Fonction logarithme

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Toutes les leçons du chapitre, prêtes pour le papier. Les séries d'exercices sont notées A, B, C… et corrigées à la fin.

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1. Le logarithme népérien, réciproque de exp

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

La fonction exponentielle est continue et strictement croissante, de ]0;+∞[]0 ; +\infty[ pour valeurs. Pour a>0a > 0, combien l'équation ex=a\mathrm{e}^x = a a-t-elle de solutions ?

  1. Exactement une
  2. Deux

L'idée clé

Le logarithme népérien est la fonction réciproque de l'exponentielle.

Pour a>0a > 0, ln⁡a\ln a est l'unique réel tel que eln⁡a=a\mathrm{e}^{\ln a} = a.

ex=a  ⟺  x=ln⁡a\mathrm{e}^x = a \iff x = \ln a. De plus, ln⁡(ex)=x\ln(\mathrm{e}^x) = x pour tout réel xx, ln⁡1=0\ln 1 = 0 et ln⁡e=1\ln \mathrm{e} = 1.

Exemple corrigé

Résous ln⁡x=3\ln x = 3.

x=e3x = \mathrm{e}^3
On applique exp aux deux membres : exp et ln sont réciproques.
e3>0\mathrm{e}^3 > 0 : la solution convient.
La solution est bien positive.

À toi, guidé

À toi : simplifie ln⁡(e5)\ln(\mathrm{e}^{5}).

55
ln et exp sont réciproques.

Entraînement ★

  1. Résous ln⁡x=4\ln x = 4.
  2. Résous ln⁡x=6\ln x = 6.
  3. Résous ln⁡x=1\ln x = 1.

Attention !

Entraînement ★★

  1. Résous ln⁡x=4\ln x = 4.
  2. Résous ln⁡x=6\ln x = 6.
  1. Calcule ln⁡(e4)\ln(\mathrm{e}^{ 4 }).
  1. Calcule eln⁡19\mathrm{e}^{\ln 19}.
  1. Sur quel intervalle a-t-on ln⁡x<0\ln x < 0 ?
    1. ]0;1[]0 ; 1[
    2. ]−∞;0[]-\infty ; 0[
    3. ]1;+∞[]1 ; +\infty[

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. Résous ln⁡x=4\ln x = 4.
  2. Résous ln⁡x=6\ln x = 6.
  3. Résous ln⁡x=1\ln x = 1.

Fiche résumé

Logarithme népérien

  • ln⁡\ln est défini sur ]0;+∞[]0 ; +\infty[.
  • ex=a  ⟺  x=ln⁡a\mathrm{e}^x = a \iff x = \ln a (avec a>0a > 0).
  • ln⁡1=0\ln 1 = 0 et ln⁡e=1\ln \mathrm{e} = 1.

Attention : ln⁡\ln d'un nombre négatif ou nul n'existe pas.

2. Propriétés algébriques du logarithme népérien

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

Avec une calculatrice : ln⁡2≈0,69\ln 2 \approx 0{,}69 et ln⁡3≈1,10\ln 3 \approx 1{,}10. Lequel de ces nombres vaut environ 1,791{,}79 ?

  1. ln⁡6\ln 6
  2. ln⁡5\ln 5

L'idée clé

Le logarithme transforme les produits en sommes.

Pour a>0a > 0 et b>0b > 0, et nn entier relatif :

ln⁡(ab)=ln⁡a+ln⁡b\ln(ab) = \ln a + \ln b ; ln⁡ab=ln⁡a−ln⁡b\ln \dfrac{a}{b} = \ln a - \ln b ; ln⁡1b=−ln⁡b\ln \dfrac{1}{b} = -\ln b ; ln⁡(an)=nln⁡a\ln(a^n) = n\ln a ; ln⁡a=12ln⁡a\ln\sqrt{a} = \dfrac{1}{2}\ln a.

Exemple corrigé

Écris A=ln⁡12−2ln⁡2A = \ln 12 - 2\ln 2 sous la forme ln⁡c\ln c.

A=ln⁡12−ln⁡4A = \ln 12 - \ln 4
n ln a = ln(aⁿ).
A=ln⁡124A = \ln \dfrac{12}{4}
Différence : ln du quotient.
A=ln⁡3A = \ln 3
12 ÷ 4.

