Limites des fonctions

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1. Limites à l'infini

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

Que devient 1x\dfrac{1}{x} quand xx devient très grand : 110,1100,11000,…\dfrac{1}{10}, \dfrac{1}{100}, \dfrac{1}{1000}, \dots ?

  1. Il se rapproche de 0
  2. Il n'a pas de limite, puisqu'il n'atteint jamais 0

L'idée clé

lim⁡x→+∞f(x)=ℓ\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = \ell signifie que f(x)f(x) se rapproche de ℓ\ell quand xx devient grand. La droite d'équation y=ℓy = \ell est alors asymptote horizontale à la courbe.

Pour un quotient de polynômes, on factorise en haut et en bas par le terme de plus haut degré. Degré du haut plus petit : limite 0. Degrés égaux : quotient des coefficients dominants. Degré du haut plus grand : limite infinie.

Exemple corrigé

Trouve lim⁡x→+∞6x2−x2x2+5\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{6x^2 - x}{2x^2 + 5}.

6−1x2+5x2\dfrac{6 - \frac{1}{x}}{2 + \frac{5}{x^2}}
On factorise par x² en haut et en bas, puis on simplifie.
Le quotient tend vers 62\dfrac{6}{2}
1/x et 5/x² tendent vers 0.
La limite est 33
On simplifie.

À toi, guidé

À toi : lim⁡x→+∞4x+12x−7\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{4x + 1}{2x - 7}.

Quotient des coefficients dominants : 42\dfrac{4}{2}
Même degré en haut et en bas.
La limite est 22
4 ÷ 2.

Entraînement ★

  1. Trouve lim⁡x→+∞4x2+15x2+4\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{ 4x^2 + 1}{ 5x^2 + 4}.
  2. Trouve lim⁡x→+∞3x2+42x2+1\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{ 3x^2 + 4}{ 2x^2 + 1}.
  3. Trouve lim⁡x→+∞3x2+45x2+4\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{ 3x^2 + 4}{ 5x^2 + 4}.

Attention !

Entraînement ★★

  1. Trouve lim⁡x→+∞6x+3x2+2\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{ 6x + 3}{x^2 + 2}.
  2. Trouve lim⁡x→+∞9x+6x2+6\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{ 9x + 6}{x^2 + 6}.
  3. Trouve lim⁡x→+∞7x+6x2+1\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{ 7x + 6}{x^2 + 1}.
  1. Que vaut lim⁡x→+∞5x3x2+5\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{ 5x^3}{x^2 + 5} ?
    1. +∞+\infty : le quotient grandit sans limite
    2. 55
    3. 00
  2. Que vaut lim⁡x→+∞2x3x2+2\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{ 2x^3}{x^2 + 2} ?
    1. +∞+\infty : le quotient grandit sans limite
    2. 22
    3. 00

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. Trouve lim⁡x→+∞4x2+15x2+4\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{ 4x^2 + 1}{ 5x^2 + 4}.
  2. Trouve lim⁡x→+∞3x2+42x2+1\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{ 3x^2 + 4}{ 2x^2 + 1}.
  3. Trouve lim⁡x→+∞3x2+45x2+4\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{ 3x^2 + 4}{ 5x^2 + 4}.

Fiche résumé

Limites en l'infini

  • On factorise par le terme de plus haut degré.
  • Degré du haut plus petit : 0. Égaux : quotient des coefficients dominants. Plus grand : ±∞\pm\infty.
  • Une limite finie ℓ\ell donne l'asymptote y=ℓy = \ell.

Attention : ce ne sont pas les constantes qui décident de la limite en l'infini.

2. Limites infinies et asymptotes verticales

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

Que devient 1x\dfrac{1}{x} quand xx se rapproche de 0 par valeurs positives : 10,1,10,01,…\dfrac{1}{0{,}1}, \dfrac{1}{0{,}01}, \dots ?

  1. Il grandit sans limite
  2. Il se rapproche de 0

L'idée clé

Près d'une valeur qui annule le dénominateur, un quotient peut devenir très grand.

Si f(x)f(x) grandit sans limite quand xx tend vers aa par la droite ou par la gauche, on écrit lim⁡f(x)=+∞\lim f(x) = +\infty (ou −∞-\infty) : la droite d'équation x=ax = a est asymptote verticale. Pour le signe, on teste une valeur juste à droite ou à gauche de aa.

