Intersection droite-plan et projeté orthogonal

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

La droite $x = t$ , $y = t$ , $z = t$ coupe le plan $x + y + z - 6 = 0$ . Pour quelle valeur de $t$ ?

$t = 2$
$t = 6$

L'idée clé

Pour couper une droite et un plan, on remplace $x$ , $y$ , $z$ dans l'équation du plan.

Figure non à l'échelle

Intersection : on résout l'équation en $t$ , puis on calcule le point.

Projeté orthogonal de $M$ sur le plan $P$ : c'est l'intersection de $P$ et de la droite passant par $M$ , dirigée par un vecteur normal à $P$ . La distance de $M$ à $P$ est $MH$ .

Exemple corrigé

Trouve le projeté orthogonal $H$ de $M(1 ; 1 ; 3)$ sur le plan $z = 0$ de vecteur normal $\vec{n}(0 ; 0 ; 1)$ .

x = 1

,

y = 1

,

z = 3 + t

La droite passe par M, dirigée par n.

3 + t = 0

, donc

t = -3

Elle coupe le plan quand z = 0.

H(1 ; 1 ; 0)

et

MH = 3

On calcule le point.

À toi, guidé

À toi : la droite $x = 1 + t$ , $y = 2$ , $z = t$ coupe le plan $x + z - 5 = 0$ . Trouve $t$ .

2t - 4 = 0

On remplace : 1 + t + t − 5 = 0.

t = 2

On résout.

Entraînement ★

La droite $x = t$ , $y = 2t$ , $z = 1$ coupe le plan $x + y + z - 19 = 0$ . Pour quelle valeur de $t$ ?
La droite $x = t$ , $y = 5t$ , $z = 1$ coupe le plan $x + y + z - 13 = 0$ . Pour quelle valeur de $t$ ?
La droite $x = t$ , $y = 1t$ , $z = 1$ coupe le plan $x + y + z - 11 = 0$ . Pour quelle valeur de $t$ ?

Attention !

Entraînement ★★

Quelle est la distance du point $M(3 ; 2 ; 7)$ au plan d'équation $z = 0$ ?
Quelle est la distance du point $M(2 ; 5 ; 7)$ au plan d'équation $z = 0$ ?

Problème final. Dans un repère orthonormé, $P$ est le plan d'équation $x + y + z - 6 = 0$ , et $M$ est le point de coordonnées $(3 ; 3 ; 3)$ .

La droite de vecteur directeur $\vec{u}(1 ; -1 ; 0)$ passe par $A(0 ; 0 ; 2)$ , et le plan $P$ a pour équation $x + y + z = 0$ . Que peut-on dire ?
1. La droite est parallèle à $P$ et ne le coupe pas
2. La droite coupe $P$ en un seul point
3. La droite est contenue dans $P$

Sur un plan, le point $N(12 ; 6 ; 6)$ a pour projeté orthogonal $M(3 ; 6 ; 6)$ . Quelle est la distance de $N$ à ce plan ?

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

La droite $x = t$ , $y = 2t$ , $z = 1$ coupe le plan $x + y + z - 19 = 0$ . Pour quelle valeur de $t$ ?
La droite $x = t$ , $y = 5t$ , $z = 1$ coupe le plan $x + y + z - 13 = 0$ . Pour quelle valeur de $t$ ?
La droite $x = t$ , $y = 1t$ , $z = 1$ coupe le plan $x + y + z - 11 = 0$ . Pour quelle valeur de $t$ ?

Fiche résumé

Intersection et projeté

Droite et plan : on remplace, on résout en $t$ , on calcule le point.
Projeté de $M$ sur $P$ : la droite issue de $M$ dirigée par $\vec{n}$ coupe $P$ en $H$ .

Attention : la distance de $M$ à $P$ est $MH$ , avec $H$ le projeté.

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