Le théorème fondamental de l'analyse : calculer une intégrale

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

$v(t)$ est une vitesse et $s(t)$ la position, donc $s' = v$ . L'aire sous la courbe de $v$ sur $[a ; b]$ est la variation de position. Quelle expression lui correspond ?

$s(b) - s(a)$
$s(a) - s(b)$

L'idée clé

Pour calculer une intégrale, on utilise une primitive.

Si

f

est continue sur

[a ; b]

et si

F

est une primitive de

f

, alors

\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = \big[F(x)\big]_a^b = F(b) - F(a)

.

Exemple corrigé

Calcule $\displaystyle\int_1^3 (x^2 + 1)\,\mathrm{d}x$ .

F(x) = \dfrac{x^3}{3} + x

Une primitive.

F(3) - F(1) = 12 - \dfrac{4}{3}

F(3) = 12 et F(1) = 4/3.

= \dfrac{32}{3}

On calcule.

À toi, guidé

À toi : $\displaystyle\int_0^2 3x^2\,\mathrm{d}x$ .

= 8

F(x) = x³ : F(2) − F(0).

Entraînement ★

Calcule $\displaystyle\int_0^{ 5 } x^2\,\mathrm{d}x$ .
Calcule $\displaystyle\int_0^{ 9 } x^2\,\mathrm{d}x$ .
Calcule $\displaystyle\int_0^{ 8 } x^2\,\mathrm{d}x$ .

Attention !

Entraînement ★★

Calcule $\displaystyle\int_0^{\pi/5} \cos x\,\mathrm{d}x$ . Donne la valeur exacte.
Calcule $\displaystyle\int_0^{\pi/3} \cos x\,\mathrm{d}x$ . Donne la valeur exacte.

Calcule $\displaystyle\int_{ -1 }^{ 4 } (2x + 9)\,\mathrm{d}x$ .
Calcule $\displaystyle\int_{ 1 }^{ 4 } (2x + 7)\,\mathrm{d}x$ .

Problème final. Calcule l'aire du domaine compris entre la parabole $y = 4 - x^2$ et l'axe des abscisses.

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

Calcule $\displaystyle\int_{ -1 }^{ 4 } (2x + 9)\,\mathrm{d}x$ .
Calcule $\displaystyle\int_{ 1 }^{ 4 } (2x + 7)\,\mathrm{d}x$ .
Calcule $\displaystyle\int_{ -2 }^{ 5 } (2x + 8)\,\mathrm{d}x$ .

Fiche résumé

Calcul d'une intégrale

$\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = \big[F(x)\big]_a^b = F(b) - F(a)$ , avec $F' = f$ .

Attention : borne du haut moins borne du bas ; vérifie les signes de la primitive.

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