Bases et repères de l'espace

À propos de cette leçon

Terminale, spécialité › Vecteurs, droites et plans de l'espace

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Bases et repères de l'espace

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

Les vecteurs i⃗(1;0;0)\vec{i}(1 ; 0 ; 0), j⃗(0;1;0)\vec{j}(0 ; 1 ; 0) et u⃗(2;3;0)\vec{u}(2 ; 3 ; 0) sont non nuls. Forment-ils une base de l'espace ?

  1. u⃗=2i⃗+3j⃗\vec{u} = 2\vec{i} + 3\vec{j}. Les trois vecteurs sont dans le même plan : ils sont coplanaires, ce n'est pas une base." data-option="1">Non
  2. u⃗=2i⃗+3j⃗\vec{u} = 2\vec{i} + 3\vec{j}, ils sont coplanaires." data-option="2">Oui

L'idée clé

Une base permet de repérer tous les vecteurs de l'espace.

Figure non à l'échelle

Trois vecteurs non coplanaires forment une base de l'espace. Tout vecteur s'écrit alors de manière unique w⃗=xu⃗+yv⃗+zt⃗\vec{w} = x\vec{u} + y\vec{v} + z\vec{t} : (x;y;z)(x ; y ; z) sont ses coordonnées.

Un repère est la donnée d'un point OO et d'une base.

Exemple corrigé

Dans un repère, A(1;2;0)A(1 ; 2 ; 0) et B(4;0;5)B(4 ; 0 ; 5). Trouve les coordonnées de AB→\overrightarrow{AB}.

AB→(4−1;0−2;5−0)\overrightarrow{AB}(4 - 1 ; 0 - 2 ; 5 - 0)
On soustrait les coordonnées de A à celles de B, une par une.
AB→(3;−2;5)\overrightarrow{AB}(3 ; -2 ; 5)
On calcule.

À toi, guidé

À toi : A(2;1;3)A(2 ; 1 ; 3) et B(5;1;7)B(5 ; 1 ; 7). Quelle est la troisième coordonnée de AB→\overrightarrow{AB} ?

7−37 - 3
On calcule z de B moins z de A.
44
La différence.

Entraînement ★

  1. A(1;−1;6)A(1 ; -1 ; 6) et B(4;2;5)B(4 ; 2 ; 5). Quelle est la deuxième coordonnée de AB→\overrightarrow{AB} ?
  2. A(1;4;4)A(1 ; 4 ; 4) et B(4;−1;8)B(4 ; -1 ; 8). Quelle est la deuxième coordonnée de AB→\overrightarrow{AB} ?
  3. A(1;2;6)A(1 ; 2 ; 6) et B(4;−2;8)B(4 ; -2 ; 8). Quelle est la deuxième coordonnée de AB→\overrightarrow{AB} ?

Attention !

Entraînement ★★

  1. Les vecteurs u⃗(1;0;0)\vec{u}(1 ; 0 ; 0), v⃗(0;1;0)\vec{v}(0 ; 1 ; 0) et w⃗(4;5;0)\vec{w}(4 ; 5 ; 0) forment-ils une base de l'espace ?
    1. Non, car w⃗=4u⃗+5v⃗\vec{w} = 4\vec{u} + 5\vec{v}
    2. Oui, car ils sont non nuls
    3. Oui, car ils sont deux à deux non colinéaires
  2. Les vecteurs u⃗(1;0;0)\vec{u}(1 ; 0 ; 0), v⃗(0;1;0)\vec{v}(0 ; 1 ; 0) et w⃗(3;5;0)\vec{w}(3 ; 5 ; 0) forment-ils une base de l'espace ?
    1. Non, car w⃗=3u⃗+5v⃗\vec{w} = 3\vec{u} + 5\vec{v}
    2. Oui, car ils sont non nuls
    3. Oui, car ils sont deux à deux non colinéaires
  1. Dans la base (u⃗,v⃗,w⃗)(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}), avec a⃗=6u⃗+5v⃗\vec{a} = 6\vec{u} + 5\vec{v} et b⃗=6v⃗+w⃗\vec{b} = 6\vec{v} + \vec{w}, quelle est la coordonnée selon v⃗\vec{v} de a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b} ?
  1. Dans un repère de l'espace, A(12;0;5)A(12 ; 0 ; 5) et B(0;8;5)B(0 ; 8 ; 5). Quelle est la deuxième coordonnée du milieu de [AB][AB] ?

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. A(1;−1;6)A(1 ; -1 ; 6) et B(4;2;5)B(4 ; 2 ; 5). Quelle est la deuxième coordonnée de AB→\overrightarrow{AB} ?
  2. A(1;4;4)A(1 ; 4 ; 4) et B(4;−1;8)B(4 ; -1 ; 8). Quelle est la deuxième coordonnée de AB→\overrightarrow{AB} ?
  3. A(1;2;6)A(1 ; 2 ; 6) et B(4;−2;8)B(4 ; -2 ; 8). Quelle est la deuxième coordonnée de AB→\overrightarrow{AB} ?

Fiche résumé

Bases et repères

  • Base : trois vecteurs non coplanaires.
  • AB→(xB−xA;yB−yA;zB−zA)\overrightarrow{AB}(x_B - x_A ; y_B - y_A ; z_B - z_A).

Attention : trois vecteurs non nuls ne font pas toujours une base.

Fin de la leçon

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Corrigé: Bases et repères de l'espace

A

  1. 33
  2. −5-5
  3. −4-4

B

  1. Non, car w⃗=4u⃗+5v⃗\vec{w} = 4\vec{u} + 5\vec{v}
  2. Non, car w⃗=3u⃗+5v⃗\vec{w} = 3\vec{u} + 5\vec{v}

C

  1. 1111

D

  1. 44

E

  1. 33
  2. −5-5
  3. −4-4

CC BY-SA 4.0