Exemple corrigé

Trouve lim⁡x→3x<32x−3\displaystyle\lim_{\substack{x \to 3 \\ x < 3}} \dfrac{2}{x - 3}.

x−3x - 3 est un petit nombre négatif.
Juste à gauche de 3, par exemple pour x = 2,99.
Le quotient est grand et négatif.
On divise 2 par ce nombre.
La limite est −∞-\infty
On écrit la limite.

À toi, guidé

À toi : f(x)=x+1x2−16f(x) = \dfrac{x + 1}{x^2 - 16}. Où sont les asymptotes verticales ?

x=4x = 4 ou x=−4x = -4
x² − 16 = 0.
Asymptotes x=4x = 4 et x=−4x = -4
Le numérateur n'y est pas nul. Tape la valeur négative.

Entraînement ★

  1. Que vaut la limite de 7x−6\dfrac{ 7 }{x - 6} quand xx tend vers 66 par la droite (x>6x > 6) ?
    1. +∞+\infty
    2. −∞-\infty
    3. 00
  2. Que vaut la limite de 4x−3\dfrac{ 4 }{x - 3} quand xx tend vers 33 par la droite (x>3x > 3) ?
    1. +∞+\infty
    2. −∞-\infty
    3. 00
  3. Que vaut la limite de 6x−7\dfrac{ 6 }{x - 7} quand xx tend vers 77 par la droite (x>7x > 7) ?
    1. +∞+\infty
    2. −∞-\infty
    3. 00

Attention !

Entraînement ★★

  1. Que vaut la limite de 6x−8\dfrac{ 6 }{x - 8} quand xx tend vers 88 par la gauche (x<8x < 8) ?
    1. +∞+\infty
    2. −∞-\infty
    3. 00
  2. Que vaut la limite de 7x−2\dfrac{ 7 }{x - 2} quand xx tend vers 22 par la gauche (x<2x < 2) ?
    1. +∞+\infty
    2. −∞-\infty
    3. 00
  3. Que vaut la limite de 9x−5\dfrac{ 9 }{x - 5} quand xx tend vers 55 par la gauche (x<5x < 5) ?
    1. +∞+\infty
    2. −∞-\infty
    3. 00
  1. f(x)=x+8x2−9f(x) = \dfrac{x + 8}{x^2 - 9} a des asymptotes verticales. Quelle est la valeur positive cc telle que x=cx = c soit asymptote ?
  2. f(x)=x+4x2−4f(x) = \dfrac{x + 4}{x^2 - 4} a des asymptotes verticales. Quelle est la valeur positive cc telle que x=cx = c soit asymptote ?

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. Que vaut la limite de 6x−8\dfrac{ 6 }{x - 8} quand xx tend vers 88 par la gauche (x<8x < 8) ?
    1. +∞+\infty
    2. −∞-\infty
    3. 00
  2. Que vaut la limite de 7x−2\dfrac{ 7 }{x - 2} quand xx tend vers 22 par la gauche (x<2x < 2) ?
    1. +∞+\infty
    2. −∞-\infty
    3. 00
  3. Que vaut la limite de 9x−5\dfrac{ 9 }{x - 5} quand xx tend vers 55 par la gauche (x<5x < 5) ?
    1. +∞+\infty
    2. −∞-\infty
    3. 00

Fiche résumé

Limites infinies

  • Dénominateur → 0, numérateur non nul : ±∞\pm\infty, asymptote verticale.
  • On teste une valeur juste à côté de aa pour le signe.

Attention : à gauche et à droite de l'asymptote, les signes peuvent différer.

3. Opérations sur les limites et formes indéterminées

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

Quelle est la limite de x3−x2x^3 - x^2 en +∞+\infty ?

  1. +∞+\infty
  2. 00

L'idée clé

Pour les fonctions, les règles sont les mêmes que pour les suites.

Sommes, produits et quotients de limites se calculent, sauf les formes indéterminées : ∞−∞\infty - \infty, 0×∞0 \times \infty, ∞∞\dfrac{\infty}{\infty}, 00\dfrac{0}{0}.

En cas d'indétermination, on factorise par le terme prépondérant. En l'infini, un polynôme a la même limite que son terme de plus haut degré.

Exemple corrigé

Trouve la limite de f(x)=−2x3+5x+1f(x) = -2x^3 + 5x + 1 en +∞+\infty.

f(x)=x3(−2+5x2+1x3)f(x) = x^3\left(-2 + \dfrac{5}{x^2} + \dfrac{1}{x^3}\right)
−∞ + ∞ : forme indéterminée. On factorise par x³.
+∞ × (−2)
La parenthèse tend vers −2.
lim⁡x→+∞f(x)=−∞\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty
On conclut.

