Calcul intégral

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Toutes les leçons du chapitre, prêtes pour le papier. Les séries d'exercices sont notées A, B, C… et corrigées à la fin.

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1. L'intégrale et ses propriétés

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

∫02(−3) dx\displaystyle\int_0^2 (-3)\,\mathrm{d}x : la droite y=−3y = -3 est sous l'axe des abscisses. Que vaut l'intégrale ?

  1. −6-6
  2. 66

L'idée clé

Pour ff continue et positive sur [a;b][a ; b], l'intégrale est l'aire sous la courbe, en unités d'aire.

Propriétés de ∫abf(x) dx\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x :

Relation de Chasles : ∫acf=∫abf+∫bcf\displaystyle\int_a^c f = \int_a^b f + \int_b^c f. Bornes échangées : ∫baf=−∫abf\displaystyle\int_b^a f = -\int_a^b f. Linéarité : ∫ab(kf+g)=k∫abf+∫abg\displaystyle\int_a^b (kf + g) = k\int_a^b f + \int_a^b g. Constante : ∫abc dx=c(b−a)\displaystyle\int_a^b c\,\mathrm{d}x = c(b - a).

Exemple corrigé

∫04f=5\displaystyle\int_0^4 f = 5 et ∫46f=−2\displaystyle\int_4^6 f = -2. Calcule ∫06(2f(x)−1) dx\displaystyle\int_0^6 \big(2f(x) - 1\big)\,\mathrm{d}x.

∫06f=5+(−2)=3\displaystyle\int_0^6 f = 5 + (-2) = 3
Relation de Chasles.
2×3−1×62 \times 3 - 1 \times 6
Linéarité ; la constante −1 sur une longueur de 6.
=0= 0
On calcule.

À toi, guidé

À toi : avec la même fonction ff, calcule ∫60f(x) dx\displaystyle\int_6^0 f(x)\,\mathrm{d}x.

−3-3
On échange les bornes : le signe change.

Entraînement ★

  1. ∫13f(x) dx=7\displaystyle\int_1^3 f(x)\,\mathrm{d}x = 7 et ∫37f(x) dx=−4\displaystyle\int_3^7 f(x)\,\mathrm{d}x = -4. Calcule ∫71f(x) dx\displaystyle\int_7^1 f(x)\,\mathrm{d}x.
  2. ∫13f(x) dx=−7\displaystyle\int_1^3 f(x)\,\mathrm{d}x = -7 et ∫37f(x) dx=8\displaystyle\int_3^7 f(x)\,\mathrm{d}x = 8. Calcule ∫71f(x) dx\displaystyle\int_7^1 f(x)\,\mathrm{d}x.
  1. Utilise la géométrie : calcule ∫−6636−x2 dx\displaystyle\int_{-6}^{ 6 } \sqrt{ 36 - x^2}\,\mathrm{d}x.
  2. Utilise la géométrie : calcule ∫−111−x2 dx\displaystyle\int_{-1}^{ 1 } \sqrt{ 1 - x^2}\,\mathrm{d}x.

Attention !

Entraînement ★★

  1. ∫04f(x) dx=3\displaystyle\int_0^{ 4 } f(x)\,\mathrm{d}x = 3. Calcule ∫04(3f(x)+2) dx\displaystyle\int_0^{ 4 } \big(3f(x) + 2\big)\,\mathrm{d}x.
  2. ∫09f(x) dx=4\displaystyle\int_0^{ 9 } f(x)\,\mathrm{d}x = 4. Calcule ∫09(3f(x)+2) dx\displaystyle\int_0^{ 9 } \big(3f(x) + 2\big)\,\mathrm{d}x.

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. ∫13f(x) dx=7\displaystyle\int_1^3 f(x)\,\mathrm{d}x = 7 et ∫37f(x) dx=−4\displaystyle\int_3^7 f(x)\,\mathrm{d}x = -4. Calcule ∫71f(x) dx\displaystyle\int_7^1 f(x)\,\mathrm{d}x.
  2. ∫13f(x) dx=−7\displaystyle\int_1^3 f(x)\,\mathrm{d}x = -7 et ∫37f(x) dx=8\displaystyle\int_3^7 f(x)\,\mathrm{d}x = 8. Calcule ∫71f(x) dx\displaystyle\int_7^1 f(x)\,\mathrm{d}x.
  3. ∫13f(x) dx=5\displaystyle\int_1^3 f(x)\,\mathrm{d}x = 5 et ∫37f(x) dx=7\displaystyle\int_3^7 f(x)\,\mathrm{d}x = 7. Calcule ∫71f(x) dx\displaystyle\int_7^1 f(x)\,\mathrm{d}x.

