Compléments sur la dérivation

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Toutes les leçons du chapitre, prêtes pour le papier. Les séries d'exercices sont notées A, B, C… et corrigées à la fin.

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1. Dérivée d'une fonction composée

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

La courbe violette est celle de y=sin⁡xy = \sin x ; la bleue, celle de y=sin⁡(kx)y = \sin(kx). Augmente kk.

Les courbes de y = sin x et y = sin(kx). Pour k = 2, la courbe bleue oscille deux fois plus vite et sa pente maximale vaut 2 au lieu de 1.

Pour k=2k = 2, la courbe bleue va deux fois plus vite. Quel est le coefficient directeur de la tangente à y=sin⁡(2x)y = \sin(2x) en x=0x = 0 ?

  1. 2
  2. 1

L'idée clé

Pour une fonction composée : on dérive la fonction extérieure en gardant l'intérieur, puis on multiplie par la dérivée de l'intérieur.

Dérivée d'une composée : (v∘u)′=(v′∘u)×u′(v \circ u)' = (v' \circ u) \times u', c'est-à-dire (v(u(x)))′=v′(u(x))×u′(x)\big(v(u(x))\big)' = v'(u(x)) \times u'(x).

Exemple corrigé

h(x)=(x2+1)5h(x) = (x^2 + 1)^5. Calcule h′(x)h'(x).

v(u)=u5v(u) = u^5 et u(x)=x2+1u(x) = x^2 + 1
À l'extérieur la puissance 5, à l'intérieur x² + 1.
h′(x)=5(x2+1)4×2xh'(x) = 5(x^2 + 1)^4 \times 2x
v'(u) = 5u⁴ en gardant l'intérieur, et u'(x) = 2x.
h′(x)=10x(x2+1)4h'(x) = 10x(x^2 + 1)^4
On ordonne.

À toi, guidé

À toi : h(x)=e3xh(x) = \mathrm{e}^{3x}.

h′(x)=3e3xh'(x) = 3\mathrm{e}^{3x}
À l'extérieur exp, à l'intérieur 3x : on multiplie par 3.

Entraînement ★

  1. f(x)=(6x+7)4f(x) = (6x + 7)^{ 4 }. Calcule f′(x)f'(x).
  2. f(x)=(7x+6)4f(x) = (7x + 6)^{ 4 }. Calcule f′(x)f'(x).
  3. f(x)=(3x+5)4f(x) = (3x + 5)^{ 4 }. Calcule f′(x)f'(x).

Attention !

Entraînement ★★

  1. f(x)=sin⁡(4x2)f(x) = \sin(4x^2). Calcule f′(x)f'(x).
  2. f(x)=sin⁡(6x2)f(x) = \sin(6x^2). Calcule f′(x)f'(x).
  1. f(x)=e5x2f(x) = \mathrm{e}^{ 5x^2}. Calcule f′(x)f'(x).
  2. f(x)=e4x2f(x) = \mathrm{e}^{ 4x^2}. Calcule f′(x)f'(x).
  1. Problème final. h(x)=x3sin⁡(4x)h(x) = x^{ 3 }\sin(4x). Cherche le coefficient directeur de la tangente à sa courbe en x=π4x = \dfrac{\pi}{ 4 }.

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. f(x)=(6x+7)4f(x) = (6x + 7)^{ 4 }. Calcule f′(x)f'(x).
  2. f(x)=(7x+6)4f(x) = (7x + 6)^{ 4 }. Calcule f′(x)f'(x).
  3. f(x)=(3x+5)4f(x) = (3x + 5)^{ 4 }. Calcule f′(x)f'(x).

Fiche résumé

Dérivée d'une composée

(v∘u)′=(v′∘u)×u′(v \circ u)' = (v' \circ u) \times u' : dérivée de l'extérieur (intérieur gardé) fois dérivée de l'intérieur.

Attention : ne pas oublier le facteur u′(x)u'(x).

2. La dérivée seconde, la convexité et l'accélération

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

La courbe violette est celle de y=x3y = x^3. La droite bleue est sa tangente en x=ax = a. Fais glisser aa de −2-2 à 22.

La courbe y = x³ et sa tangente en x = a. Pour a < 0, la courbe est sous sa tangente ; pour a > 0, elle est au-dessus. Le changement se produit en x = 0.

