Intégration par parties

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

On sait que $(x\mathrm{e}^x)' = \mathrm{e}^x + x\mathrm{e}^x$ . On intègre sur $[0 ; 1]$ : $\big[x\mathrm{e}^x\big]_0^1 = \displaystyle\int_0^1 \mathrm{e}^x\,\mathrm{d}x + \int_0^1 x\mathrm{e}^x\,\mathrm{d}x$ . Que vaut donc $\displaystyle\int_0^1 x\mathrm{e}^x\,\mathrm{d}x$ ?

$1$
$\dfrac{\mathrm{e}}{2}$

L'idée clé

On échange une intégrale contre une plus simple.

Intégration par parties :

\displaystyle\int_a^b u(x)v'(x)\,\mathrm{d}x = \big[u(x)v(x)\big]_a^b - \int_a^b u'(x)v(x)\,\mathrm{d}x

. On choisit

u

de sorte que

u'

soit plus simple.

Exemple corrigé

Calcule $\displaystyle\int_0^{\pi} x\sin x\,\mathrm{d}x$ .

u = x

,

u' = 1

,

v = -\cos x

u = x se simplifie ; v' = sin x s'intègre facilement.

\big[-x\cos x\big]_0^{\pi} + \displaystyle\int_0^{\pi} \cos x\,\mathrm{d}x

[uv] − ∫u'v.

= \pi

On termine : π + 0.

À toi, guidé

À toi : pour $\displaystyle\int_0^1 x\mathrm{e}^{x}\,\mathrm{d}x$ , on prend $u = x$ et $v = \mathrm{e}^x$ . Que vaut $\big[uv\big]_0^1$ ?

\mathrm{e}

1 × e¹ − 0.

Entraînement ★

Trouve la primitive $F$ de $f(x) = 8x\mathrm{e}^x$ telle que $F(0) = 0$ .
Trouve la primitive $F$ de $f(x) = 6x\mathrm{e}^x$ telle que $F(0) = 0$ .
Trouve la primitive $F$ de $f(x) = 7x\mathrm{e}^x$ telle que $F(0) = 0$ .

Attention !

Entraînement ★★

Calcule $\displaystyle\int_0^{\pi/2} 8x\cos x\,\mathrm{d}x$ .
Calcule $\displaystyle\int_0^{\pi/2} 3x\cos x\,\mathrm{d}x$ .

Calcule $\displaystyle\int_1^{\mathrm{e}^{ 3 } } \ln x\,\mathrm{d}x$ .

Problème final. Calcule $\displaystyle\int_0^{ 2 } x\mathrm{e}^x\,\mathrm{d}x$ par parties.

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

Trouve la primitive $F$ de $f(x) = 8x\mathrm{e}^x$ telle que $F(0) = 0$ .
Trouve la primitive $F$ de $f(x) = 6x\mathrm{e}^x$ telle que $F(0) = 0$ .
Trouve la primitive $F$ de $f(x) = 7x\mathrm{e}^x$ telle que $F(0) = 0$ .

Fiche résumé

Intégration par parties

$\displaystyle\int_a^b uv' = \big[uv\big]_a^b - \int_a^b u'v$ .

Attention : au signe moins, et aux signes dans la nouvelle intégrale.

À propos de cette leçon