Orthogonalité et distances dans l'espace

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1. Produit scalaire dans l'espace

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

Dans un cube de côté 1, les vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et AE→\overrightarrow{AE} sont portés par deux arêtes perpendiculaires. Que vaut AB→⋅AE→\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AE} ?

  1. 00
  2. 11

L'idée clé

Deux vecteurs de l'espace sont toujours dans un même plan : le produit scalaire se définit comme en première.

u⃗⋅v⃗=∥u⃗∥×∥v⃗∥×cos⁡θ\vec{u} \cdot \vec{v} = \lVert\vec{u}\rVert \times \lVert\vec{v}\rVert \times \cos\theta, où θ\theta est l'angle des deux vecteurs.

u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} sont orthogonaux si et seulement si u⃗⋅v⃗=0\vec{u} \cdot \vec{v} = 0.

Bilinéarité : u⃗⋅(av⃗+bw⃗)=a u⃗⋅v⃗+b u⃗⋅w⃗\vec{u} \cdot (a\vec{v} + b\vec{w}) = a\,\vec{u} \cdot \vec{v} + b\,\vec{u} \cdot \vec{w}. Polarisation : u⃗⋅v⃗=12(∥u⃗+v⃗∥2−∥u⃗∥2−∥v⃗∥2)\vec{u} \cdot \vec{v} = \dfrac{1}{2}\left(\lVert\vec{u} + \vec{v}\rVert^2 - \lVert\vec{u}\rVert^2 - \lVert\vec{v}\rVert^2\right).

Exemple corrigé

∥u⃗∥=3\lVert\vec{u}\rVert = 3, ∥v⃗∥=4\lVert\vec{v}\rVert = 4, et l'angle entre eux vaut 60°60°. Calcule u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}.

u⃗⋅v⃗=3×4×cos⁡60°\vec{u} \cdot \vec{v} = 3 \times 4 \times \cos 60°
On applique la définition.
u⃗⋅v⃗=6\vec{u} \cdot \vec{v} = 6
cos 60° = 1/2.

À toi, guidé

À toi : u⃗⋅v⃗=5\vec{u} \cdot \vec{v} = 5 et u⃗⋅w⃗=2\vec{u} \cdot \vec{w} = 2. Calcule u⃗⋅(3v⃗+w⃗)\vec{u} \cdot (3\vec{v} + \vec{w}).

3×5+23 \times 5 + 2
Bilinéarité.
1717
La somme.

Entraînement ★

  1. ∥u⃗∥=2\lVert\vec{u}\rVert = 2, ∥v⃗∥=5\lVert\vec{v}\rVert = 5 et l'angle entre ces vecteurs mesure 60°60°. Calcule u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}.
  2. ∥u⃗∥=7\lVert\vec{u}\rVert = 7, ∥v⃗∥=4\lVert\vec{v}\rVert = 4 et l'angle entre ces vecteurs mesure 60°60°. Calcule u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}.
  3. ∥u⃗∥=3\lVert\vec{u}\rVert = 3, ∥v⃗∥=7\lVert\vec{v}\rVert = 7 et l'angle entre ces vecteurs mesure 60°60°. Calcule u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}.

Attention !

Entraînement ★★

  1. On sait que u⃗⋅v⃗=9\vec{u} \cdot \vec{v} = 9 et u⃗⋅w⃗=1\vec{u} \cdot \vec{w} = 1. Calcule u⃗⋅(5v⃗+4w⃗)\vec{u} \cdot (5\vec{v} + 4\vec{w}).
  2. On sait que u⃗⋅v⃗=3\vec{u} \cdot \vec{v} = 3 et u⃗⋅w⃗=5\vec{u} \cdot \vec{w} = 5. Calcule u⃗⋅(3v⃗+4w⃗)\vec{u} \cdot (3\vec{v} + 4\vec{w}).
  3. On sait que u⃗⋅v⃗=1\vec{u} \cdot \vec{v} = 1 et u⃗⋅w⃗=1\vec{u} \cdot \vec{w} = 1. Calcule u⃗⋅(4v⃗+4w⃗)\vec{u} \cdot (4\vec{v} + 4\vec{w}).
  1. ∥4⃗∥=4\lVert\vec4\rVert = 4, ∥5⃗∥=5\lVert\vec5\rVert = 5 et 4⃗⋅5⃗=3\vec4 \cdot \vec5 = 3. Calcule ∥4⃗+5⃗∥2\lVert\vec4 + \vec5\rVert^2.
  1. ∥u⃗∥=7\lVert\vec{u}\rVert = 7, ∥v⃗∥=4\lVert\vec{v}\rVert = 4 et u⃗⊥v⃗\vec{u} \perp \vec{v}. Calcule u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}.