Pour a>0a > 0, la courbe est au-dessus de ses tangentes et les pentes 3a23a^2 augmentent. Comment se courbe-t-elle ?

  1. Vers le haut
  2. Vers le bas

L'idée clé

La dérivée de la dérivée indique comment varie la pente.

f′′f'' est la dérivée de f′f' : c'est la dérivée seconde. Si f′′≥0f'' \geq 0 sur un intervalle, alors f′f' y est croissante ; si f′′≤0f'' \leq 0, alors f′f' y est décroissante. En physique : l'accélération est a(t)=v′(t)a(t) = v'(t), la dérivée seconde de la position.

Exemple corrigé

v(t)=t2+4tv(t) = t^2 + 4t, en m/s. Calcule l'accélération à l'instant t=3t = 3.

a(t)=v′(t)=2t+4a(t) = v'(t) = 2t + 4
On dérive la vitesse.
a(3)=10a(3) = 10 m/s²
On remplace t par 3.

À toi, guidé

À toi : même v(t)v(t), à l'instant t=1t = 1.

a(1)=6a(1) = 6 m/s²
2 × 1 + 4.

Entraînement ★

  1. Sur l'intervalle ]2;8[]2 ; 8[, la fonction ff est croissante et sa courbe se courbe vers le bas. Coche toutes les affirmations vraies sur cet intervalle.
    1. f′(x)>0f'(x) > 0
    2. f′′(x)<0f''(x) < 0
    3. f′f' est décroissante : la courbe monte de moins en moins vite
    4. f′′(x)>0f''(x) > 0, car ff est croissante
    5. f′(x)<0f'(x) < 0, car la courbe se courbe vers le bas
  1. La vitesse d'une particule est v(t)=t2+4tv(t) = t^2 + 4t, en m/s. Son accélération est a(t)=v′(t)a(t) = v'(t). Calcule a(6)a(6), en m/s².
  2. La vitesse d'une particule est v(t)=t2+1tv(t) = t^2 + 1t, en m/s. Son accélération est a(t)=v′(t)a(t) = v'(t). Calcule a(6)a(6), en m/s².

Attention !

Entraînement ★★

  1. Voici la courbe de la dérivée y=f′(x)y = f'(x). Touche le point de cette courbe dont l'abscisse correspond à un point d'inflexion de ff.
  2. Voici la courbe de la dérivée y=f′(x)y = f'(x). Touche le point de cette courbe dont l'abscisse correspond à un point d'inflexion de ff.

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. La vitesse d'une particule est v(t)=t2+4tv(t) = t^2 + 4t, en m/s. Son accélération est a(t)=v′(t)a(t) = v'(t). Calcule a(6)a(6), en m/s².
  2. La vitesse d'une particule est v(t)=t2+1tv(t) = t^2 + 1t, en m/s. Son accélération est a(t)=v′(t)a(t) = v'(t). Calcule a(6)a(6), en m/s².
  3. La vitesse d'une particule est v(t)=t2+6tv(t) = t^2 + 6t, en m/s. Son accélération est a(t)=v′(t)a(t) = v'(t). Calcule a(6)a(6), en m/s².

Fiche résumé

Dérivée seconde

  • f′′≥0f'' \geq 0 : f′f' est croissante. f′′≤0f'' \leq 0 : f′f' est décroissante.
  • L'accélération est la dérivée de la vitesse.

Attention : f′f' dit si la courbe monte ou descend ; f′′f'' dit comment elle se courbe.

3. Fonctions convexes

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

Trace une corde entre deux points de la parabole y=x2y = x^2, par exemple entre x=0x = 0 et x=2x = 2. Où se situe la corde par rapport à la courbe ?

  1. Au-dessus de la courbe
  2. Au-dessous de la courbe

L'idée clé

Une fonction convexe se courbe vers le haut.

ff est convexe sur un intervalle si sa courbe y est en dessous de ses sécantes. Elle est concave si sa courbe est au-dessus.

Pour ff deux fois dérivable, ff convexe   ⟺  \iff f′f' croissante   ⟺  \iff f′′≥0f'' \geq 0   ⟺  \iff la courbe est au-dessus de ses tangentes.

