Représentations paramétriques et équations cartésiennes

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Avec le corrigé

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1. Représentation paramétrique d'une droite

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

Un drone part de $A(1 ; 2 ; 0)$ et se déplace chaque seconde selon $\vec{u}(2 ; 0 ; 1)$ . Où est-il au bout de 3 secondes ?

$(7 ; 2 ; 3)$
$(6 ; 0 ; 3)$

L'idée clé

Un point $M$ est sur la droite passant par $A$ et dirigée par $\vec{u}$ si et seulement si $\overrightarrow{AM} = t\vec{u}$ pour un réel $t$ .

Figure non à l'échelle

Droite passant par $A(x_A ; y_A ; z_A)$ , de vecteur directeur $\vec{u}(a ; b ; c)$ :

$\begin{cases} x = x_A + at \\ y = y_A + bt \\ z = z_A + ct \end{cases} \quad t \in \mathbb{R}$

Exemple corrigé

Le point $B(5 ; 4 ; 7)$ est-il sur la droite $x = 1 + 2t$ , $y = t + 2$ , $z = 3t + 1$ ?

1 + 2t = 5

, donc

t = 2

La première équation donne t.

y = 2 + 2 = 4

: c'est bon.

On vérifie avec y.

z = 3 \times 2 + 1 = 7

: c'est bon.

On vérifie avec z.

B

est sur la droite.

Le même t convient aux trois équations.

À toi, guidé

À toi : pour $x = 2 + t$ , $y = 3t$ , $z = 1 - t$ , trouve $y$ quand $t = 4$ .

y = 3 \times 4

On remplace t par 4.

12

Le produit.

Entraînement ★

Une droite a pour représentation paramétrique $x = -3 + 5t$ , $y = t$ , $z = 1 - t$ ( $t \in \mathbb{R}$ ). Quelle est l'abscisse du point de paramètre $t = 2$ ?
Une droite a pour représentation paramétrique $x = 5 + 6t$ , $y = t$ , $z = 1 - t$ ( $t \in \mathbb{R}$ ). Quelle est l'abscisse du point de paramètre $t = 2$ ?
Une droite a pour représentation paramétrique $x = -1 + 4t$ , $y = t$ , $z = 1 - t$ ( $t \in \mathbb{R}$ ). Quelle est l'abscisse du point de paramètre $t = 2$ ?

Attention !

Entraînement ★★

Une droite a pour représentation paramétrique $x = 2 + t$ , $y = 4 - 2t$ , $z = 2t$ . Quel est un vecteur directeur de cette droite ?
1. $(1 ; -2 ; 2)$
2. $(2 ; 4 ; 0)$
3. $(2 ; -2 ; 2)$
Une droite a pour représentation paramétrique $x = 6 + t$ , $y = 4 - 2t$ , $z = 6t$ . Quel est un vecteur directeur de cette droite ?
1. $(1 ; -2 ; 6)$
2. $(6 ; 4 ; 0)$
3. $(6 ; -2 ; 6)$

Une droite passe par $A(1 ; 0 ; 2)$ et a pour vecteur directeur $\vec5(5 ; 1 ; -1)$ . Écris $x$ en fonction de $t$ .
Une droite passe par $A(5 ; 0 ; 2)$ et a pour vecteur directeur $\vec6(6 ; 1 ; -1)$ . Écris $x$ en fonction de $t$ .

La droite $x = 4 + t$ , $y = 2t$ , $z = 2$ passe par un point d'abscisse $7$ . Quelle est son ordonnée ?

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

Une droite a pour représentation paramétrique $x = -3 + 5t$ , $y = t$ , $z = 1 - t$ ( $t \in \mathbb{R}$ ). Quelle est l'abscisse du point de paramètre $t = 2$ ?
Une droite a pour représentation paramétrique $x = 5 + 6t$ , $y = t$ , $z = 1 - t$ ( $t \in \mathbb{R}$ ). Quelle est l'abscisse du point de paramètre $t = 2$ ?
Une droite a pour représentation paramétrique $x = -1 + 4t$ , $y = t$ , $z = 1 - t$ ( $t \in \mathbb{R}$ ). Quelle est l'abscisse du point de paramètre $t = 2$ ?

Fiche résumé

Représentation paramétrique

$x = x_A + at$ , $y = y_A + bt$ , $z = z_A + ct$ .
Constantes : un point. Coefficients de $t$ : un vecteur directeur.