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. On sait que u⃗⋅v⃗=9\vec{u} \cdot \vec{v} = 9 et u⃗⋅w⃗=1\vec{u} \cdot \vec{w} = 1. Calcule u⃗⋅(5v⃗+4w⃗)\vec{u} \cdot (5\vec{v} + 4\vec{w}).
  2. On sait que u⃗⋅v⃗=3\vec{u} \cdot \vec{v} = 3 et u⃗⋅w⃗=5\vec{u} \cdot \vec{w} = 5. Calcule u⃗⋅(3v⃗+4w⃗)\vec{u} \cdot (3\vec{v} + 4\vec{w}).
  3. On sait que u⃗⋅v⃗=1\vec{u} \cdot \vec{v} = 1 et u⃗⋅w⃗=1\vec{u} \cdot \vec{w} = 1. Calcule u⃗⋅(4v⃗+4w⃗)\vec{u} \cdot (4\vec{v} + 4\vec{w}).

Fiche résumé

Produit scalaire

  • u⃗⋅v⃗=∥u⃗∥∥v⃗∥cos⁡θ\vec{u} \cdot \vec{v} = \lVert\vec{u}\rVert \lVert\vec{v}\rVert \cos\theta.
  • Orthogonaux   ⟺  u⃗⋅v⃗=0\iff \vec{u} \cdot \vec{v} = 0.
  • u⃗⋅(av⃗+bw⃗)=a u⃗⋅v⃗+b u⃗⋅w⃗\vec{u} \cdot (a\vec{v} + b\vec{w}) = a\,\vec{u} \cdot \vec{v} + b\,\vec{u} \cdot \vec{w}.

Attention : le résultat est un nombre, pas un vecteur.

2. Coordonnées : produit scalaire, norme et distance

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

Dans un repère orthonormé, u⃗(1;2;2)\vec{u}(1 ; 2 ; 2). Quelle est sa norme ?

  1. 1+4+4=9=3\sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3." data-option="1">33
  2. 12+22+22=91^2 + 2^2 + 2^2 = 9 est le carré de la norme. Il reste à prendre la racine carrée." data-option="2">99
  3. 1+4+4\sqrt{1 + 4 + 4}." data-option="3">5\sqrt{5}

L'idée clé

Dans une base orthonormée, tout se calcule avec les coordonnées.

Si u⃗(x;y;z)\vec{u}(x ; y ; z) et v⃗(x′;y′;z′)\vec{v}(x' ; y' ; z') : u⃗⋅v⃗=xx′+yy′+zz′\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy' + zz' et ∥u⃗∥=x2+y2+z2\lVert\vec{u}\rVert = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}.

AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2+(zB−zA)2AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}.

Exemple corrigé

u⃗(2;−1;3)\vec{u}(2 ; -1 ; 3) et v⃗(1;5;1)\vec{v}(1 ; 5 ; 1) sont-ils orthogonaux ?

u⃗⋅v⃗=2×1+(−1)×5+3×1\vec{u} \cdot \vec{v} = 2 \times 1 + (-1) \times 5 + 3 \times 1
On multiplie les coordonnées deux à deux, puis on additionne.
u⃗⋅v⃗=2−5+3=0\vec{u} \cdot \vec{v} = 2 - 5 + 3 = 0
On calcule.
Ils sont orthogonaux.
Un produit scalaire nul caractérise l'orthogonalité.

À toi, guidé

À toi : calcule u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v} pour u⃗(1;2;3)\vec{u}(1 ; 2 ; 3) et v⃗(4;0;2)\vec{v}(4 ; 0 ; 2).

4+0+64 + 0 + 6
xx' + yy' + zz'.
1010
La somme.

Entraînement ★

  1. Dans une base orthonormée, u⃗(−3;6;2)\vec{u}(-3 ; 6 ; 2) et v⃗(3;4;−1)\vec{v}(3 ; 4 ; -1). Calcule u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}.
  2. Dans une base orthonormée, u⃗(−4;2;2)\vec{u}(-4 ; 2 ; 2) et v⃗(1;2;−1)\vec{v}(1 ; 2 ; -1). Calcule u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}.
  3. Dans une base orthonormée, u⃗(−2;5;2)\vec{u}(-2 ; 5 ; 2) et v⃗(5;6;−1)\vec{v}(5 ; 6 ; -1). Calcule u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}.