Exemple corrigé

Étudie la convexité de f(x)=x3−3x2f(x) = x^3 - 3x^2.

f′(x)=3x2−6xf'(x) = 3x^2 - 6x
On dérive une première fois.
f′′(x)=6x−6f''(x) = 6x - 6
On dérive une seconde fois.
f′′(x)≥0  ⟺  x≥1f''(x) \geq 0 \iff x \geq 1
Signe de f''.
ff est concave sur ]−∞;1]]-\infty ; 1] et convexe sur [1;+∞[[1 ; +\infty[
On traduit.

À toi, guidé

À toi : f(x)=x3−6x2f(x) = x^3 - 6x^2. Pour quelle valeur f′′(x)f''(x) s'annule-t-elle ?

f′′(x)=6x−12f''(x) = 6x - 12
On dérive deux fois.
x=2x = 2
On résout 6x − 12 = 0.

Entraînement ★

  1. f(x)=x3−6x2f(x) = x^3 - 6x^2. En quelle valeur de xx la dérivée seconde f′′f'' s'annule-t-elle ?
  2. f(x)=x3−15x2f(x) = x^3 - 15x^2. En quelle valeur de xx la dérivée seconde f′′f'' s'annule-t-elle ?
  3. f(x)=x3−3x2f(x) = x^3 - 3x^2. En quelle valeur de xx la dérivée seconde f′′f'' s'annule-t-elle ?

Attention !

Entraînement ★★

  1. ff est convexe sur R\mathbb{R}. Que peut-on dire de sa courbe et de sa tangente au point d'abscisse 2 ?
    1. La courbe est au-dessus de cette tangente
    2. La courbe est en dessous de cette tangente
    3. La courbe coupe forcément cette tangente
  2. ff est convexe sur R\mathbb{R}. Que peut-on dire de sa courbe et de sa tangente au point d'abscisse 4 ?
    1. La courbe est au-dessus de cette tangente
    2. La courbe est en dessous de cette tangente
    3. La courbe coupe forcément cette tangente
  3. ff est convexe sur R\mathbb{R}. Que peut-on dire de sa courbe et de sa tangente au point d'abscisse 1 ?
    1. La courbe est au-dessus de cette tangente
    2. La courbe est en dessous de cette tangente
    3. La courbe coupe forcément cette tangente
  1. La fonction f(x)=3exf(x) = 3\mathrm{e}^x est-elle convexe sur R\mathbb{R} ?
    1. Oui : f′′(x)=3ex>0f''(x) = 3\mathrm{e}^x > 0
    2. Non : ff est croissante, donc concave
    3. Seulement pour x>0x > 0
  2. La fonction f(x)=6exf(x) = 6\mathrm{e}^x est-elle convexe sur R\mathbb{R} ?
    1. Oui : f′′(x)=6ex>0f''(x) = 6\mathrm{e}^x > 0
    2. Non : ff est croissante, donc concave
    3. Seulement pour x>0x > 0
  1. f(x)=1x3f(x) = 1x^3. Calcule f′′(x)f''(x).

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. f(x)=x3−6x2f(x) = x^3 - 6x^2. En quelle valeur de xx la dérivée seconde f′′f'' s'annule-t-elle ?
  2. f(x)=x3−15x2f(x) = x^3 - 15x^2. En quelle valeur de xx la dérivée seconde f′′f'' s'annule-t-elle ?
  3. f(x)=x3−3x2f(x) = x^3 - 3x^2. En quelle valeur de xx la dérivée seconde f′′f'' s'annule-t-elle ?

Fiche résumé

Convexité

  • Convexe : courbe sous ses sécantes, au-dessus de ses tangentes, f′′≥0f'' \geq 0.
  • Concave : courbe au-dessus de ses sécantes, sous ses tangentes, f′′≤0f'' \leq 0.

Attention : le sens de variation ne dit rien de la convexité.

4. Point d'inflexion et lecture graphique de la convexité

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

La courbe de y=x3y = x^3 traverse sa tangente en x=0x = 0. Que se passe-t-il en ce point ?

  1. f′′(x)=6xf''(x) = 6x change de signe en 0. La fonction passe de concave à convexe." data-option="1">La courbe change de convexité
  2. f′(0)=0f'(0) = 0 ne fait pas un extremum ici : ff est croissante partout. Mais f′′f'' change de signe en 0." data-option="2">ff a un maximum

L'idée clé

Un point d'inflexion est un point où la courbe traverse sa tangente.

