Dérivée d'une fonction composée

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

La courbe violette est celle de $y = \sin x$ ; la bleue, celle de $y = \sin(kx)$ . Augmente $k$ .

Les courbes de y = sin x et y = sin(kx). Pour k = 2, la courbe bleue oscille deux fois plus vite et sa pente maximale vaut 2 au lieu de 1.

Pour $k = 2$ , la courbe bleue va deux fois plus vite. Quel est le coefficient directeur de la tangente à $y = \sin(2x)$ en $x = 0$ ?

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L'idée clé

Pour une fonction composée : on dérive la fonction extérieure en gardant l'intérieur, puis on multiplie par la dérivée de l'intérieur.

Dérivée d'une composée :

(v \circ u)' = (v' \circ u) \times u'

, c'est-à-dire

\big(v(u(x))\big)' = v'(u(x)) \times u'(x)

.

Exemple corrigé

$h(x) = (x^2 + 1)^5$ . Calcule $h'(x)$ .

v(u) = u^5

et

u(x) = x^2 + 1

À l'extérieur la puissance 5, à l'intérieur x² + 1.

h'(x) = 5(x^2 + 1)^4 \times 2x

v'(u) = 5u⁴ en gardant l'intérieur, et u'(x) = 2x.

h'(x) = 10x(x^2 + 1)^4

On ordonne.

À toi, guidé

À toi : $h(x) = \mathrm{e}^{3x}$ .

h'(x) = 3\mathrm{e}^{3x}

À l'extérieur exp, à l'intérieur 3x : on multiplie par 3.

Entraînement ★

$f(x) = (6x + 7)^{ 4 }$ . Calcule $f'(x)$ .
$f(x) = (7x + 6)^{ 4 }$ . Calcule $f'(x)$ .
$f(x) = (3x + 5)^{ 4 }$ . Calcule $f'(x)$ .

Attention !

Entraînement ★★

$f(x) = \sin(4x^2)$ . Calcule $f'(x)$ .
$f(x) = \sin(6x^2)$ . Calcule $f'(x)$ .

$f(x) = \mathrm{e}^{ 5x^2}$ . Calcule $f'(x)$ .
$f(x) = \mathrm{e}^{ 4x^2}$ . Calcule $f'(x)$ .

Problème final. $h(x) = x^{ 3 }\sin(4x)$ . Cherche le coefficient directeur de la tangente à sa courbe en $x = \dfrac{\pi}{ 4 }$ .

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

$f(x) = (6x + 7)^{ 4 }$ . Calcule $f'(x)$ .
$f(x) = (7x + 6)^{ 4 }$ . Calcule $f'(x)$ .
$f(x) = (3x + 5)^{ 4 }$ . Calcule $f'(x)$ .

Fiche résumé

Dérivée d'une composée

$(v \circ u)' = (v' \circ u) \times u'$ : dérivée de l'extérieur (intérieur gardé) fois dérivée de l'intérieur.

Attention : ne pas oublier le facteur $u'(x)$ .

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