Équations et inéquations avec ln et exp

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

Quelle est la première chose à vérifier avant de résoudre $\ln(x - 3) = 2$ ?

Que $x - 3 > 0$
Que $x > 0$

L'idée clé

$\ln$ et $\exp$ sont strictement croissantes : elles conservent l'ordre.

Pour $a, b > 0$ : $\ln a = \ln b \iff a = b$ et $\ln a < \ln b \iff a < b$ .

$\mathrm{e}^a < \mathrm{e}^b \iff a < b$ .

Méthode : on écrit la condition d'existence, on résout, puis on vérifie que les solutions la respectent.

Exemple corrigé

Résous $\ln x + \ln(x - 2) = \ln 15$ .

Condition :

x > 2

Il faut x > 0 et x − 2 > 0.

x(x - 2) = 15

Somme : ln du produit, et ln est injective.

x = 5

x = -3

On résout le second degré.

La seule solution est

x = 5

−3 ne respecte pas x > 2.

À toi, guidé

À toi : résous $\ln(x - 3) = \ln 7$ .

x - 3 = 7

ln est injective.

x = 10

On ajoute 3. Vérification : 10 − 3 > 0.

Entraînement ★

Résous $\ln(x - 7) = \ln 5$ .
Résous $\ln(x - 1) = \ln 8$ .
Résous $\ln(x - 2) = \ln 10$ .

Attention !

Entraînement ★★

Résous l'inéquation $\ln x < \ln 8$ .
Résous l'inéquation $\ln x < \ln 17$ .
Résous l'inéquation $\ln x < \ln 14$ .

Résous $\ln x + \ln(x - 2) = \ln 8$ . Donne toutes les solutions.

Résous $\ln(5x) = \ln 35$ .

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

Résous $\ln(x - 7) = \ln 5$ .
Résous $\ln(x - 1) = \ln 8$ .
Résous $\ln(x - 2) = \ln 10$ .

Fiche résumé

Équations et inéquations

Écrire la condition d'existence.
Résoudre en utilisant la croissance de $\ln$ ou de $\exp$ .
Garder les solutions qui respectent la condition.

Attention : une solution de l'équation transformée n'est pas toujours une solution de départ.

Fin de la leçon

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