Attention !

Entraînement ★★

  1. Dans un repère orthonormé, A(−2;−4;1)A(-2 ; -4 ; 1) et B(−1;−2;3)B(-1 ; -2 ; 3). Calcule la distance ABAB.
  2. Dans un repère orthonormé, A(−4;−2;1)A(-4 ; -2 ; 1) et B(0;6;9)B(0 ; 6 ; 9). Calcule la distance ABAB.
  3. Dans un repère orthonormé, A(−2;0;1)A(-2 ; 0 ; 1) et B(0;4;5)B(0 ; 4 ; 5). Calcule la distance ABAB.
  1. Dans une base orthonormée, pour quelle valeur de tt les vecteurs u⃗(3;6;1)\vec{u}(3 ; 6 ; 1) et v⃗(1;1;t)\vec{v}(1 ; 1 ; t) sont-ils orthogonaux ?
  1. Dans une base orthonormée, calcule la norme de u⃗(1;2;2)\vec{u}(1 ; 2 ; 2).

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. Dans une base orthonormée, u⃗(−3;6;2)\vec{u}(-3 ; 6 ; 2) et v⃗(3;4;−1)\vec{v}(3 ; 4 ; -1). Calcule u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}.
  2. Dans une base orthonormée, u⃗(−4;2;2)\vec{u}(-4 ; 2 ; 2) et v⃗(1;2;−1)\vec{v}(1 ; 2 ; -1). Calcule u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}.
  3. Dans une base orthonormée, u⃗(−2;5;2)\vec{u}(-2 ; 5 ; 2) et v⃗(5;6;−1)\vec{v}(5 ; 6 ; -1). Calcule u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}.

Fiche résumé

En repère orthonormé

  • u⃗⋅v⃗=xx′+yy′+zz′\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy' + zz'.
  • ∥u⃗∥=x2+y2+z2\lVert\vec{u}\rVert = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}.
  • AB=∥AB→∥AB = \lVert\overrightarrow{AB}\rVert.

Attention : ne pas oublier la racine carrée, ni la troisième coordonnée.

3. Vecteur normal et plans perpendiculaires

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

Le sol d'une pièce est un plan et un fil à plomb pend verticalement. Quel lien y a-t-il entre le fil et toutes les droites tracées au sol ?

  1. Il leur est orthogonal
  2. Il leur est parallèle

L'idée clé

Un vecteur normal à un plan est un vecteur non nul orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de ce plan.

n⃗\vec{n} est normal au plan PP de vecteurs directeurs u⃗\vec{u}, v⃗\vec{v} si et seulement si n⃗⋅u⃗=0\vec{n} \cdot \vec{u} = 0 et n⃗⋅v⃗=0\vec{n} \cdot \vec{v} = 0.

Deux plans sont perpendiculaires si et seulement si leurs vecteurs normaux sont orthogonaux. Ils sont parallèles si leurs vecteurs normaux sont colinéaires.

Exemple corrigé

n⃗(1;−1;2)\vec{n}(1 ; -1 ; 2) est-il normal au plan dirigé par u⃗(1;1;0)\vec{u}(1 ; 1 ; 0) et v⃗(2;0;−1)\vec{v}(2 ; 0 ; -1) ?

n⃗⋅u⃗=1−1+0=0\vec{n} \cdot \vec{u} = 1 - 1 + 0 = 0
Premier test.
n⃗⋅v⃗=2+0−2=0\vec{n} \cdot \vec{v} = 2 + 0 - 2 = 0
Second test.
Oui, n⃗\vec{n} est normal au plan.
Il est orthogonal aux deux vecteurs directeurs.

À toi, guidé

À toi : deux plans ont pour vecteurs normaux n⃗(1;2;3)\vec{n}(1 ; 2 ; 3) et m⃗(2;2;−2)\vec{m}(2 ; 2 ; -2). Calcule n⃗⋅m⃗\vec{n} \cdot \vec{m}.

2+4−62 + 4 - 6
On multiplie deux à deux.
00
Le résultat : les plans sont perpendiculaires.

Entraînement ★

  1. Le vecteur n⃗(1;3;t)\vec{n}(1 ; 3 ; t) est normal à un plan qui contient la direction u⃗(1;1;1)\vec{u}(1 ; 1 ; 1). Quelle est la valeur de tt ?
  2. Le vecteur n⃗(2;4;t)\vec{n}(2 ; 4 ; t) est normal à un plan qui contient la direction u⃗(1;1;1)\vec{u}(1 ; 1 ; 1). Quelle est la valeur de tt ?
  3. Le vecteur n⃗(4;3;t)\vec{n}(4 ; 3 ; t) est normal à un plan qui contient la direction u⃗(1;1;1)\vec{u}(1 ; 1 ; 1). Quelle est la valeur de tt ?