En un point d'inflexion, la convexité change : f′′f'' s'annule en changeant de signe. Sur une lecture graphique, c'est aussi un extremum de f′f'.

Attention : f′′(a)=0f''(a) = 0 ne suffit pas. Il faut un changement de signe.

Exemple corrigé

f(x)=x4f(x) = x^4 a-t-elle un point d'inflexion en 0 ?

f′′(x)=12x2f''(x) = 12x^2
On dérive deux fois.
f′′(0)=0f''(0) = 0
f'' s'annule en 0.
Pas de changement de signe : pas de point d'inflexion.
Mais 12x² reste positif des deux côtés de 0.

À toi, guidé

À toi : f(x)=x3−9x2f(x) = x^3 - 9x^2. Quelle est l'abscisse de son point d'inflexion ?

6x−18=06x - 18 = 0
f''(x) = 6x − 18.
x=3x = 3
f'' change de signe en cette valeur.

Entraînement ★

  1. Quelle est l'abscisse du point d'inflexion de la courbe de f(x)=x3−9x2+2f(x) = x^3 - 9x^2 + 2 ?
  2. Quelle est l'abscisse du point d'inflexion de la courbe de f(x)=x3−3x2+3f(x) = x^3 - 3x^2 + 3 ?
  3. Quelle est l'abscisse du point d'inflexion de la courbe de f(x)=x3−6x2+1f(x) = x^3 - 6x^2 + 1 ?

Attention !

Entraînement ★★

  1. f(x)=x4f(x) = x^{ 4 } vérifie f′′(0)=0f''(0) = 0. La courbe a-t-elle un point d'inflexion en 0 ?
    1. Non : f′′f'' ne change pas de signe en 0
    2. Oui, car f′′(0)=0f''(0) = 0
    3. Oui, et c'est un maximum de ff
  2. f(x)=x6f(x) = x^{ 6 } vérifie f′′(0)=0f''(0) = 0. La courbe a-t-elle un point d'inflexion en 0 ?
    1. Non : f′′f'' ne change pas de signe en 0
    2. Oui, car f′′(0)=0f''(0) = 0
    3. Oui, et c'est un maximum de ff
  1. Sur R\mathbb{R}, la courbe de f′f' admet un unique maximum, atteint en x=1x = 1. Que peut-on dire de ff en x=1x = 1 ?
    1. Sa courbe a un point d'inflexion d'abscisse 1
    2. ff a un maximum en 1
    3. f′(1)=0f'(1) = 0
  2. Sur R\mathbb{R}, la courbe de f′f' admet un unique maximum, atteint en x=5x = 5. Que peut-on dire de ff en x=5x = 5 ?
    1. Sa courbe a un point d'inflexion d'abscisse 5
    2. ff a un maximum en 5
    3. f′(5)=0f'(5) = 0
  1. La courbe de f(x)=x3f(x) = x^3 admet-elle un point d'inflexion en 0 ?
    1. Oui : f′′=6xf'' = 6x change de signe en 0
    2. Non : la tangente en 0 est horizontale
    3. Non : f′′(0)=0f''(0) = 0 ne suffit jamais

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. Quelle est l'abscisse du point d'inflexion de la courbe de f(x)=x3−9x2+2f(x) = x^3 - 9x^2 + 2 ?
  2. Quelle est l'abscisse du point d'inflexion de la courbe de f(x)=x3−3x2+3f(x) = x^3 - 3x^2 + 3 ?
  3. Quelle est l'abscisse du point d'inflexion de la courbe de f(x)=x3−6x2+1f(x) = x^3 - 6x^2 + 1 ?

Fiche résumé

Point d'inflexion

  • La courbe y traverse sa tangente, la convexité change.
  • f′′f'' s'annule en changeant de signe.

Attention : pour x4x^4, f′′(0)=0f''(0) = 0 mais il n'y a pas d'inflexion.

5. Démontrer des inégalités par convexité

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

La fonction exponentielle est convexe. Sa tangente en 0 a pour équation y=x+1y = x + 1. Quelle inégalité peut-on en déduire ?

  1. ex≥x+1\mathrm{e}^x \geq x + 1
  2. ex≤x+1\mathrm{e}^x \leq x + 1

L'idée clé

La position d'une courbe par rapport à une tangente donne une inégalité valable sur tout l'intervalle.

