Vecteur normal et plans perpendiculaires

À propos de cette leçon

Terminale, spécialité › Orthogonalité et distances dans l'espace

Pour obtenir un PDF, choisis « Enregistrer au format PDF » dans la fenêtre d'impression.

Vecteur normal et plans perpendiculaires

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

Le sol d'une pièce est un plan et un fil à plomb pend verticalement. Quel lien y a-t-il entre le fil et toutes les droites tracées au sol ?

  1. Il leur est orthogonal
  2. Il leur est parallèle

L'idée clé

Un vecteur normal à un plan est un vecteur non nul orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de ce plan.

n⃗\vec{n} est normal au plan PP de vecteurs directeurs u⃗\vec{u}, v⃗\vec{v} si et seulement si n⃗⋅u⃗=0\vec{n} \cdot \vec{u} = 0 et n⃗⋅v⃗=0\vec{n} \cdot \vec{v} = 0.

Deux plans sont perpendiculaires si et seulement si leurs vecteurs normaux sont orthogonaux. Ils sont parallèles si leurs vecteurs normaux sont colinéaires.

Exemple corrigé

n⃗(1;−1;2)\vec{n}(1 ; -1 ; 2) est-il normal au plan dirigé par u⃗(1;1;0)\vec{u}(1 ; 1 ; 0) et v⃗(2;0;−1)\vec{v}(2 ; 0 ; -1) ?

n⃗⋅u⃗=1−1+0=0\vec{n} \cdot \vec{u} = 1 - 1 + 0 = 0
Premier test.
n⃗⋅v⃗=2+0−2=0\vec{n} \cdot \vec{v} = 2 + 0 - 2 = 0
Second test.
Oui, n⃗\vec{n} est normal au plan.
Il est orthogonal aux deux vecteurs directeurs.

À toi, guidé

À toi : deux plans ont pour vecteurs normaux n⃗(1;2;3)\vec{n}(1 ; 2 ; 3) et m⃗(2;2;−2)\vec{m}(2 ; 2 ; -2). Calcule n⃗⋅m⃗\vec{n} \cdot \vec{m}.

2+4−62 + 4 - 6
On multiplie deux à deux.
00
Le résultat : les plans sont perpendiculaires.

Entraînement ★

  1. Le vecteur n⃗(1;3;t)\vec{n}(1 ; 3 ; t) est normal à un plan qui contient la direction u⃗(1;1;1)\vec{u}(1 ; 1 ; 1). Quelle est la valeur de tt ?
  2. Le vecteur n⃗(2;4;t)\vec{n}(2 ; 4 ; t) est normal à un plan qui contient la direction u⃗(1;1;1)\vec{u}(1 ; 1 ; 1). Quelle est la valeur de tt ?
  3. Le vecteur n⃗(4;3;t)\vec{n}(4 ; 3 ; t) est normal à un plan qui contient la direction u⃗(1;1;1)\vec{u}(1 ; 1 ; 1). Quelle est la valeur de tt ?

Attention !

Entraînement ★★

  1. Deux plans ont pour vecteurs normaux n⃗(2;1;0)\vec{n}(2 ; 1 ; 0) et m⃗(1;−2;3)\vec{m}(1 ; -2 ; 3). Que peut-on dire de ces plans ?
    1. Ils sont perpendiculaires
    2. Ils sont parallèles
    3. Ils sont confondus
  2. Deux plans ont pour vecteurs normaux n⃗(5;1;0)\vec{n}(5 ; 1 ; 0) et m⃗(1;−5;3)\vec{m}(1 ; -5 ; 3). Que peut-on dire de ces plans ?
    1. Ils sont perpendiculaires
    2. Ils sont parallèles
    3. Ils sont confondus
  1. Un plan a pour vecteurs directeurs u⃗(1;0;1)\vec{u}(1 ; 0 ; 1) et v⃗(0;1;1)\vec{v}(0 ; 1 ; 1). Lequel de ces vecteurs lui est normal ?
    1. n⃗(5;5;−5)\vec{n}(5 ; 5 ; -5)
    2. 5⃗(5;0;5)\vec5(5 ; 0 ; 5)
    3. b⃗(5;5;5)\vec{b}(5 ; 5 ; 5)
  2. Un plan a pour vecteurs directeurs u⃗(1;0;1)\vec{u}(1 ; 0 ; 1) et v⃗(0;1;1)\vec{v}(0 ; 1 ; 1). Lequel de ces vecteurs lui est normal ?
    1. n⃗(2;2;−2)\vec{n}(2 ; 2 ; -2)
    2. 2⃗(2;0;2)\vec2(2 ; 0 ; 2)
    3. b⃗(2;2;2)\vec{b}(2 ; 2 ; 2)
  1. Le vecteur n⃗\vec{n} est normal au plan PP. La droite dd a pour vecteur directeur n⃗\vec{n}. Que peut-on dire de dd et de PP ?
    1. dd est orthogonale à PP
    2. dd est parallèle à PP
    3. dd est contenue dans PP

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. Le vecteur n⃗(1;3;t)\vec{n}(1 ; 3 ; t) est normal à un plan qui contient la direction u⃗(1;1;1)\vec{u}(1 ; 1 ; 1). Quelle est la valeur de tt ?
  2. Le vecteur n⃗(2;4;t)\vec{n}(2 ; 4 ; t) est normal à un plan qui contient la direction u⃗(1;1;1)\vec{u}(1 ; 1 ; 1). Quelle est la valeur de tt ?
  3. Le vecteur n⃗(4;3;t)\vec{n}(4 ; 3 ; t) est normal à un plan qui contient la direction u⃗(1;1;1)\vec{u}(1 ; 1 ; 1). Quelle est la valeur de tt ?

Fiche résumé

Vecteur normal

  • n⃗\vec{n} normal à PP : orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de PP.
  • Plans perpendiculaires : vecteurs normaux orthogonaux.
  • Plans parallèles : vecteurs normaux colinéaires.

Attention : un vecteur normal n'est pas un vecteur directeur du plan.

Fin de la leçon

Retour au chapitre

Corrigé: Vecteur normal et plans perpendiculaires

A

  1. −4-4
  2. −6-6
  3. −7-7

B

  1. Ils sont perpendiculaires
  2. Ils sont perpendiculaires

C

  1. n⃗(5;5;−5)\vec{n}(5 ; 5 ; -5)
  2. n⃗(2;2;−2)\vec{n}(2 ; 2 ; -2)

D

  1. dd est orthogonale à PP

E

  1. −4-4
  2. −6-6
  3. −7-7

CC BY-SA 4.0