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

Sans calculatrice, calcule $\dbinom{ 27 }{ 25 }$ .
Sans calculatrice, calcule $\dbinom{ 13 }{ 11 }$ .
Sans calculatrice, calcule $\dbinom{ 23 }{ 21 }$ .

Fiche résumé

Triangle de Pascal

$\dbinom{n}{k} = \dbinom{n}{n-k}$ .
$\dbinom{n}{k} + \dbinom{n}{k+1} = \dbinom{n+1}{k+1}$ .

Attention : le coefficient de la ligne $n+1$ vient des deux termes juste au-dessus de lui.

Corrigé: Combinatoire et dénombrement

1. Principes additif et multiplicatif

$160$
$18$
$24$

$22$
$32$

$22$
$51$

$31$

$160$
$18$
$24$

2. k-uplets et parties d'un ensemble

$2401$
$7776$
$625$

$512$
$64$

À chaque partie correspond un mot : 1 si l'élément est dedans, 0 sinon.

$36$

$2401$
$7776$
$625$

3. k-uplets d'éléments distincts, factorielle et permutations

$210$
$504$
$2184$

$120$
$5040$

$272$
$306$

$56$

$210$
$504$
$2184$

4. Combinaisons et coefficients binomiaux

$55$
$220$
$66$

$1330$
$35$

$17 \times 16$
$18 \times 17$

$45$

$55$
$220$
$66$

5. Symétrie et triangle de Pascal

$351$
$78$
$253$

$35$
$10$

$175$

$64$

$12$

$351$
$78$
$253$