Si ff est convexe sur II et a∈Ia \in I : pour tout x∈Ix \in I, f(x)≥f′(a)(x−a)+f(a)f(x) \geq f'(a)(x - a) + f(a).

Si ff est concave, l'inégalité est dans l'autre sens.

Exemple corrigé

Montre que ln⁡x≤x−1\ln x \leq x - 1 pour tout x>0x > 0.

ln⁡\ln est concave sur ]0;+∞[]0 ; +\infty[.
(ln x)'' = −1/x² < 0.
Tangente en 1 : y=1×(x−1)+0=x−1y = 1 \times (x - 1) + 0 = x - 1
On écrit la tangente en 1.
Donc ln⁡x≤x−1\ln x \leq x - 1.
Une courbe concave est sous ses tangentes.

À toi, guidé

À toi : f(x)=x2f(x) = x^2, convexe. Tangente en 3 : y=6x−9y = 6x - 9. Quelle est la valeur de 6x−96x - 9 pour x=5x = 5 ?

2121
6 × 5 − 9, et 5² = 25 est bien au-dessus.

Entraînement ★

  1. La fonction f(x)=x2f(x) = x^2 est convexe. Sa tangente en x=5x = 5 a pour équation y=10x+cy = 10x + c. Quelle est la valeur de cc ?
  2. La fonction f(x)=x2f(x) = x^2 est convexe. Sa tangente en x=2x = 2 a pour équation y=4x+cy = 4x + c. Quelle est la valeur de cc ?
  3. La fonction f(x)=x2f(x) = x^2 est convexe. Sa tangente en x=6x = 6 a pour équation y=12x+cy = 12x + c. Quelle est la valeur de cc ?

Attention !

Entraînement ★★

  1. La fonction ff est concave sur R\mathbb{R} et sa tangente en 0 a pour équation y=2x+1y = 2x + 1. Quelle inégalité est vraie pour tout réel xx ?
    1. f(x)≤2x+1f(x) \leq 2x + 1
    2. f(x)≥2x+1f(x) \geq 2x + 1
    3. f(x)=2x+1f(x) = 2x + 1
  2. La fonction ff est concave sur R\mathbb{R} et sa tangente en 0 a pour équation y=9x+1y = 9x + 1. Quelle inégalité est vraie pour tout réel xx ?
    1. f(x)≤9x+1f(x) \leq 9x + 1
    2. f(x)≥9x+1f(x) \geq 9x + 1
    3. f(x)=9x+1f(x) = 9x + 1
  3. La fonction ff est concave sur R\mathbb{R} et sa tangente en 0 a pour équation y=3x+1y = 3x + 1. Quelle inégalité est vraie pour tout réel xx ?
    1. f(x)≤3x+1f(x) \leq 3x + 1
    2. f(x)≥3x+1f(x) \geq 3x + 1
    3. f(x)=3x+1f(x) = 3x + 1
  1. La fonction ln⁡\ln est concave sur ]0;+∞[]0 ; +\infty[ et sa tangente en 1 a pour équation y=x−1y = x - 1. Quelle inégalité en déduit-on ?
    1. ln⁡x≤x−1\ln x \leq x - 1
    2. ln⁡x≥x−1\ln x \geq x - 1
    3. ln⁡x=x−1\ln x = x - 1
  1. La fonction exp⁡\exp est convexe et sa tangente en 0 a pour équation y=x+1y = x + 1. Quelle inégalité en déduit-on ?
    1. ex≥x+1\mathrm{e}^x \geq x + 1
    2. ex≤x+1\mathrm{e}^x \leq x + 1
    3. ex≥x\mathrm{e}^x \geq x seulement pour x>0x > 0

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. La fonction ff est concave sur R\mathbb{R} et sa tangente en 0 a pour équation y=2x+1y = 2x + 1. Quelle inégalité est vraie pour tout réel xx ?
    1. f(x)≤2x+1f(x) \leq 2x + 1
    2. f(x)≥2x+1f(x) \geq 2x + 1
    3. f(x)=2x+1f(x) = 2x + 1
  2. La fonction ff est concave sur R\mathbb{R} et sa tangente en 0 a pour équation y=9x+1y = 9x + 1. Quelle inégalité est vraie pour tout réel xx ?
    1. f(x)≤9x+1f(x) \leq 9x + 1
    2. f(x)≥9x+1f(x) \geq 9x + 1
    3. f(x)=9x+1f(x) = 9x + 1
  3. La fonction ff est concave sur R\mathbb{R} et sa tangente en 0 a pour équation y=3x+1y = 3x + 1. Quelle inégalité est vraie pour tout réel xx ?
    1. f(x)≤3x+1f(x) \leq 3x + 1
    2. f(x)≥3x+1f(x) \geq 3x + 1
    3. f(x)=3x+1f(x) = 3x + 1