À toi, guidé

À toi : f(x)=3x2−7xf(x) = 3x^2 - 7x. Quelle est la limite de f(x)x2\dfrac{f(x)}{x^2} en +∞+\infty ?

f(x)x2=3−7x\dfrac{f(x)}{x^2} = 3 - \dfrac{7}{x}
On divise chaque terme par x².
La limite est 33
7/x tend vers 0.

Entraînement ★

  1. Quelle est la limite de f(x)=−7x3+6x2f(x) = -7x^3 + 6x^2 en +∞+\infty ?
    1. −∞-\infty
    2. +∞+\infty
    3. 00
  2. Quelle est la limite de f(x)=−7x3+8x2f(x) = -7x^3 + 8x^2 en +∞+\infty ?
    1. −∞-\infty
    2. +∞+\infty
    3. 00
  3. Quelle est la limite de f(x)=−6x3+5x2f(x) = -6x^3 + 5x^2 en +∞+\infty ?
    1. −∞-\infty
    2. +∞+\infty
    3. 00

Attention !

Entraînement ★★

  1. Quelle est la limite de 6x2+1x3x2+1\dfrac{ 6x^2 + 1x }{ 3x^2 + 1 } en +∞+\infty ?
  2. Quelle est la limite de 6x2+8x3x2+1\dfrac{ 6x^2 + 8x }{ 3x^2 + 1 } en +∞+\infty ?
  1. On sait que lim⁡x→+∞g(x)=+∞\displaystyle\lim_{x \to +\infty} g(x) = +\infty. Quelle est la limite de 2+1g(x)2 + \dfrac{1}{g(x)} ?
    1. 22
    2. +∞+\infty
    3. 00
  2. On sait que lim⁡x→+∞g(x)=+∞\displaystyle\lim_{x \to +\infty} g(x) = +\infty. Quelle est la limite de 7+1g(x)7 + \dfrac{1}{g(x)} ?
    1. 77
    2. +∞+\infty
    3. 00
  1. Quelle est la limite de f(x)=2x2−xf(x) = 2x^2 - x en −∞-\infty ?
    1. +∞+\infty
    2. −∞-\infty
    3. 22

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. Quelle est la limite de f(x)=−7x3+6x2f(x) = -7x^3 + 6x^2 en +∞+\infty ?
    1. −∞-\infty
    2. +∞+\infty
    3. 00
  2. Quelle est la limite de f(x)=−7x3+8x2f(x) = -7x^3 + 8x^2 en +∞+\infty ?
    1. −∞-\infty
    2. +∞+\infty
    3. 00
  3. Quelle est la limite de f(x)=−6x3+5x2f(x) = -6x^3 + 5x^2 en +∞+\infty ?
    1. −∞-\infty
    2. +∞+\infty
    3. 00

Fiche résumé

Formes indéterminées

  • ∞−∞\infty - \infty, 0×∞0 \times \infty, ∞∞\dfrac{\infty}{\infty}, 00\dfrac{0}{0} : on ne conclut pas directement.
  • On factorise par le terme prépondérant.

Attention : ne jamais écrire ∞−∞=0\infty - \infty = 0.

4. Croissances comparées de l'exponentielle et des puissances

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

Compare x3x^3 et ex\mathrm{e}^x pour x=10x = 10 : x3=1000x^3 = 1000, alors que e10≈22 000\mathrm{e}^{10} \approx 22\,000. Que devient exx3\dfrac{\mathrm{e}^x}{x^3} en +∞+\infty ?

  1. Il tend vers +∞+\infty
  2. Il tend vers 0

L'idée clé

En +∞+\infty, l'exponentielle l'emporte sur toute puissance.

Pour tout entier n≥1n \geq 1 : lim⁡x→+∞exxn=+∞\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\mathrm{e}^x}{x^n} = +\infty et lim⁡x→−∞xnex=0\displaystyle\lim_{x \to -\infty} x^n\mathrm{e}^x = 0.

Exemple corrigé

Trouve la limite de f(x)=ex−x2f(x) = \mathrm{e}^x - x^2 en +∞+\infty.

f(x)=ex(1−x2ex)f(x) = \mathrm{e}^x\left(1 - \dfrac{x^2}{\mathrm{e}^x}\right)
∞ − ∞ : on factorise par le terme prépondérant, eˣ.
La parenthèse tend vers 11
Croissances comparées : x²/eˣ tend vers 0.
lim⁡x→+∞f(x)=+∞\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty
+∞ × 1.