Fiche résumé

Intégrale

  • Aire algébrique : sous l'axe, elle est négative.
  • Bornes échangées : le signe change. Intervalles voisins : on additionne (Chasles).
  • ∫abc dx=c(b−a)\displaystyle\int_a^b c\,\mathrm{d}x = c(b - a).

Attention : une constante s'intègre sur toute la longueur.

2. Fonctions intégrales : le théorème fondamental, partie 2

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

g(x)=∫0x2t dtg(x) = \displaystyle\int_0^x 2t\,\mathrm{d}t est l'aire sous la droite y=2ty = 2t entre 0 et xx, soit x2x^2. Que vaut g′(x)g'(x) ?

  1. 2x2x
  2. x2x^2

L'idée clé

L'aire grandit au rythme de la hauteur de la courbe.

Si ff est continue et positive sur [a;b][a ; b], la fonction Fa(x)=∫axf(t) dtF_a(x) = \displaystyle\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t est la primitive de ff qui s'annule en aa : Fa′=fF_a' = f et Fa(a)=0F_a(a) = 0.

Exemple corrigé

g(x)=∫1xt dtg(x) = \displaystyle\int_1^{x} \sqrt{t}\,\mathrm{d}t. Calcule g′(x)g'(x) et g(1)g(1).

g′(x)=xg'(x) = \sqrt{x}
g est la primitive de √t qui s'annule en 1.
g(1)=0g(1) = 0
La borne du haut et celle du bas sont égales.

À toi, guidé

À toi : g(x)=∫2x(t3−t) dtg(x) = \displaystyle\int_2^x (t^3 - t)\,\mathrm{d}t.

g′(x)=x3−xg'(x) = x^3 - x
g est une primitive de t³ − t.

Entraînement ★

  1. g(x)=∫4x(t2+2) dtg(x) = \displaystyle\int_{ 4 }^{x} (t^{ 2 } + 2)\,\mathrm{d}t. Calcule g′(x)g'(x).
  2. g(x)=∫1x(t3+2) dtg(x) = \displaystyle\int_{ 1 }^{x} (t^{ 3 } + 2)\,\mathrm{d}t. Calcule g′(x)g'(x).
  3. g(x)=∫4x(t3+1) dtg(x) = \displaystyle\int_{ 4 }^{x} (t^{ 3 } + 1)\,\mathrm{d}t. Calcule g′(x)g'(x).

Attention !

Entraînement ★★

  1. Voici la courbe de y=f(t)y = f(t). Soit g(x)=∫−5xf(t) dtg(x) = \displaystyle\int_{-5}^{x} f(t)\,\mathrm{d}t. Touche le point de cette courbe dont l'abscisse correspond à un maximum local de gg.
  2. Voici la courbe de y=f(t)y = f(t). Soit g(x)=∫−5xf(t) dtg(x) = \displaystyle\int_{-5}^{x} f(t)\,\mathrm{d}t. Touche le point de cette courbe dont l'abscisse correspond à un maximum local de gg.

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. g(x)=∫4x(t2+2) dtg(x) = \displaystyle\int_{ 4 }^{x} (t^{ 2 } + 2)\,\mathrm{d}t. Calcule g′(x)g'(x).
  2. g(x)=∫1x(t3+2) dtg(x) = \displaystyle\int_{ 1 }^{x} (t^{ 3 } + 2)\,\mathrm{d}t. Calcule g′(x)g'(x).
  3. g(x)=∫4x(t3+1) dtg(x) = \displaystyle\int_{ 4 }^{x} (t^{ 3 } + 1)\,\mathrm{d}t. Calcule g′(x)g'(x).

Fiche résumé

Fonction intégrale

  • Fa(x)=∫axf(t) dtF_a(x) = \displaystyle\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t est la primitive de ff qui s'annule en aa.
  • FaF_a croît là où f>0f > 0 et décroît là où f<0f < 0.