Attention !

Entraînement ★★

  1. Deux plans ont pour vecteurs normaux n⃗(2;1;0)\vec{n}(2 ; 1 ; 0) et m⃗(1;−2;3)\vec{m}(1 ; -2 ; 3). Que peut-on dire de ces plans ?
    1. Ils sont perpendiculaires
    2. Ils sont parallèles
    3. Ils sont confondus
  2. Deux plans ont pour vecteurs normaux n⃗(5;1;0)\vec{n}(5 ; 1 ; 0) et m⃗(1;−5;3)\vec{m}(1 ; -5 ; 3). Que peut-on dire de ces plans ?
    1. Ils sont perpendiculaires
    2. Ils sont parallèles
    3. Ils sont confondus
  1. Un plan a pour vecteurs directeurs u⃗(1;0;1)\vec{u}(1 ; 0 ; 1) et v⃗(0;1;1)\vec{v}(0 ; 1 ; 1). Lequel de ces vecteurs lui est normal ?
    1. n⃗(5;5;−5)\vec{n}(5 ; 5 ; -5)
    2. 5⃗(5;0;5)\vec5(5 ; 0 ; 5)
    3. b⃗(5;5;5)\vec{b}(5 ; 5 ; 5)
  2. Un plan a pour vecteurs directeurs u⃗(1;0;1)\vec{u}(1 ; 0 ; 1) et v⃗(0;1;1)\vec{v}(0 ; 1 ; 1). Lequel de ces vecteurs lui est normal ?
    1. n⃗(2;2;−2)\vec{n}(2 ; 2 ; -2)
    2. 2⃗(2;0;2)\vec2(2 ; 0 ; 2)
    3. b⃗(2;2;2)\vec{b}(2 ; 2 ; 2)
  1. Le vecteur n⃗\vec{n} est normal au plan PP. La droite dd a pour vecteur directeur n⃗\vec{n}. Que peut-on dire de dd et de PP ?
    1. dd est orthogonale à PP
    2. dd est parallèle à PP
    3. dd est contenue dans PP

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. Le vecteur n⃗(1;3;t)\vec{n}(1 ; 3 ; t) est normal à un plan qui contient la direction u⃗(1;1;1)\vec{u}(1 ; 1 ; 1). Quelle est la valeur de tt ?
  2. Le vecteur n⃗(2;4;t)\vec{n}(2 ; 4 ; t) est normal à un plan qui contient la direction u⃗(1;1;1)\vec{u}(1 ; 1 ; 1). Quelle est la valeur de tt ?
  3. Le vecteur n⃗(4;3;t)\vec{n}(4 ; 3 ; t) est normal à un plan qui contient la direction u⃗(1;1;1)\vec{u}(1 ; 1 ; 1). Quelle est la valeur de tt ?

Fiche résumé

Vecteur normal

  • n⃗\vec{n} normal à PP : orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de PP.
  • Plans perpendiculaires : vecteurs normaux orthogonaux.
  • Plans parallèles : vecteurs normaux colinéaires.

Attention : un vecteur normal n'est pas un vecteur directeur du plan.

Corrigé: Orthogonalité et distances dans l'espace

1. Produit scalaire dans l'espace

A

  1. 55
  2. 1414
  3. 212\frac{21}{2}

B

  1. 4949
  2. 2929
  3. 88

C

  1. 4747

D

  1. 00

E

  1. 4949
  2. 2929
  3. 88

2. Coordonnées : produit scalaire, norme et distance

A

  1. 1313
  2. −2-2
  3. 1818

B

  1. 33
  2. 1212
  3. 66

C

  1. −9-9

D

  1. 33

E

  1. 1313
  2. −2-2
  3. 1818

3. Vecteur normal et plans perpendiculaires

A

  1. −4-4
  2. −6-6
  3. −7-7

B

  1. Ils sont perpendiculaires
  2. Ils sont perpendiculaires

C

  1. n⃗(5;5;−5)\vec{n}(5 ; 5 ; -5)
  2. n⃗(2;2;−2)\vec{n}(2 ; 2 ; -2)

D

  1. dd est orthogonale à PP

E

  1. −4-4
  2. −6-6
  3. −7-7