Étudier une fonction : dérivée, limites, variations

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

On veut dresser le tableau de variations de $f(x) = x\mathrm{e}^{-x}$ . Par quoi commence-t-on ?

Étudier une fonction, c'est enchaîner quelques étapes.

Étudie $f(x) = x\mathrm{e}^{-x}$ sur $\mathbb{R}$ .

f'(x) = \mathrm{e}^{-x} - x\mathrm{e}^{-x} = (1 - x)\mathrm{e}^{-x}

Dérivée d'un produit, avec (e⁻ˣ)' = −e⁻ˣ.

f

est croissante sur

]-\infty ; 1]

et décroissante sur

[1 ; +\infty[

e⁻ˣ > 0 : le signe est celui de 1 − x.

f(1) = \mathrm{e}^{-1}

Le maximum est atteint en 1.

\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0

Croissances comparées en +∞.

À toi : $f(x) = (x - 2)\mathrm{e}^{x}$ , avec $f'(x) = (x - 1)\mathrm{e}^x$ . Où $f$ atteint-elle son minimum ?

x = 1

f' passe de négative à positive quand x − 1 s'annule.

$f(x) = (x - 6)\mathrm{e}^x$ , et on admet que $f'(x) = (x - 5)\mathrm{e}^x$ . En quelle valeur de $x$ la fonction $f$ atteint-elle son minimum ?
$f(x) = (x - 1)\mathrm{e}^x$ , et on admet que $f'(x) = (x - 0)\mathrm{e}^x$ . En quelle valeur de $x$ la fonction $f$ atteint-elle son minimum ?
$f(x) = (x - 3)\mathrm{e}^x$ , et on admet que $f'(x) = (x - 2)\mathrm{e}^x$ . En quelle valeur de $x$ la fonction $f$ atteint-elle son minimum ?

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

$f(x) = (x - 6)\mathrm{e}^x$ , et on admet que $f'(x) = (x - 5)\mathrm{e}^x$ . En quelle valeur de $x$ la fonction $f$ atteint-elle son minimum ?
$f(x) = (x - 1)\mathrm{e}^x$ , et on admet que $f'(x) = (x - 0)\mathrm{e}^x$ . En quelle valeur de $x$ la fonction $f$ atteint-elle son minimum ?
$f(x) = (x - 3)\mathrm{e}^x$ , et on admet que $f'(x) = (x - 2)\mathrm{e}^x$ . En quelle valeur de $x$ la fonction $f$ atteint-elle son minimum ?

Étude de fonction

Attention : $\mathrm{e}^{u}$ est toujours positif, il ne change pas le signe.

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