Attention : la dérivée redonne ff, pas une primitive de ff.

3. Le théorème fondamental de l'analyse : calculer une intégrale

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

v(t)v(t) est une vitesse et s(t)s(t) la position, donc s′=vs' = v. L'aire sous la courbe de vv sur [a;b][a ; b] est la variation de position. Quelle expression lui correspond ?

  1. s(b)−s(a)s(b) - s(a)
  2. s(a)−s(b)s(a) - s(b)

L'idée clé

Pour calculer une intégrale, on utilise une primitive.

Si ff est continue sur [a;b][a ; b] et si FF est une primitive de ff, alors ∫abf(x) dx=[F(x)]ab=F(b)−F(a)\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = \big[F(x)\big]_a^b = F(b) - F(a).

Exemple corrigé

Calcule ∫13(x2+1) dx\displaystyle\int_1^3 (x^2 + 1)\,\mathrm{d}x.

F(x)=x33+xF(x) = \dfrac{x^3}{3} + x
Une primitive.
F(3)−F(1)=12−43F(3) - F(1) = 12 - \dfrac{4}{3}
F(3) = 12 et F(1) = 4/3.
=323= \dfrac{32}{3}
On calcule.

À toi, guidé

À toi : ∫023x2 dx\displaystyle\int_0^2 3x^2\,\mathrm{d}x.

=8= 8
F(x) = x³ : F(2) − F(0).

Entraînement ★

  1. Calcule ∫05x2 dx\displaystyle\int_0^{ 5 } x^2\,\mathrm{d}x.
  2. Calcule ∫09x2 dx\displaystyle\int_0^{ 9 } x^2\,\mathrm{d}x.
  3. Calcule ∫08x2 dx\displaystyle\int_0^{ 8 } x^2\,\mathrm{d}x.

Attention !

Entraînement ★★

  1. Calcule ∫0π/5cos⁡x dx\displaystyle\int_0^{\pi/5} \cos x\,\mathrm{d}x. Donne la valeur exacte.
  2. Calcule ∫0π/3cos⁡x dx\displaystyle\int_0^{\pi/3} \cos x\,\mathrm{d}x. Donne la valeur exacte.
  1. Calcule ∫−14(2x+9) dx\displaystyle\int_{ -1 }^{ 4 } (2x + 9)\,\mathrm{d}x.
  2. Calcule ∫14(2x+7) dx\displaystyle\int_{ 1 }^{ 4 } (2x + 7)\,\mathrm{d}x.
  1. Problème final. Calcule l'aire du domaine compris entre la parabole y=4−x2y = 4 - x^2 et l'axe des abscisses.

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. Calcule ∫−14(2x+9) dx\displaystyle\int_{ -1 }^{ 4 } (2x + 9)\,\mathrm{d}x.
  2. Calcule ∫14(2x+7) dx\displaystyle\int_{ 1 }^{ 4 } (2x + 7)\,\mathrm{d}x.
  3. Calcule ∫−25(2x+8) dx\displaystyle\int_{ -2 }^{ 5 } (2x + 8)\,\mathrm{d}x.

Fiche résumé

Calcul d'une intégrale

∫abf(x) dx=[F(x)]ab=F(b)−F(a)\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = \big[F(x)\big]_a^b = F(b) - F(a), avec F′=fF' = f.

Attention : borne du haut moins borne du bas ; vérifie les signes de la primitive.

4. Valeur moyenne d'une fonction

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

La courbe violette est celle de y=x2y = x^2 sur [0;3][0 ; 3] ; la droite bleue est y=ay = a. Déplace aa pour que le rectangle sous la droite sur [0;3][0 ; 3] ait la même aire que le domaine sous la courbe, ∫03x2 dx=9\displaystyle\int_0^3 x^2\,\mathrm{d}x = 9.

La parabole y = x² sur [0 ; 3] et une droite horizontale y = a. Pour a = 3, le rectangle de largeur 3 sous la droite a une aire de 9, la même que sous la courbe.

Quelle hauteur aa convient ?

  1. a=3a = 3
  2. a=4,5a = 4{,}5

L'idée clé

La valeur moyenne est la hauteur du rectangle de même aire.

La valeur moyenne de ff sur [a;b][a ; b] est 1b−a∫abf(x) dx\dfrac{1}{b - a}\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x.