À toi, guidé

À toi : simplifie ln⁡5+ln⁡2−ln⁡10\ln 5 + \ln 2 - \ln 10.

ln⁡10−ln⁡10\ln 10 - \ln 10
Somme : ln du produit.
00
La différence.

Entraînement ★

  1. On écrit ln⁡(27)=cln⁡2\ln(2^{ 7 }) = c\ln 2. Quelle est la valeur de cc ?
  2. On écrit ln⁡(36)=cln⁡3\ln(3^{ 6 }) = c\ln 3. Quelle est la valeur de cc ?
  3. On écrit ln⁡(28)=cln⁡2\ln(2^{ 8 }) = c\ln 2. Quelle est la valeur de cc ?

Attention !

Entraînement ★★

  1. Quelle expression est égale à ln⁡(2×5)\ln(2 \times 5) ?
    1. ln⁡2+ln⁡5\ln 2 + \ln 5
    2. ln⁡2×ln⁡5\ln 2 \times \ln 5
    3. ln⁡(2+5)\ln(2 + 5)
  2. Quelle expression est égale à ln⁡(6×8)\ln(6 \times 8) ?
    1. ln⁡6+ln⁡8\ln 6 + \ln 8
    2. ln⁡6×ln⁡8\ln 6 \times \ln 8
    3. ln⁡(6+8)\ln(6 + 8)
  1. Exprime ln⁡9−ln⁡3\ln 9 - \ln 3 en fonction de ln⁡3\ln 3 : il s'écrit cln⁡3c\ln 3. Quelle est la valeur de cc ?
  2. Exprime ln⁡16807−ln⁡7\ln 16807 - \ln 7 en fonction de ln⁡7\ln 7 : il s'écrit cln⁡7c\ln 7. Quelle est la valeur de cc ?
  1. ln⁡13=cln⁡3\ln\dfrac{1}{ 3 } = c\ln 3. Quelle est la valeur de cc ?

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. On écrit ln⁡(27)=cln⁡2\ln(2^{ 7 }) = c\ln 2. Quelle est la valeur de cc ?
  2. On écrit ln⁡(36)=cln⁡3\ln(3^{ 6 }) = c\ln 3. Quelle est la valeur de cc ?
  3. On écrit ln⁡(28)=cln⁡2\ln(2^{ 8 }) = c\ln 2. Quelle est la valeur de cc ?

Fiche résumé

Propriétés de ln (a,b>0a, b > 0)

  • ln⁡(ab)=ln⁡a+ln⁡b\ln(ab) = \ln a + \ln b.
  • ln⁡ab=ln⁡a−ln⁡b\ln\dfrac{a}{b} = \ln a - \ln b.
  • ln⁡(an)=nln⁡a\ln(a^n) = n\ln a.

Attention : il n'y a pas de formule pour ln⁡(a+b)\ln(a + b).

3. Résoudre des équations e^(kx) = a

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

Une population de bactéries double chaque heure : au bout de tt heures, elle est multipliée par environ e0,69t\mathrm{e}^{0{,}69t}.

Au bout de combien de temps sera-t-elle multipliée par 7 ? Essaie d'estimer avant de continuer : entre quelles heures entières ?

L'idée clé

Pour « défaire » ex\mathrm{e}^x, on utilise sa fonction réciproque : ln⁡\ln.

ex=a  ⟺  x=ln⁡a\mathrm{e}^x = a \iff x = \ln a, pour a>0a > 0

Comme ln⁡(ex)=x\ln(\mathrm{e}^{x}) = x, composer par ln⁡\ln fait « disparaître » l'exponentielle.

Exemple corrigé

Résous e2x=7\mathrm{e}^{2x} = 7.

2x=ln⁡72x = \ln 7
On compose par ln : ln défait exp.
x=ln⁡72x = \dfrac{\ln 7}{2}
On divise par 2.

À toi, guidé

À toi : résous e3x=5\mathrm{e}^{3x} = 5. Complète la ligne manquante.

3x=ln⁡53x = \ln 5
On compose par ln.
x=ln⁡53x = \dfrac{\ln 5}{3}
On divise par 3.

Entraînement ★

  1. Résous e5x=25\mathrm{e}^{ 5x } = 25.
  2. Résous e5x=7\mathrm{e}^{ 5x } = 7.
  3. Résous e5x=9\mathrm{e}^{ 5x } = 9.
  4. Résous e3x=15\mathrm{e}^{ 3x } = 15.
  5. Résous e5x=10\mathrm{e}^{ 5x } = 10.

