Vecteurs, droites et plans de l'espace

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Toutes les leçons du chapitre, prêtes pour le papier. Les séries d'exercices sont notées A, B, C… et corrigées à la fin.

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1. Vecteurs de l'espace et combinaisons linéaires

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

ABCDEFGHABCDEFGH est un cube. Quel vecteur est égal à AB→+AE→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AE} ?

Figure non à l'échelle
  1. AF→\overrightarrow{AF}
  2. AG→\overrightarrow{AG} demande trois déplacements : AB, puis BC, puis CG. Ici, il n'y en a que deux." data-option="2">AG→\overrightarrow{AG}

L'idée clé

Les vecteurs de l'espace se calculent comme ceux du plan.

Relation de Chasles : AB→+BC→=AC→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}.

Une combinaison linéaire de u⃗\vec{u}, v⃗\vec{v}, w⃗\vec{w} est un vecteur de la forme au⃗+bv⃗+cw⃗a\vec{u} + b\vec{v} + c\vec{w}, où aa, bb, cc sont des réels.

Exemple corrigé

Dans le cube, exprime AG→\overrightarrow{AG} en fonction de AB→\overrightarrow{AB}, AD→\overrightarrow{AD} et AE→\overrightarrow{AE}.

AG→=AB→+BC→+CG→\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CG}
Chasles : on découpe le trajet le long des arêtes.
AG→=AB→+AD→+AE→\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AE}
Dans un cube, BC = AD et CG = AE comme vecteurs.

À toi, guidé

À toi : dans une base, u⃗(2;−1;3)\vec{u}(2 ; -1 ; 3). Quelle est la troisième coordonnée de 4u⃗4\vec{u} ?

4u⃗(8;−4;… )4\vec{u}(8 ; -4 ; \dots)
On multiplie chaque coordonnée par 4.
La troisième coordonnée est 1212.
4 × 3.

Entraînement ★

  1. u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} ont pour coordonnées (4;0;2)(4 ; 0 ; 2) et (1;2;−1)(1 ; 2 ; -1). Quelle est la troisième coordonnée de 3u⃗+3v⃗3\vec{u} + 3\vec{v} ?
  2. u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} ont pour coordonnées (6;0;2)(6 ; 0 ; 2) et (1;2;−1)(1 ; 2 ; -1). Quelle est la troisième coordonnée de 5u⃗+5v⃗5\vec{u} + 5\vec{v} ?
  3. u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} ont pour coordonnées (2;0;2)(2 ; 0 ; 2) et (1;4;−1)(1 ; 4 ; -1). Quelle est la troisième coordonnée de 5u⃗+5v⃗5\vec{u} + 5\vec{v} ?

Attention !

Entraînement ★★

  1. ABCDEFGHABCDEFGH est un cube (avec ABCDABCD et EFGHEFGH deux faces opposées, EE au-dessus de AA). À quel vecteur est égal AD→+AE→\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AE} ?
    1. AH→\overrightarrow{AH}
    2. AG→\overrightarrow{AG}
    3. AF→\overrightarrow{AF}
  2. ABCDEFGHABCDEFGH est un cube (avec ABCDABCD et EFGHEFGH deux faces opposées, EE au-dessus de AA). À quel vecteur est égal AD→+AE→\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AE} ?
    1. AH→\overrightarrow{AH}
    2. AG→\overrightarrow{AG}
    3. AF→\overrightarrow{AF}
  1. Les vecteurs u⃗(3;2;1)\vec{u}(3 ; 2 ; 1) et v⃗(12;t;4)\vec{v}(12 ; t ; 4) sont colinéaires. Quelle est la valeur de tt ?
  2. Les vecteurs u⃗(5;2;1)\vec{u}(5 ; 2 ; 1) et v⃗(20;t;4)\vec{v}(20 ; t ; 4) sont colinéaires. Quelle est la valeur de tt ?
  1. u⃗(2;0;1)\vec{u}(2 ; 0 ; 1) et v⃗(1;2;−1)\vec{v}(1 ; 2 ; -1). Quelle est la deuxième coordonnée de u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} ?