Exemple corrigé

Valeur moyenne de f(x)=2x+1f(x) = 2x + 1 sur [0;4][0 ; 4].

∫04(2x+1) dx=20\displaystyle\int_0^4 (2x + 1)\,\mathrm{d}x = 20
F(x) = x² + x.
Valeur moyenne : 204=5\dfrac{20}{4} = 5
On divise par la longueur, 4.

À toi, guidé

À toi : valeur moyenne de f(x)=3x2f(x) = 3x^2 sur [0;2][0 ; 2].

Valeur moyenne : 44
L'intégrale vaut 8 ; on divise par 2.

Entraînement ★

  1. Calcule la valeur moyenne de f(x)=x2f(x) = x^2 sur [0;3][0 ; 3].
  2. Calcule la valeur moyenne de f(x)=x2f(x) = x^2 sur [0;6][0 ; 6].
  3. Calcule la valeur moyenne de f(x)=x2f(x) = x^2 sur [0;2][0 ; 2].

Attention !

Entraînement ★★

  1. v(t)=3t+6v(t) = 3t + 6, en m/s. Calcule la vitesse moyenne sur [0;8][0 ; 8], en m/s.
  2. v(t)=3t+1v(t) = 3t + 1, en m/s. Calcule la vitesse moyenne sur [0;7][0 ; 7], en m/s.
  1. Calcule la valeur moyenne de f(x)=6sin⁡xf(x) = 6\sin x sur [0;π][0 ; \pi]. Donne la valeur exacte.

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. Calcule la valeur moyenne de f(x)=x2f(x) = x^2 sur [0;3][0 ; 3].
  2. Calcule la valeur moyenne de f(x)=x2f(x) = x^2 sur [0;6][0 ; 6].
  3. Calcule la valeur moyenne de f(x)=x2f(x) = x^2 sur [0;2][0 ; 2].

Fiche résumé

Valeur moyenne

μ=1b−a∫abf(x) dx\mu = \dfrac{1}{b - a}\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x.

Attention : on divise par la longueur ; on ne fait pas la moyenne des valeurs aux extrémités.

5. Aire entre deux courbes

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

La courbe violette est celle de y=x2y = x^2, la droite bleue celle de y=kxy = kx. Elles délimitent un domaine entre x=0x = 0 et x=kx = k. Fais varier kk.

La droite y = kx et la parabole y = x². Elles se coupent en x = 0 et x = k ; entre ces valeurs, la droite est au-dessus.

Sur [0;k][0 ; k], quelle courbe est au-dessus ?

  1. La droite y=kxy = kx
  2. La parabole y=x2y = x^2

L'idée clé

Aire entre deux courbes : on intègre la différence, « haut moins bas ».

Si f(x)≥g(x)f(x) \geq g(x) sur [a;b][a ; b], l'aire comprise entre les deux courbes est ∫ab(f(x)−g(x)) dx\displaystyle\int_a^b \big(f(x) - g(x)\big)\,\mathrm{d}x. Les bornes sont souvent les abscisses des points d'intersection.

Exemple corrigé

Aire du domaine compris entre y=2xy = 2x et y=x2y = x^2.

Bornes : 00 et 22
2x = x² en 0 et en 2.
∫02(2x−x2) dx\displaystyle\int_0^2 (2x - x^2)\,\mathrm{d}x
Haut moins bas.
=4−83=43= 4 - \dfrac{8}{3} = \dfrac{4}{3}
Primitive x² − x³/3, de 0 à 2.

À toi, guidé

À toi : aire du domaine compris entre y=3xy = 3x et y=x2y = x^2.

92\dfrac{9}{2}
3³/6.

Entraînement ★

  1. Calcule l'aire du domaine compris entre y=5xy = 5x et y=x2y = x^2.
  2. Calcule l'aire du domaine compris entre y=4xy = 4x et y=x2y = x^2.
  3. Calcule l'aire du domaine compris entre y=1xy = 1x et y=x2y = x^2.

Attention !

Entraînement ★★

  1. Calcule l'aire du domaine compris entre y=x2y = x^2 et y=4x−x2y = 4x - x^2.
  2. Calcule l'aire du domaine compris entre y=x2y = x^2 et y=2x−x2y = 2x - x^2.
  1. Calcule l'aire comprise entre y=1cos⁡xy = 1\cos x et y=1sin⁡xy = 1\sin x pour 0≤x≤π40 \leq x \leq \dfrac{\pi}{4}. Donne la valeur exacte.