Attention : pour tester un point, le même $t$ doit convenir aux trois équations.

2. Équation cartésienne d'un plan

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

Un plan passe par l'origine et a pour vecteur normal $\vec{n}(1 ; 2 ; 3)$ . Le point $M(1 ; 1 ; -1)$ est-il dans ce plan ?

$\overrightarrow{OM} \cdot \vec{n} = 1 + 2 - 3 = 0$ $O M \cdot n = 1 + 2 - 3 = 0$ , donc OM est orthogonal à n." data-option="1">Oui
$\overrightarrow{OM} \cdot \vec{n}$ $O M \cdot n$ : il vaut 0, donc M est bien dans le plan." data-option="2">Non

L'idée clé

$M$ est dans le plan passant par $A$ et normal à $\vec{n}$ si et seulement si $\overrightarrow{AM} \cdot \vec{n} = 0$ .

Un plan de vecteur normal $\vec{n}(a ; b ; c)$ a une équation de la forme $ax + by + cz + d = 0$ .

On trouve $d$ en écrivant que le point donné vérifie l'équation.

Exemple corrigé

Trouve une équation du plan passant par $A(1 ; 2 ; 1)$ , de vecteur normal $\vec{n}(2 ; 1 ; 3)$ .

2x + y + 3z + d = 0

Les coordonnées de n donnent a, b, c.

2 + 2 + 3 + d = 0

A est dans le plan : on remplace.

d = -7

On résout.

2x + y + 3z - 7 = 0

On conclut.

À toi, guidé

À toi : le plan $x + 4y - z + d = 0$ passe par $A(1 ; 1 ; 2)$ . Trouve $d$ .

3 + d = 0

On remplace : 1 + 4 − 2 + d = 0.

d = -3

On résout.

Entraînement ★

Le plan d'équation $1x + 1y + 1z + d = 0$ passe par le point $A(3 ; 1 ; 2)$ . Quelle est la valeur de $d$ ?
Le plan d'équation $5x + 4y + 4z + d = 0$ passe par le point $A(5 ; 1 ; 2)$ . Quelle est la valeur de $d$ ?
Le plan d'équation $2x + 4y + 5z + d = 0$ passe par le point $A(5 ; 1 ; 2)$ . Quelle est la valeur de $d$ ?

Attention !

Entraînement ★★

Quel est un vecteur normal au plan d'équation $2x - 3y + z - 6 = 0$ ?
1. $(2 ; -3 ; 1)$
2. $(2 ; -3 ; -6)$
3. $(2 ; 3 ; 1)$
Quel est un vecteur normal au plan d'équation $6x - 2y + z - 6 = 0$ ?
1. $(6 ; -2 ; 1)$
2. $(6 ; -2 ; -6)$
3. $(6 ; 2 ; 1)$

Le point $M(1 ; 1 ; z)$ appartient au plan d'équation $2x + 1y + z - 8 = 0$ . Quelle est la valeur de $z$ ?
Le point $M(1 ; 1 ; z)$ appartient au plan d'équation $3x + 1y + z - 8 = 0$ . Quelle est la valeur de $z$ ?

Le plan de vecteur normal $\vec{n}(5 ; 2 ; 1)$ passe par $A(4 ; 3 ; 0)$ . Son équation s'écrit $5x + 2y + z + d = 0$ . Que vaut $d$ ?

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

Le plan d'équation $1x + 1y + 1z + d = 0$ passe par le point $A(3 ; 1 ; 2)$ . Quelle est la valeur de $d$ ?
Le plan d'équation $5x + 4y + 4z + d = 0$ passe par le point $A(5 ; 1 ; 2)$ . Quelle est la valeur de $d$ ?
Le plan d'équation $2x + 4y + 5z + d = 0$ passe par le point $A(5 ; 1 ; 2)$ . Quelle est la valeur de $d$ ?

Fiche résumé

Équation d'un plan

$\vec{n}(a ; b ; c)$ normal : $ax + by + cz + d = 0$ .
On trouve $d$ avec un point du plan.

Attention : ne pas oublier $d$ , sinon le plan passerait par l'origine.

3. Intersection droite-plan et projeté orthogonal

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

La droite $x = t$ , $y = t$ , $z = t$ coupe le plan $x + y + z - 6 = 0$ . Pour quelle valeur de $t$ ?