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} ont pour coordonnées (4;0;2)(4 ; 0 ; 2) et (1;2;−1)(1 ; 2 ; -1). Quelle est la troisième coordonnée de 3u⃗+3v⃗3\vec{u} + 3\vec{v} ?
  2. u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} ont pour coordonnées (6;0;2)(6 ; 0 ; 2) et (1;2;−1)(1 ; 2 ; -1). Quelle est la troisième coordonnée de 5u⃗+5v⃗5\vec{u} + 5\vec{v} ?
  3. u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} ont pour coordonnées (2;0;2)(2 ; 0 ; 2) et (1;4;−1)(1 ; 4 ; -1). Quelle est la troisième coordonnée de 5u⃗+5v⃗5\vec{u} + 5\vec{v} ?

Fiche résumé

Vecteurs de l'espace

  • Chasles et la règle du parallélogramme restent vrais.
  • Combinaison linéaire : au⃗+bv⃗+cw⃗a\vec{u} + b\vec{v} + c\vec{w}.

Attention : dans l'espace, il y a trois coordonnées.

2. Droites et plans de l'espace : positions relatives

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

Dans le cube ABCDEFGHABCDEFGH, les droites (AB)(AB) et (CG)(CG) ne sont pas parallèles. Sont-elles sécantes ?

Figure non à l'échelle
  1. Non
  2. Oui

L'idée clé

Une droite est donnée par un point et un vecteur directeur. Un plan, par un point et deux vecteurs non colinéaires.

Deux droites de l'espace sont coplanaires (sécantes ou parallèles) ou non coplanaires.

Une droite et un plan sont sécants ou parallèles. Deux plans sont sécants (selon une droite) ou parallèles.

Exemple corrigé

u⃗(1;0;2)\vec{u}(1 ; 0 ; 2) dirige la droite dd. Le plan PP a pour vecteurs directeurs v⃗(1;0;0)\vec{v}(1 ; 0 ; 0) et w⃗(0;0;1)\vec{w}(0 ; 0 ; 1). La droite dd est-elle parallèle à PP ?

u⃗=v⃗+2w⃗\vec{u} = \vec{v} + 2\vec{w}
On cherche à écrire u à l'aide de v et de w.
Donc dd est parallèle à PP.
u est une combinaison linéaire de deux vecteurs directeurs de P.

À toi, guidé

À toi : u⃗(3;0;4)=av⃗+bw⃗\vec{u}(3 ; 0 ; 4) = a\vec{v} + b\vec{w}, avec v⃗(1;0;0)\vec{v}(1 ; 0 ; 0) et w⃗(0;0;1)\vec{w}(0 ; 0 ; 1). Quelle est la valeur de bb ?

a=3a = 3
On lit la première coordonnée.
b=4b = 4
On lit la troisième coordonnée.

Entraînement ★

  1. Dans un cube ABCDEFGHABCDEFGH (EE au-dessus de AA, FF au-dessus de BB, etc.), quelle est la position relative des droites (AB)(AB) et (EF)(EF) ?
    1. Parallèles
    2. Sécantes
    3. Non coplanaires
  2. Dans un cube ABCDEFGHABCDEFGH (EE au-dessus de AA, FF au-dessus de BB, etc.), quelle est la position relative des droites (AB)(AB) et (EF)(EF) ?
    1. Parallèles
    2. Sécantes
    3. Non coplanaires

Attention !

Entraînement ★★

  1. Le plan PP a pour vecteurs directeurs v⃗(1;0;0)\vec{v}(1 ; 0 ; 0) et w⃗(0;1;0)\vec{w}(0 ; 1 ; 0). La droite dd a pour vecteur directeur u⃗(3;3;0)\vec{u}(3 ; 3 ; 0). Que peut-on dire de dd et de PP ?
    1. dd est parallèle à PP
    2. dd est forcément sécante à PP
    3. dd est orthogonale à PP
  2. Le plan PP a pour vecteurs directeurs v⃗(1;0;0)\vec{v}(1 ; 0 ; 0) et w⃗(0;1;0)\vec{w}(0 ; 1 ; 0). La droite dd a pour vecteur directeur u⃗(2;1;0)\vec{u}(2 ; 1 ; 0). Que peut-on dire de dd et de PP ?
    1. dd est parallèle à PP
    2. dd est forcément sécante à PP
    3. dd est orthogonale à PP
  1. Avec v⃗(1;1;0)\vec{v}(1 ; 1 ; 0) et w⃗(0;1;1)\vec{w}(0 ; 1 ; 1), on a 6v⃗+7w⃗=(x;y;z)6\vec{v} + 7\vec{w} = (x ; y ; z). Quelle est la valeur de yy ?
  1. Dans un cube ABCDEFGHABCDEFGH (EE au-dessus de AA), quelle est la position de la droite (EF)(EF) par rapport au plan (ABC)(ABC) ?
    1. Parallèle au plan, sans point commun
    2. Sécante au plan
    3. Contenue dans le plan