Attention !

Entraînement ★★

  1. Résous e4x+4=12\mathrm{e}^{ 4x + 4 } = 12.
  2. Résous e6x+5=37\mathrm{e}^{ 6x + 5 } = 37.
  3. Résous e2x+7=16\mathrm{e}^{ 2x + 7 } = 16.
  4. Résous e3x+6=27\mathrm{e}^{ 3x + 6 } = 27.
  5. Résous e6x+7=39\mathrm{e}^{ 6x + 7 } = 39.

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. Résous e4x+4=12\mathrm{e}^{ 4x + 4 } = 12.
  2. Résous e6x+5=37\mathrm{e}^{ 6x + 5 } = 37.
  3. Résous e2x+7=16\mathrm{e}^{ 2x + 7 } = 16.

Fiche résumé

Résoudre ekx=a\mathrm{e}^{kx} = a (avec a>0a > 0)

  1. On compose par ln⁡\ln : kx=ln⁡akx = \ln a.
  2. On divise par kk : x=ln⁡akx = \dfrac{\ln a}{k}.

Attention : e\mathrm{e} n'est pas un facteur. On ne divise jamais par e\mathrm{e}.

Il reste une étape facultative : un défi. Tente-le, ou termine la leçon maintenant.

Défi ★★★

  1. Résous 3e4x+6=603\mathrm{e}^{ 4x } + 6 = 60.
  2. Résous 5e2x+6=255\mathrm{e}^{ 2x } + 6 = 25.
  3. Résous 4e2x+8=364\mathrm{e}^{ 2x } + 8 = 36.

4. Équations et inéquations avec ln et exp

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

Quelle est la première chose à vérifier avant de résoudre ln⁡(x−3)=2\ln(x - 3) = 2 ?

  1. Que x−3>0x - 3 > 0
  2. Que x>0x > 0

L'idée clé

ln⁡\ln et exp⁡\exp sont strictement croissantes : elles conservent l'ordre.

Pour a,b>0a, b > 0 : ln⁡a=ln⁡b  ⟺  a=b\ln a = \ln b \iff a = b et ln⁡a<ln⁡b  ⟺  a<b\ln a < \ln b \iff a < b.

ea<eb  ⟺  a<b\mathrm{e}^a < \mathrm{e}^b \iff a < b.

Méthode : on écrit la condition d'existence, on résout, puis on vérifie que les solutions la respectent.

Exemple corrigé

Résous ln⁡x+ln⁡(x−2)=ln⁡15\ln x + \ln(x - 2) = \ln 15.

Condition : x>2x > 2
Il faut x > 0 et x − 2 > 0.
x(x−2)=15x(x - 2) = 15
Somme : ln du produit, et ln est injective.
x=5x = 5 ou x=−3x = -3
On résout le second degré.
La seule solution est x=5x = 5
−3 ne respecte pas x > 2.

À toi, guidé

À toi : résous ln⁡(x−3)=ln⁡7\ln(x - 3) = \ln 7.

x−3=7x - 3 = 7
ln est injective.
x=10x = 10
On ajoute 3. Vérification : 10 − 3 > 0.

Entraînement ★

  1. Résous ln⁡(x−7)=ln⁡5\ln(x - 7) = \ln 5.
  2. Résous ln⁡(x−1)=ln⁡8\ln(x - 1) = \ln 8.
  3. Résous ln⁡(x−2)=ln⁡10\ln(x - 2) = \ln 10.

Attention !

Entraînement ★★

  1. Résous l'inéquation ln⁡x<ln⁡8\ln x < \ln 8.
  2. Résous l'inéquation ln⁡x<ln⁡17\ln x < \ln 17.
  3. Résous l'inéquation ln⁡x<ln⁡14\ln x < \ln 14.
  1. Résous ln⁡x+ln⁡(x−2)=ln⁡8\ln x + \ln(x - 2) = \ln 8. Donne toutes les solutions.
  1. Résous ln⁡(5x)=ln⁡35\ln(5x) = \ln 35.

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. Résous ln⁡(x−7)=ln⁡5\ln(x - 7) = \ln 5.
  2. Résous ln⁡(x−1)=ln⁡8\ln(x - 1) = \ln 8.
  3. Résous ln⁡(x−2)=ln⁡10\ln(x - 2) = \ln 10.