$t = 2$
$t = 6$

L'idée clé

Pour couper une droite et un plan, on remplace $x$ , $y$ , $z$ dans l'équation du plan.

Figure non à l'échelle

Intersection : on résout l'équation en $t$ , puis on calcule le point.

Projeté orthogonal de $M$ sur le plan $P$ : c'est l'intersection de $P$ et de la droite passant par $M$ , dirigée par un vecteur normal à $P$ . La distance de $M$ à $P$ est $MH$ .

Exemple corrigé

Trouve le projeté orthogonal $H$ de $M(1 ; 1 ; 3)$ sur le plan $z = 0$ de vecteur normal $\vec{n}(0 ; 0 ; 1)$ .

x = 1

y = 1

z = 3 + t

La droite passe par M, dirigée par n.

3 + t = 0

, donc

t = -3

Elle coupe le plan quand z = 0.

H(1 ; 1 ; 0)

MH = 3

On calcule le point.

À toi, guidé

À toi : la droite $x = 1 + t$ , $y = 2$ , $z = t$ coupe le plan $x + z - 5 = 0$ . Trouve $t$ .

2t - 4 = 0

On remplace : 1 + t + t − 5 = 0.

t = 2

On résout.

Entraînement ★

La droite $x = t$ , $y = 2t$ , $z = 1$ coupe le plan $x + y + z - 19 = 0$ . Pour quelle valeur de $t$ ?
La droite $x = t$ , $y = 5t$ , $z = 1$ coupe le plan $x + y + z - 13 = 0$ . Pour quelle valeur de $t$ ?
La droite $x = t$ , $y = 1t$ , $z = 1$ coupe le plan $x + y + z - 11 = 0$ . Pour quelle valeur de $t$ ?

Attention !

Entraînement ★★

Quelle est la distance du point $M(3 ; 2 ; 7)$ au plan d'équation $z = 0$ ?
Quelle est la distance du point $M(2 ; 5 ; 7)$ au plan d'équation $z = 0$ ?

Problème final. Dans un repère orthonormé, $P$ est le plan d'équation $x + y + z - 6 = 0$ , et $M$ est le point de coordonnées $(3 ; 3 ; 3)$ .

La droite de vecteur directeur $\vec{u}(1 ; -1 ; 0)$ passe par $A(0 ; 0 ; 2)$ , et le plan $P$ a pour équation $x + y + z = 0$ . Que peut-on dire ?
1. La droite est parallèle à $P$ et ne le coupe pas
2. La droite coupe $P$ en un seul point
3. La droite est contenue dans $P$

Sur un plan, le point $N(12 ; 6 ; 6)$ a pour projeté orthogonal $M(3 ; 6 ; 6)$ . Quelle est la distance de $N$ à ce plan ?

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

La droite $x = t$ , $y = 2t$ , $z = 1$ coupe le plan $x + y + z - 19 = 0$ . Pour quelle valeur de $t$ ?
La droite $x = t$ , $y = 5t$ , $z = 1$ coupe le plan $x + y + z - 13 = 0$ . Pour quelle valeur de $t$ ?
La droite $x = t$ , $y = 1t$ , $z = 1$ coupe le plan $x + y + z - 11 = 0$ . Pour quelle valeur de $t$ ?

Fiche résumé

Intersection et projeté

Droite et plan : on remplace, on résout en $t$ , on calcule le point.
Projeté de $M$ sur $P$ : la droite issue de $M$ dirigée par $\vec{n}$ coupe $P$ en $H$ .

Attention : la distance de $M$ à $P$ est $MH$ , avec $H$ le projeté.

Corrigé: Représentations paramétriques et équations cartésiennes

1. Représentation paramétrique d'une droite

$7$
$17$
$7$

$(1 ; -2 ; 2)$
$(1 ; -2 ; 6)$

$5 t + 1$
$6 t + 5$

$7$
$17$
$7$

2. Équation cartésienne d'un plan

$-6$
$-37$
$-24$

$(2 ; -3 ; 1)$
$(6 ; -2 ; 1)$

$-26$

$-6$
$-37$
$-24$

3. Intersection droite-plan et projeté orthogonal

$\sqrt{3}$

La droite est parallèle à $P$ et ne le coupe pas