À toi, guidé

À toi : limite de xexx\mathrm{e}^{x} en −∞-\infty. Tape sa valeur.

La limite est 00
Croissances comparées, avec n = 1.

Entraînement ★

  1. Quelle est la limite de x5ex\dfrac{x^{ 5 }}{\mathrm{e}^x} en +∞+\infty ?
    1. 00
    2. +∞+\infty
    3. 11
  2. Quelle est la limite de x6ex\dfrac{x^{ 6 }}{\mathrm{e}^x} en +∞+\infty ?
    1. 00
    2. +∞+\infty
    3. 11
  3. Quelle est la limite de x8ex\dfrac{x^{ 8 }}{\mathrm{e}^x} en +∞+\infty ?
    1. 00
    2. +∞+\infty
    3. 11

Attention !

Entraînement ★★

  1. Quelle est la limite de 6+x2ex6 + \dfrac{x^{ 2 }}{\mathrm{e}^x} en +∞+\infty ?
  2. Quelle est la limite de 2+x5ex2 + \dfrac{x^{ 5 }}{\mathrm{e}^x} en +∞+\infty ?
  3. Quelle est la limite de 5+x5ex5 + \dfrac{x^{ 5 }}{\mathrm{e}^x} en +∞+\infty ?
  1. Quelle est la limite de exx5\dfrac{\mathrm{e}^x}{x^{ 5 }} en +∞+\infty ?
    1. +∞+\infty
    2. 0
    3. 1
  1. Quelle est la limite de 3+x2ex3 + x^{ 2 }\mathrm{e}^x en −∞-\infty ?

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. Quelle est la limite de x5ex\dfrac{x^{ 5 }}{\mathrm{e}^x} en +∞+\infty ?
    1. 00
    2. +∞+\infty
    3. 11
  2. Quelle est la limite de x6ex\dfrac{x^{ 6 }}{\mathrm{e}^x} en +∞+\infty ?
    1. 00
    2. +∞+\infty
    3. 11
  3. Quelle est la limite de x8ex\dfrac{x^{ 8 }}{\mathrm{e}^x} en +∞+\infty ?
    1. 00
    2. +∞+\infty
    3. 11

Fiche résumé

Croissances comparées

  • exxn→+∞\dfrac{\mathrm{e}^x}{x^n} \to +\infty en +∞+\infty.
  • xnex→0x^n\mathrm{e}^x \to 0 en −∞-\infty.

Attention : quel que soit l'exposant, l'exponentielle gagne.

5. Limites et comparaison de fonctions

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

On sait que −1≤sin⁡x≤1-1 \leq \sin x \leq 1. Quelle est la limite de sin⁡xx\dfrac{\sin x}{x} en +∞+\infty ?

  1. 00
  2. Il n'y a pas de limite

L'idée clé

Les théorèmes de comparaison valent aussi pour les fonctions.

Gendarmes : si g(x)≤f(x)≤h(x)g(x) \leq f(x) \leq h(x) pour xx assez grand, et si gg et hh ont la même limite ℓ\ell en +∞+\infty, alors ff a pour limite ℓ\ell en +∞+\infty.

Comparaison : si f(x)≥g(x)f(x) \geq g(x) pour xx assez grand et g(x)→+∞g(x) \to +\infty, alors f(x)→+∞f(x) \to +\infty.

Exemple corrigé

Trouve la limite de f(x)=x+sin⁡xf(x) = x + \sin x en +∞+\infty.

f(x)≥x−1f(x) \geq x - 1
sin x est au moins égal à −1.
x−1→+∞x - 1 \to +\infty
La minoration tend vers +∞.
lim⁡x→+∞f(x)=+∞\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty
Comparaison.

À toi, guidé

À toi : 2−1x≤f(x)≤2+1x2 - \dfrac{1}{x} \leq f(x) \leq 2 + \dfrac{1}{x}. Quelle est la limite de ff en +∞+\infty ?

La limite est 22
Les deux bornes tendent vers 2 : gendarmes.