Fiche résumé

Équations et inéquations

  1. Écrire la condition d'existence.
  2. Résoudre en utilisant la croissance de ln⁡\ln ou de exp⁡\exp.
  3. Garder les solutions qui respectent la condition.

Attention : une solution de l'équation transformée n'est pas toujours une solution de départ.

5. Fonction ln : dérivée, variations, limites

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

La courbe de ln⁡\ln est la symétrique de celle de exp⁡\exp par rapport à la droite y=xy = x. Vers quoi tend ln⁡x\ln x quand xx tend vers 0 par valeurs positives ?

  1. −∞-\infty
  2. 00

L'idée clé

La fonction ln⁡\ln est dérivable sur ]0;+∞[]0 ; +\infty[.

(ln⁡x)′=1x(\ln x)' = \dfrac{1}{x}, qui est positive : ln⁡\ln est strictement croissante. Pour u>0u > 0 dérivable : (ln⁡u)′=u′u(\ln u)' = \dfrac{u'}{u}.

lim⁡x→0ln⁡x=−∞\displaystyle\lim_{x \to 0} \ln x = -\infty et lim⁡x→+∞ln⁡x=+∞\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \ln x = +\infty.

Exemple corrigé

Calcule la dérivée de f(x)=ln⁡(x2+1)f(x) = \ln(x^2 + 1).

u′(x)=2xu'(x) = 2x
u(x) = x² + 1 est strictement positive.
f′(x)=2xx2+1f'(x) = \dfrac{2x}{x^2 + 1}
(ln u)' = u'/u.

À toi, guidé

À toi : f(x)=ln⁡(3x)f(x) = \ln(3x) pour x>0x > 0. Que vaut f′(1)f'(1) ?

f′(x)=1xf'(x) = \dfrac{1}{x}
u'/u = 3/(3x) = 1/x.
f′(1)=1f'(1) = 1
On remplace x par 1.

Entraînement ★

  1. f(x)=ln⁡(8x+9)f(x) = \ln(8x + 9) pour x>0x > 0. Calcule f′(x)f'(x).
  2. f(x)=ln⁡(6x+2)f(x) = \ln(6x + 2) pour x>0x > 0. Calcule f′(x)f'(x).
  3. f(x)=ln⁡(7x+8)f(x) = \ln(7x + 8) pour x>0x > 0. Calcule f′(x)f'(x).

Attention !

Entraînement ★★

  1. Quelle est la limite de 8+ln⁡x8 + \ln x quand xx tend vers 0 par valeurs positives ?
    1. −∞-\infty
    2. 88
    3. +∞+\infty
  2. Quelle est la limite de 9+ln⁡x9 + \ln x quand xx tend vers 0 par valeurs positives ?
    1. −∞-\infty
    2. 99
    3. +∞+\infty
  1. f(x)=x−8ln⁡xf(x) = x - 8\ln x pour x>0x > 0. En quelle valeur f′f' s'annule-t-elle ?
  2. f(x)=x−4ln⁡xf(x) = x - 4\ln x pour x>0x > 0. En quelle valeur f′f' s'annule-t-elle ?
  1. f(x)=ln⁡(x2+4)f(x) = \ln(x^2 + 4). Calcule f′(x)f'(x).

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. f(x)=ln⁡(8x+9)f(x) = \ln(8x + 9) pour x>0x > 0. Calcule f′(x)f'(x).
  2. f(x)=ln⁡(6x+2)f(x) = \ln(6x + 2) pour x>0x > 0. Calcule f′(x)f'(x).
  3. f(x)=ln⁡(7x+8)f(x) = \ln(7x + 8) pour x>0x > 0. Calcule f′(x)f'(x).

Fiche résumé

Fonction ln

  • (ln⁡x)′=1x(\ln x)' = \dfrac{1}{x} et (ln⁡u)′=u′u(\ln u)' = \dfrac{u'}{u}.
  • Strictement croissante sur ]0;+∞[]0 ; +\infty[.
  • Limites : −∞-\infty en 0, +∞+\infty en +∞+\infty.

Attention : ln⁡\ln tend vers +∞+\infty très lentement, mais il y tend.

6. Croissance comparée du logarithme et des puissances

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

Pour x=1 000 000x = 1\,000\,000, ln⁡x≈13,8\ln x \approx 13{,}8. Que devient ln⁡xx\dfrac{\ln x}{x} en +∞+\infty ?