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. Le plan PP a pour vecteurs directeurs v⃗(1;0;0)\vec{v}(1 ; 0 ; 0) et w⃗(0;1;0)\vec{w}(0 ; 1 ; 0). La droite dd a pour vecteur directeur u⃗(3;3;0)\vec{u}(3 ; 3 ; 0). Que peut-on dire de dd et de PP ?
    1. dd est parallèle à PP
    2. dd est forcément sécante à PP
    3. dd est orthogonale à PP
  2. Le plan PP a pour vecteurs directeurs v⃗(1;0;0)\vec{v}(1 ; 0 ; 0) et w⃗(0;1;0)\vec{w}(0 ; 1 ; 0). La droite dd a pour vecteur directeur u⃗(2;1;0)\vec{u}(2 ; 1 ; 0). Que peut-on dire de dd et de PP ?
    1. dd est parallèle à PP
    2. dd est forcément sécante à PP
    3. dd est orthogonale à PP
  3. Le plan PP a pour vecteurs directeurs v⃗(1;0;0)\vec{v}(1 ; 0 ; 0) et w⃗(0;1;0)\vec{w}(0 ; 1 ; 0). La droite dd a pour vecteur directeur u⃗(4;4;0)\vec{u}(4 ; 4 ; 0). Que peut-on dire de dd et de PP ?
    1. dd est parallèle à PP
    2. dd est forcément sécante à PP
    3. dd est orthogonale à PP

Fiche résumé

Positions relatives

  • Deux droites : sécantes, parallèles ou non coplanaires.
  • Droite et plan : sécants ou parallèles.
  • Deux plans : sécants selon une droite, ou parallèles.

Attention : dans l'espace, non parallèles ne veut pas dire sécantes.

3. Bases et repères de l'espace

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

Les vecteurs i⃗(1;0;0)\vec{i}(1 ; 0 ; 0), j⃗(0;1;0)\vec{j}(0 ; 1 ; 0) et u⃗(2;3;0)\vec{u}(2 ; 3 ; 0) sont non nuls. Forment-ils une base de l'espace ?

  1. u⃗=2i⃗+3j⃗\vec{u} = 2\vec{i} + 3\vec{j}. Les trois vecteurs sont dans le même plan : ils sont coplanaires, ce n'est pas une base." data-option="1">Non
  2. u⃗=2i⃗+3j⃗\vec{u} = 2\vec{i} + 3\vec{j}, ils sont coplanaires." data-option="2">Oui

L'idée clé

Une base permet de repérer tous les vecteurs de l'espace.

Figure non à l'échelle

Trois vecteurs non coplanaires forment une base de l'espace. Tout vecteur s'écrit alors de manière unique w⃗=xu⃗+yv⃗+zt⃗\vec{w} = x\vec{u} + y\vec{v} + z\vec{t} : (x;y;z)(x ; y ; z) sont ses coordonnées.

Un repère est la donnée d'un point OO et d'une base.

Exemple corrigé

Dans un repère, A(1;2;0)A(1 ; 2 ; 0) et B(4;0;5)B(4 ; 0 ; 5). Trouve les coordonnées de AB→\overrightarrow{AB}.

AB→(4−1;0−2;5−0)\overrightarrow{AB}(4 - 1 ; 0 - 2 ; 5 - 0)
On soustrait les coordonnées de A à celles de B, une par une.
AB→(3;−2;5)\overrightarrow{AB}(3 ; -2 ; 5)
On calcule.

À toi, guidé

À toi : A(2;1;3)A(2 ; 1 ; 3) et B(5;1;7)B(5 ; 1 ; 7). Quelle est la troisième coordonnée de AB→\overrightarrow{AB} ?

7−37 - 3
On calcule z de B moins z de A.
44
La différence.