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. Calcule l'aire du domaine compris entre y=5xy = 5x et y=x2y = x^2.
  2. Calcule l'aire du domaine compris entre y=4xy = 4x et y=x2y = x^2.
  3. Calcule l'aire du domaine compris entre y=1xy = 1x et y=x2y = x^2.

Fiche résumé

Aire entre deux courbes

  1. Chercher les points d'intersection.
  2. Voir quelle courbe est au-dessus.
  3. Intégrer « haut moins bas ».

Attention : un résultat négatif signifie que l'ordre est inversé.

6. Positivité, encadrement et suites d'intégrales

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

Sur [0;1][0 ; 1], on a x2≤xx^2 \leq x. Comparer ∫01x2 dx\displaystyle\int_0^1 x^2\,\mathrm{d}x et ∫01x dx\displaystyle\int_0^1 x\,\mathrm{d}x sans calcul : laquelle est la plus petite ?

  1. Celle de x2x^2
  2. Celle de xx

L'idée clé

Pour a≤ba \leq b, les inégalités se conservent par intégration.

Positivité : si f≥0f \geq 0 sur [a;b][a ; b], alors ∫abf≥0\displaystyle\int_a^b f \geq 0.

Comparaison : si f≤gf \leq g sur [a;b][a ; b], alors ∫abf≤∫abg\displaystyle\int_a^b f \leq \int_a^b g.

Encadrement : si m≤f≤Mm \leq f \leq M sur [a;b][a ; b], alors m(b−a)≤∫abf≤M(b−a)m(b - a) \leq \displaystyle\int_a^b f \leq M(b - a).

Exemple corrigé

Encadre I=∫01ex2 dxI = \displaystyle\int_0^1 \mathrm{e}^{x^2}\,\mathrm{d}x.

1≤ex2≤e1 \leq \mathrm{e}^{x^2} \leq \mathrm{e}
Sur [0 ; 1], x² est entre 0 et 1, et exp est croissante.
1≤I≤e1 \leq I \leq \mathrm{e}
On intègre sur un intervalle de longueur 1.

À toi, guidé

À toi : sur [1;3][1 ; 3], 2≤f(x)≤52 \leq f(x) \leq 5. Quelle est la borne supérieure de ∫13f\displaystyle\int_1^3 f ?

1010
M(b − a) = 5 × 2.

Entraînement ★

  1. Sur [0;5][0 ; 5], on a 3≤f(x)≤83 \leq f(x) \leq 8. Quelle est la plus petite valeur possible de ∫05f(x) 5x\displaystyle\int_0^{ 5 } f(x)\,\mathrm5x d'après cet encadrement ?
  2. Sur [0;4][0 ; 4], on a 2≤f(x)≤42 \leq f(x) \leq 4. Quelle est la plus petite valeur possible de ∫04f(x) 2x\displaystyle\int_0^{ 4 } f(x)\,\mathrm2x d'après cet encadrement ?
  3. Sur [0;2][0 ; 2], on a 5≤f(x)≤95 \leq f(x) \leq 9. Quelle est la plus petite valeur possible de ∫02f(x) 4x\displaystyle\int_0^{ 2 } f(x)\,\mathrm4x d'après cet encadrement ?

Attention !

Entraînement ★★

  1. ff est continue et négative sur [3;7][3 ; 7]. Que peut-on dire de ∫37f(x) dx\displaystyle\int_{ 3 }^{ 7 } f(x)\,\mathrm{d}x ?
    1. Elle est négative ou nulle
    2. Elle est positive, car c'est une aire
    3. Elle est forcément nulle
  2. ff est continue et négative sur [4;6][4 ; 6]. Que peut-on dire de ∫46f(x) dx\displaystyle\int_{ 4 }^{ 6 } f(x)\,\mathrm{d}x ?
    1. Elle est négative ou nulle
    2. Elle est positive, car c'est une aire
    3. Elle est forcément nulle
  1. On pose In=∫01xn dxI_n = \displaystyle\int_0^1 x^n\,\mathrm{d}x. Calcule I7I_{ 7 }.
  1. Sur [0;1][0 ; 1], on a x2≤xx^2 \leq x. Comment se comparent ∫01x2 dx\displaystyle\int_0^1 x^2\,\mathrm{d}x et ∫01x dx\displaystyle\int_0^1 x\,\mathrm{d}x ?
    1. La première est inférieure ou égale à la seconde
    2. La première est supérieure à la seconde
    3. On ne peut pas comparer sans calculer

