Le logarithme népérien, réciproque de exp

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Terminale, spécialité › Fonction logarithme

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Le logarithme népérien, réciproque de exp

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La fonction exponentielle est continue et strictement croissante, de ]0;+∞[]0 ; +\infty[ pour valeurs. Pour a>0a > 0, combien l'équation ex=a\mathrm{e}^x = a a-t-elle de solutions ?

  1. Exactement une
  2. Deux

L'idée clé

Le logarithme népérien est la fonction réciproque de l'exponentielle.

Pour a>0a > 0, ln⁡a\ln a est l'unique réel tel que eln⁡a=a\mathrm{e}^{\ln a} = a.

ex=a  ⟺  x=ln⁡a\mathrm{e}^x = a \iff x = \ln a. De plus, ln⁡(ex)=x\ln(\mathrm{e}^x) = x pour tout réel xx, ln⁡1=0\ln 1 = 0 et ln⁡e=1\ln \mathrm{e} = 1.

Exemple corrigé

Résous ln⁡x=3\ln x = 3.

x=e3x = \mathrm{e}^3
On applique exp aux deux membres : exp et ln sont réciproques.
e3>0\mathrm{e}^3 > 0 : la solution convient.
La solution est bien positive.

À toi, guidé

À toi : simplifie ln⁡(e5)\ln(\mathrm{e}^{5}).

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ln et exp sont réciproques.

Entraînement ★

  1. Résous ln⁡x=4\ln x = 4.
  2. Résous ln⁡x=6\ln x = 6.
  3. Résous ln⁡x=1\ln x = 1.

Attention !

Entraînement ★★

  1. Résous ln⁡x=4\ln x = 4.
  2. Résous ln⁡x=6\ln x = 6.
  1. Calcule ln⁡(e4)\ln(\mathrm{e}^{ 4 }).
  1. Calcule eln⁡19\mathrm{e}^{\ln 19}.
  1. Sur quel intervalle a-t-on ln⁡x<0\ln x < 0 ?
    1. ]0;1[]0 ; 1[
    2. ]−∞;0[]-\infty ; 0[
    3. ]1;+∞[]1 ; +\infty[

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. Résous ln⁡x=4\ln x = 4.
  2. Résous ln⁡x=6\ln x = 6.
  3. Résous ln⁡x=1\ln x = 1.

Fiche résumé

Logarithme népérien

  • ln⁡\ln est défini sur ]0;+∞[]0 ; +\infty[.
  • ex=a  ⟺  x=ln⁡a\mathrm{e}^x = a \iff x = \ln a (avec a>0a > 0).
  • ln⁡1=0\ln 1 = 0 et ln⁡e=1\ln \mathrm{e} = 1.

Attention : ln⁡\ln d'un nombre négatif ou nul n'existe pas.

Fin de la leçon

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Corrigé: Le logarithme népérien, réciproque de exp

A

  1. e4e^{4}
  2. e6e^{6}
  3. ee

B

  1. e4e^{4}
  2. e6e^{6}

C

  1. 44

D

  1. 1919

E

  1. ]0;1[]0 ; 1[

F

  1. e4e^{4}
  2. e6e^{6}
  3. ee

CC BY-SA 4.0