Entraînement ★

  1. A(1;−1;6)A(1 ; -1 ; 6) et B(4;2;5)B(4 ; 2 ; 5). Quelle est la deuxième coordonnée de AB→\overrightarrow{AB} ?
  2. A(1;4;4)A(1 ; 4 ; 4) et B(4;−1;8)B(4 ; -1 ; 8). Quelle est la deuxième coordonnée de AB→\overrightarrow{AB} ?
  3. A(1;2;6)A(1 ; 2 ; 6) et B(4;−2;8)B(4 ; -2 ; 8). Quelle est la deuxième coordonnée de AB→\overrightarrow{AB} ?

Attention !

Entraînement ★★

  1. Les vecteurs u⃗(1;0;0)\vec{u}(1 ; 0 ; 0), v⃗(0;1;0)\vec{v}(0 ; 1 ; 0) et w⃗(4;5;0)\vec{w}(4 ; 5 ; 0) forment-ils une base de l'espace ?
    1. Non, car w⃗=4u⃗+5v⃗\vec{w} = 4\vec{u} + 5\vec{v}
    2. Oui, car ils sont non nuls
    3. Oui, car ils sont deux à deux non colinéaires
  2. Les vecteurs u⃗(1;0;0)\vec{u}(1 ; 0 ; 0), v⃗(0;1;0)\vec{v}(0 ; 1 ; 0) et w⃗(3;5;0)\vec{w}(3 ; 5 ; 0) forment-ils une base de l'espace ?
    1. Non, car w⃗=3u⃗+5v⃗\vec{w} = 3\vec{u} + 5\vec{v}
    2. Oui, car ils sont non nuls
    3. Oui, car ils sont deux à deux non colinéaires
  1. Dans la base (u⃗,v⃗,w⃗)(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}), avec a⃗=6u⃗+5v⃗\vec{a} = 6\vec{u} + 5\vec{v} et b⃗=6v⃗+w⃗\vec{b} = 6\vec{v} + \vec{w}, quelle est la coordonnée selon v⃗\vec{v} de a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b} ?
  1. Dans un repère de l'espace, A(12;0;5)A(12 ; 0 ; 5) et B(0;8;5)B(0 ; 8 ; 5). Quelle est la deuxième coordonnée du milieu de [AB][AB] ?

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. A(1;−1;6)A(1 ; -1 ; 6) et B(4;2;5)B(4 ; 2 ; 5). Quelle est la deuxième coordonnée de AB→\overrightarrow{AB} ?
  2. A(1;4;4)A(1 ; 4 ; 4) et B(4;−1;8)B(4 ; -1 ; 8). Quelle est la deuxième coordonnée de AB→\overrightarrow{AB} ?
  3. A(1;2;6)A(1 ; 2 ; 6) et B(4;−2;8)B(4 ; -2 ; 8). Quelle est la deuxième coordonnée de AB→\overrightarrow{AB} ?

Fiche résumé

Bases et repères

  • Base : trois vecteurs non coplanaires.
  • AB→(xB−xA;yB−yA;zB−zA)\overrightarrow{AB}(x_B - x_A ; y_B - y_A ; z_B - z_A).

Attention : trois vecteurs non nuls ne font pas toujours une base.

Corrigé: Vecteurs, droites et plans de l'espace

1. Vecteurs de l'espace et combinaisons linéaires

A

  1. 33
  2. 55
  3. 55

B

  1. AH→\overrightarrow{AH}
  2. AH→\overrightarrow{AH}

C

  1. 88
  2. 88

D

  1. 22

E

  1. 33
  2. 55
  3. 55

2. Droites et plans de l'espace : positions relatives

A

  1. Parallèles
  2. Parallèles

B

  1. dd est parallèle à PP
  2. dd est parallèle à PP

C

  1. 1313

D

  1. Parallèle au plan, sans point commun

E

  1. dd est parallèle à PP
  2. dd est parallèle à PP
  3. dd est parallèle à PP

3. Bases et repères de l'espace

A

  1. 33
  2. −5-5
  3. −4-4

B

  1. Non, car w⃗=4u⃗+5v⃗\vec{w} = 4\vec{u} + 5\vec{v}
  2. Non, car w⃗=3u⃗+5v⃗\vec{w} = 3\vec{u} + 5\vec{v}

C

  1. 1111

D

  1. 44

E

  1. 33
  2. −5-5
  3. −4-4