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. Sur [0;5][0 ; 5], on a 3≤f(x)≤83 \leq f(x) \leq 8. Quelle est la plus petite valeur possible de ∫05f(x) 5x\displaystyle\int_0^{ 5 } f(x)\,\mathrm5x d'après cet encadrement ?
  2. Sur [0;4][0 ; 4], on a 2≤f(x)≤42 \leq f(x) \leq 4. Quelle est la plus petite valeur possible de ∫04f(x) 2x\displaystyle\int_0^{ 4 } f(x)\,\mathrm2x d'après cet encadrement ?
  3. Sur [0;2][0 ; 2], on a 5≤f(x)≤95 \leq f(x) \leq 9. Quelle est la plus petite valeur possible de ∫02f(x) 4x\displaystyle\int_0^{ 2 } f(x)\,\mathrm4x d'après cet encadrement ?

Fiche résumé

Inégalités et intégrales (a≤ba \leq b)

  • f≤gf \leq g donne ∫abf≤∫abg\displaystyle\int_a^b f \leq \int_a^b g.
  • m≤f≤Mm \leq f \leq M donne m(b−a)≤∫abf≤M(b−a)m(b - a) \leq \displaystyle\int_a^b f \leq M(b - a).

Attention : ne pas oublier la longueur b−ab - a.

7. Intégration par parties

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

On sait que (xex)′=ex+xex(x\mathrm{e}^x)' = \mathrm{e}^x + x\mathrm{e}^x. On intègre sur [0;1][0 ; 1] : [xex]01=∫01ex dx+∫01xex dx\big[x\mathrm{e}^x\big]_0^1 = \displaystyle\int_0^1 \mathrm{e}^x\,\mathrm{d}x + \int_0^1 x\mathrm{e}^x\,\mathrm{d}x. Que vaut donc ∫01xex dx\displaystyle\int_0^1 x\mathrm{e}^x\,\mathrm{d}x ?

  1. 11
  2. e2\dfrac{\mathrm{e}}{2}

L'idée clé

On échange une intégrale contre une plus simple.

Intégration par parties : ∫abu(x)v′(x) dx=[u(x)v(x)]ab−∫abu′(x)v(x) dx\displaystyle\int_a^b u(x)v'(x)\,\mathrm{d}x = \big[u(x)v(x)\big]_a^b - \int_a^b u'(x)v(x)\,\mathrm{d}x. On choisit uu de sorte que u′u' soit plus simple.

Exemple corrigé

Calcule ∫0πxsin⁡x dx\displaystyle\int_0^{\pi} x\sin x\,\mathrm{d}x.

u=xu = x, u′=1u' = 1, v=−cos⁡xv = -\cos x
u = x se simplifie ; v' = sin x s'intègre facilement.
[−xcos⁡x]0π+∫0πcos⁡x dx\big[-x\cos x\big]_0^{\pi} + \displaystyle\int_0^{\pi} \cos x\,\mathrm{d}x
[uv] − ∫u'v.
=π= \pi
On termine : π + 0.

À toi, guidé

À toi : pour ∫01xex dx\displaystyle\int_0^1 x\mathrm{e}^{x}\,\mathrm{d}x, on prend u=xu = x et v=exv = \mathrm{e}^x. Que vaut [uv]01\big[uv\big]_0^1 ?

e\mathrm{e}
1 × e¹ − 0.

Entraînement ★

  1. Trouve la primitive FF de f(x)=8xexf(x) = 8x\mathrm{e}^x telle que F(0)=0F(0) = 0.
  2. Trouve la primitive FF de f(x)=6xexf(x) = 6x\mathrm{e}^x telle que F(0)=0F(0) = 0.
  3. Trouve la primitive FF de f(x)=7xexf(x) = 7x\mathrm{e}^x telle que F(0)=0F(0) = 0.

Attention !

