Limites et comparaison de fonctions

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

On sait que $-1 \leq \sin x \leq 1$ . Quelle est la limite de $\dfrac{\sin x}{x}$ en $+\infty$ ?

$0$
Il n'y a pas de limite

L'idée clé

Les théorèmes de comparaison valent aussi pour les fonctions.

Gendarmes : si $g(x) \leq f(x) \leq h(x)$ pour $x$ assez grand, et si $g$ et $h$ ont la même limite $\ell$ en $+\infty$ , alors $f$ a pour limite $\ell$ en $+\infty$ .

Comparaison : si $f(x) \geq g(x)$ pour $x$ assez grand et $g(x) \to +\infty$ , alors $f(x) \to +\infty$ .

Exemple corrigé

Trouve la limite de $f(x) = x + \sin x$ en $+\infty$ .

f(x) \geq x - 1

sin x est au moins égal à −1.

x - 1 \to +\infty

La minoration tend vers +∞.

\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty

Comparaison.

À toi, guidé

À toi : $2 - \dfrac{1}{x} \leq f(x) \leq 2 + \dfrac{1}{x}$ . Quelle est la limite de $f$ en $+\infty$ ?

La limite est

2

Les deux bornes tendent vers 2 : gendarmes.

Entraînement ★

Pour tout $x > 0$ , on a $4 - \dfrac{ 9 }{x} \leq f(x) \leq 4 + \dfrac{ 9 }{x^2}$ . Quelle est la limite de $f$ en $+\infty$ ?
Pour tout $x > 0$ , on a $1 - \dfrac{ 8 }{x} \leq f(x) \leq 1 + \dfrac{ 8 }{x^2}$ . Quelle est la limite de $f$ en $+\infty$ ?
Pour tout $x > 0$ , on a $7 - \dfrac{ 6 }{x} \leq f(x) \leq 7 + \dfrac{ 6 }{x^2}$ . Quelle est la limite de $f$ en $+\infty$ ?

Attention !

Entraînement ★★

Quelle est la limite de $3x + \cos x$ en $+\infty$ ?
1. $+\infty$
2. Il n'y a pas de limite, car $\cos x$ oscille
3. $3$
Quelle est la limite de $6x + \cos x$ en $+\infty$ ?
1. $+\infty$
2. Il n'y a pas de limite, car $\cos x$ oscille
3. $6$
Quelle est la limite de $4x + \cos x$ en $+\infty$ ?
1. $+\infty$
2. Il n'y a pas de limite, car $\cos x$ oscille
3. $4$

Pour tout $x > 0$ , $f(x) \geq 5x$ . Quelle est la limite de $f$ en $+\infty$ ?
1. $+\infty$
2. $5$
3. On ne peut rien dire

Quelle est la limite de $7 + \dfrac{\sin x}{x}$ en $+\infty$ ?

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

Pour tout $x > 0$ , on a $4 - \dfrac{ 9 }{x} \leq f(x) \leq 4 + \dfrac{ 9 }{x^2}$ . Quelle est la limite de $f$ en $+\infty$ ?
Pour tout $x > 0$ , on a $1 - \dfrac{ 8 }{x} \leq f(x) \leq 1 + \dfrac{ 8 }{x^2}$ . Quelle est la limite de $f$ en $+\infty$ ?
Pour tout $x > 0$ , on a $7 - \dfrac{ 6 }{x} \leq f(x) \leq 7 + \dfrac{ 6 }{x^2}$ . Quelle est la limite de $f$ en $+\infty$ ?

Fiche résumé

Comparer pour trouver une limite

Gendarmes : deux bornes de même limite.
$f \geq g$ et $g \to +\infty$ : $f \to +\infty$ .

Attention : majorer par une fonction qui tend vers $+\infty$ ne prouve rien.

À propos de cette leçon