Fiche résumé

Inégalités de convexité

  • Convexe : f(x)≥f(x) \geq tangente.
  • Concave : f(x)≤f(x) \leq tangente.
  • À connaître : ex≥x+1\mathrm{e}^x \geq x + 1 et ln⁡x≤x−1\ln x \leq x - 1.

Attention : vérifie d'abord le signe de f′′f''.

6. Étudier une fonction : dérivée, limites, variations

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

On veut dresser le tableau de variations de f(x)=xe−xf(x) = x\mathrm{e}^{-x}. Par quoi commence-t-on ?

  1. Par calculer f′(x)f'(x) et son signe
  2. Par calculer quelques valeurs de ff

L'idée clé

Étudier une fonction, c'est enchaîner quelques étapes.

  1. Calculer f′(x)f'(x) et factoriser.
  2. Étudier le signe de f′(x)f'(x).
  3. Déterminer les limites aux bornes.
  4. Dresser le tableau de variations et calculer les extremums.

Exemple corrigé

Étudie f(x)=xe−xf(x) = x\mathrm{e}^{-x} sur R\mathbb{R}.

f′(x)=e−x−xe−x=(1−x)e−xf'(x) = \mathrm{e}^{-x} - x\mathrm{e}^{-x} = (1 - x)\mathrm{e}^{-x}
Dérivée d'un produit, avec (e⁻ˣ)' = −e⁻ˣ.
ff est croissante sur ]−∞;1]]-\infty ; 1] et décroissante sur [1;+∞[[1 ; +\infty[
e⁻ˣ > 0 : le signe est celui de 1 − x.
f(1)=e−1f(1) = \mathrm{e}^{-1}
Le maximum est atteint en 1.
lim⁡x→+∞f(x)=0\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0
Croissances comparées en +∞.

À toi, guidé

À toi : f(x)=(x−2)exf(x) = (x - 2)\mathrm{e}^{x}, avec f′(x)=(x−1)exf'(x) = (x - 1)\mathrm{e}^x. Où ff atteint-elle son minimum ?

x=1x = 1
f' passe de négative à positive quand x − 1 s'annule.

Entraînement ★

  1. f(x)=(x−6)exf(x) = (x - 6)\mathrm{e}^x, et on admet que f′(x)=(x−5)exf'(x) = (x - 5)\mathrm{e}^x. En quelle valeur de xx la fonction ff atteint-elle son minimum ?
  2. f(x)=(x−1)exf(x) = (x - 1)\mathrm{e}^x, et on admet que f′(x)=(x−0)exf'(x) = (x - 0)\mathrm{e}^x. En quelle valeur de xx la fonction ff atteint-elle son minimum ?
  3. f(x)=(x−3)exf(x) = (x - 3)\mathrm{e}^x, et on admet que f′(x)=(x−2)exf'(x) = (x - 2)\mathrm{e}^x. En quelle valeur de xx la fonction ff atteint-elle son minimum ?

Attention !

Entraînement ★★

  1. f(x)=xe3xf(x) = x\mathrm{e}^{ 3x }. Calcule f′(x)f'(x).
  2. f(x)=xe5xf(x) = x\mathrm{e}^{ 5x }. Calcule f′(x)f'(x).
  1. Problème final. On étudie f(x)=x2−2x+1f(x) = x^2 - 2x + 1 sur R\mathbb{R}.
  1. f(x)=x2−4x+6f(x) = x^2 - 4x + 6. En quelle valeur de xx le minimum est-il atteint ?
  1. f(x)=x2−2x+1f(x) = x^2 - 2x + 1. Quelle est la valeur du minimum de ff ?