Entraînement ★★

  1. Calcule ∫0π/28xcos⁡x dx\displaystyle\int_0^{\pi/2} 8x\cos x\,\mathrm{d}x.
  2. Calcule ∫0π/23xcos⁡x dx\displaystyle\int_0^{\pi/2} 3x\cos x\,\mathrm{d}x.
  1. Calcule ∫1e3ln⁡x dx\displaystyle\int_1^{\mathrm{e}^{ 3 } } \ln x\,\mathrm{d}x.
  1. Problème final. Calcule ∫02xex dx\displaystyle\int_0^{ 2 } x\mathrm{e}^x\,\mathrm{d}x par parties.

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. Trouve la primitive FF de f(x)=8xexf(x) = 8x\mathrm{e}^x telle que F(0)=0F(0) = 0.
  2. Trouve la primitive FF de f(x)=6xexf(x) = 6x\mathrm{e}^x telle que F(0)=0F(0) = 0.
  3. Trouve la primitive FF de f(x)=7xexf(x) = 7x\mathrm{e}^x telle que F(0)=0F(0) = 0.

Fiche résumé

Intégration par parties

∫abuv′=[uv]ab−∫abu′v\displaystyle\int_a^b uv' = \big[uv\big]_a^b - \int_a^b u'v.

Attention : au signe moins, et aux signes dans la nouvelle intégrale.

Corrigé: Calcul intégral

1. L'intégrale et ses propriétés

A

  1. −3-3
  2. −1-1

B

  1. 18π18 \pi
  2. π2\frac{\pi}{2}

C

  1. 1717
  2. 3030

D

  1. −3-3
  2. −1-1
  3. −12-12

2. Fonctions intégrales : le théorème fondamental, partie 2

A

  1. x2+2x^{2} + 2
  2. x3+2x^{3} + 2
  3. x3+1x^{3} + 1

B

  1. (3,0)(3, 0)
  2. (1,0)(1, 0)

C

  1. x2+2x^{2} + 2
  2. x3+2x^{3} + 2
  3. x3+1x^{3} + 1

3. Le théorème fondamental de l'analyse : calculer une intégrale

A

  1. 1253\frac{125}{3}
  2. 243243
  3. 5123\frac{512}{3}

B

  1. 58−58\sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}
  2. 32\frac{\sqrt{3}}{2}

C

  1. 6060
  2. 3636

D

  1. 323\frac{32}{3}

E

  1. 6060
  2. 3636
  3. 7777

4. Valeur moyenne d'une fonction

A

  1. 33
  2. 1212
  3. 43\frac{4}{3}

B

  1. 1818
  2. 232\frac{23}{2}

C

  1. 12π\frac{12}{\pi}

D

  1. 33
  2. 1212
  3. 43\frac{4}{3}

5. Aire entre deux courbes

A

  1. 1256\frac{125}{6}
  2. 323\frac{32}{3}
  3. 16\frac{1}{6}

B

  1. 83\frac{8}{3}
  2. 13\frac{1}{3}

C

  1. −1+2-1 + \sqrt{2}

D

  1. 1256\frac{125}{6}
  2. 323\frac{32}{3}
  3. 16\frac{1}{6}

6. Positivité, encadrement et suites d'intégrales

A

  1. 1515
  2. 88
  3. 1010

B

  1. Elle est négative ou nulle
  2. Elle est négative ou nulle

C

  1. 18\frac{1}{8}

D

  1. La première est inférieure ou égale à la seconde

E

  1. 1515
  2. 88
  3. 1010

7. Intégration par parties

A

  1. 8(x−1)ex+88 \left(x - 1\right) e^{x} + 8
  2. 6(x−1)ex+66 \left(x - 1\right) e^{x} + 6
  3. 7(x−1)ex+77 \left(x - 1\right) e^{x} + 7

B

  1. −8+4π-8 + 4 \pi
  2. −3+3π2-3 + \frac{3 \pi}{2}

C

  1. 1+2e31 + 2 e^{3}

D

  1. 1+e21 + e^{2}

E

  1. 8(x−1)ex+88 \left(x - 1\right) e^{x} + 8
  2. 6(x−1)ex+66 \left(x - 1\right) e^{x} + 6
  3. 7(x−1)ex+77 \left(x - 1\right) e^{x} + 7