Entraînement ★

  1. Pour tout x>0x > 0, on a 4−9x≤f(x)≤4+9x24 - \dfrac{ 9 }{x} \leq f(x) \leq 4 + \dfrac{ 9 }{x^2}. Quelle est la limite de ff en +∞+\infty ?
  2. Pour tout x>0x > 0, on a 1−8x≤f(x)≤1+8x21 - \dfrac{ 8 }{x} \leq f(x) \leq 1 + \dfrac{ 8 }{x^2}. Quelle est la limite de ff en +∞+\infty ?
  3. Pour tout x>0x > 0, on a 7−6x≤f(x)≤7+6x27 - \dfrac{ 6 }{x} \leq f(x) \leq 7 + \dfrac{ 6 }{x^2}. Quelle est la limite de ff en +∞+\infty ?

Attention !

Entraînement ★★

  1. Quelle est la limite de 3x+cos⁡x3x + \cos x en +∞+\infty ?
    1. +∞+\infty
    2. Il n'y a pas de limite, car cos⁡x\cos x oscille
    3. 33
  2. Quelle est la limite de 6x+cos⁡x6x + \cos x en +∞+\infty ?
    1. +∞+\infty
    2. Il n'y a pas de limite, car cos⁡x\cos x oscille
    3. 66
  3. Quelle est la limite de 4x+cos⁡x4x + \cos x en +∞+\infty ?
    1. +∞+\infty
    2. Il n'y a pas de limite, car cos⁡x\cos x oscille
    3. 44
  1. Pour tout x>0x > 0, f(x)≥5xf(x) \geq 5x. Quelle est la limite de ff en +∞+\infty ?
    1. +∞+\infty
    2. 55
    3. On ne peut rien dire
  1. Quelle est la limite de 7+sin⁡xx7 + \dfrac{\sin x}{x} en +∞+\infty ?

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. Pour tout x>0x > 0, on a 4−9x≤f(x)≤4+9x24 - \dfrac{ 9 }{x} \leq f(x) \leq 4 + \dfrac{ 9 }{x^2}. Quelle est la limite de ff en +∞+\infty ?
  2. Pour tout x>0x > 0, on a 1−8x≤f(x)≤1+8x21 - \dfrac{ 8 }{x} \leq f(x) \leq 1 + \dfrac{ 8 }{x^2}. Quelle est la limite de ff en +∞+\infty ?
  3. Pour tout x>0x > 0, on a 7−6x≤f(x)≤7+6x27 - \dfrac{ 6 }{x} \leq f(x) \leq 7 + \dfrac{ 6 }{x^2}. Quelle est la limite de ff en +∞+\infty ?

Fiche résumé

Comparer pour trouver une limite

  • Gendarmes : deux bornes de même limite.
  • f≥gf \geq g et g→+∞g \to +\infty : f→+∞f \to +\infty.

Attention : majorer par une fonction qui tend vers +∞+\infty ne prouve rien.

Corrigé: Limites des fonctions

1. Limites à l'infini

A

  1. 45\frac{4}{5}
  2. 32\frac{3}{2}
  3. 35\frac{3}{5}

B

  1. 00
  2. 00
  3. 00

C

  1. +∞+\infty : le quotient grandit sans limite
  2. +∞+\infty : le quotient grandit sans limite

D

  1. 45\frac{4}{5}
  2. 32\frac{3}{2}
  3. 35\frac{3}{5}

2. Limites infinies et asymptotes verticales

A

  1. +∞+\infty
  2. +∞+\infty
  3. +∞+\infty

B

  1. −∞-\infty
  2. −∞-\infty
  3. −∞-\infty

C

  1. 33
  2. 22

D

  1. −∞-\infty
  2. −∞-\infty
  3. −∞-\infty

3. Opérations sur les limites et formes indéterminées

A

  1. −∞-\infty
  2. −∞-\infty
  3. −∞-\infty

B

  1. 22
  2. 22

C

  1. 22
  2. 77

D

  1. +∞+\infty

E

  1. −∞-\infty
  2. −∞-\infty
  3. −∞-\infty

4. Croissances comparées de l'exponentielle et des puissances

A

  1. 00
  2. 00
  3. 00

B

  1. 66
  2. 22
  3. 55

C

  1. +∞+\infty

D

  1. 33

E

  1. 00
  2. 00
  3. 00

5. Limites et comparaison de fonctions

A

  1. 44
  2. 11
  3. 77

B

  1. +∞+\infty
  2. +∞+\infty
  3. +∞+\infty

C

  1. +∞+\infty

D

  1. 77

E

  1. 44
  2. 11
  3. 77