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. f(x)=(x−6)exf(x) = (x - 6)\mathrm{e}^x, et on admet que f′(x)=(x−5)exf'(x) = (x - 5)\mathrm{e}^x. En quelle valeur de xx la fonction ff atteint-elle son minimum ?
  2. f(x)=(x−1)exf(x) = (x - 1)\mathrm{e}^x, et on admet que f′(x)=(x−0)exf'(x) = (x - 0)\mathrm{e}^x. En quelle valeur de xx la fonction ff atteint-elle son minimum ?
  3. f(x)=(x−3)exf(x) = (x - 3)\mathrm{e}^x, et on admet que f′(x)=(x−2)exf'(x) = (x - 2)\mathrm{e}^x. En quelle valeur de xx la fonction ff atteint-elle son minimum ?

Fiche résumé

Étude de fonction

  1. f′(x)f'(x), factorisée.
  2. Signe de f′f'.
  3. Limites.
  4. Tableau de variations.

Attention : eu\mathrm{e}^{u} est toujours positif, il ne change pas le signe.

Corrigé: Compléments sur la dérivation

1. Dérivée d'une fonction composée

A

  1. 24(6x+7)324 \left(6 x + 7\right)^{3}
  2. 28(7x+6)328 \left(7 x + 6\right)^{3}
  3. 12(3x+5)312 \left(3 x + 5\right)^{3}

B

  1. 8xcos⁡(4x2)8 x \cos{\left(4 x^{2} \right)}
  2. 12xcos⁡(6x2)12 x \cos{\left(6 x^{2} \right)}

C

  1. 10xe5x210 x e^{5 x^{2}}
  2. 8xe4x28 x e^{4 x^{2}}

D

  1. −π316- \frac{\pi^{3}}{16}

E

  1. 24(6x+7)324 \left(6 x + 7\right)^{3}
  2. 28(7x+6)328 \left(7 x + 6\right)^{3}
  3. 12(3x+5)312 \left(3 x + 5\right)^{3}

2. La dérivée seconde, la convexité et l'accélération

A

  1. f′(x)>0f'(x) > 0 · f′′(x)<0f''(x) < 0 · f′f' est décroissante : la courbe monte de moins en moins vite

B

  1. 1616
  2. 1313

C

  1. (−1,4)(-1, 4)
  2. (−1,1)(-1, 1)

D

  1. 1616
  2. 1313
  3. 1818

3. Fonctions convexes

A

  1. 22
  2. 55
  3. 11

B

  1. La courbe est au-dessus de cette tangente
  2. La courbe est au-dessus de cette tangente
  3. La courbe est au-dessus de cette tangente

C

  1. Oui : f′′(x)=3ex>0f''(x) = 3\mathrm{e}^x > 0
  2. Oui : f′′(x)=6ex>0f''(x) = 6\mathrm{e}^x > 0

D

  1. 6x6 x

E

  1. 22
  2. 55
  3. 11

4. Point d'inflexion et lecture graphique de la convexité

A

  1. 33
  2. 11
  3. 22

B

  1. Non : f′′f'' ne change pas de signe en 0
  2. Non : f′′f'' ne change pas de signe en 0

C

  1. Sa courbe a un point d'inflexion d'abscisse 1
  2. Sa courbe a un point d'inflexion d'abscisse 5

D

  1. Oui : f′′=6xf'' = 6x change de signe en 0

E

  1. 33
  2. 11
  3. 22

5. Démontrer des inégalités par convexité

A

  1. −25-25
  2. −4-4
  3. −36-36

B

  1. f(x)≤2x+1f(x) \leq 2x + 1
  2. f(x)≤9x+1f(x) \leq 9x + 1
  3. f(x)≤3x+1f(x) \leq 3x + 1

C

  1. ln⁡x≤x−1\ln x \leq x - 1

D

  1. ex≥x+1\mathrm{e}^x \geq x + 1

E

  1. f(x)≤2x+1f(x) \leq 2x + 1
  2. f(x)≤9x+1f(x) \leq 9x + 1
  3. f(x)≤3x+1f(x) \leq 3x + 1

6. Étudier une fonction : dérivée, limites, variations

A

  1. 55
  2. 00
  3. 22

B

  1. 3xe3x+e3x3 x e^{3 x} + e^{3 x}
  2. 5xe5x+e5x5 x e^{5 x} + e^{5 x}

C

  1. 22

D

  1. 22

E

  1. 00

F

  1. 55
  2. 00
  3. 22