  1. Il tend vers 0
  2. Il tend vers +∞+\infty

L'idée clé

En +∞+\infty, toute puissance de xx l'emporte sur ln⁡x\ln x.

Pour tout entier n≥1n \geq 1 : lim⁡x→+∞ln⁡xxn=0\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x^n} = 0 et lim⁡x→0xnln⁡x=0\displaystyle\lim_{x \to 0} x^n\ln x = 0 (pour x>0x > 0).

Exemple corrigé

Trouve la limite de f(x)=x−ln⁡xf(x) = x - \ln x en +∞+\infty.

f(x)=x(1−ln⁡xx)f(x) = x\left(1 - \dfrac{\ln x}{x}\right)
∞ − ∞ : on factorise par x.
La parenthèse tend vers 11
Croissance comparée.
lim⁡x→+∞f(x)=+∞\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty
+∞ × 1.

À toi, guidé

À toi : limite de xln⁡xx\ln x quand xx tend vers 0 par valeurs positives.

La limite est 00
Croissance comparée, avec n = 1.

Entraînement ★

  1. Quelle est la limite de 8+ln⁡xx28 + \dfrac{\ln x}{x^{ 2 }} en +∞+\infty ?
  2. Quelle est la limite de 9+ln⁡xx39 + \dfrac{\ln x}{x^{ 3 }} en +∞+\infty ?
  3. Quelle est la limite de 8+ln⁡xx18 + \dfrac{\ln x}{x^{ 1 }} en +∞+\infty ?

Attention !

Entraînement ★★

  1. Quelle est la limite de x3−ln⁡xx^{ 3 } - \ln x en +∞+\infty ?
    1. +∞+\infty
    2. 00
    3. −∞-\infty
  2. Quelle est la limite de x4−ln⁡xx^{ 4 } - \ln x en +∞+\infty ?
    1. +∞+\infty
    2. 00
    3. −∞-\infty
  1. Problème final. On étudie f(x)=x−6ln⁡xf(x) = x - 6\ln x sur ]0;+∞[]0 ; +\infty[.
  1. Quelle est la limite de 3−ln⁡xx3 - \dfrac{\ln x}{x} en +∞+\infty ?
  1. Quelle est la limite de xln⁡xx\ln x en 0, par valeurs positives ?
    1. 0
    2. −∞-\infty
    3. +∞+\infty

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. Quelle est la limite de 8+ln⁡xx28 + \dfrac{\ln x}{x^{ 2 }} en +∞+\infty ?
  2. Quelle est la limite de 9+ln⁡xx39 + \dfrac{\ln x}{x^{ 3 }} en +∞+\infty ?
  3. Quelle est la limite de 8+ln⁡xx18 + \dfrac{\ln x}{x^{ 1 }} en +∞+\infty ?

Fiche résumé

Croissance comparée

  • ln⁡xxn→0\dfrac{\ln x}{x^n} \to 0 en +∞+\infty.
  • xnln⁡x→0x^n\ln x \to 0 en 0.

Attention : en cas de forme indéterminée, c'est la puissance de xx qui gagne sur ln⁡x\ln x.

Corrigé: Fonction logarithme

1. Le logarithme népérien, réciproque de exp

A

  1. e4e^{4}
  2. e6e^{6}
  3. ee

B

  1. e4e^{4}
  2. e6e^{6}

C

  1. 44

D

  1. 1919

E

  1. ]0;1[]0 ; 1[

F

  1. e4e^{4}
  2. e6e^{6}
  3. ee

2. Propriétés algébriques du logarithme népérien

A

  1. 77
  2. 66
  3. 88

B

  1. ln⁡2+ln⁡5\ln 2 + \ln 5
  2. ln⁡6+ln⁡8\ln 6 + \ln 8

C

  1. 11
  2. 44

D

  1. −1-1

E

  1. 77
  2. 66
  3. 88

3. Résoudre des équations e^(kx) = a

A

  1. ln⁡(25)5\frac{\ln{\left(25 \right)}}{5}
  2. ln⁡(7)5\frac{\ln{\left(7 \right)}}{5}
  3. ln⁡(9)5\frac{\ln{\left(9 \right)}}{5}
  4. ln⁡(15)3\frac{\ln{\left(15 \right)}}{3}
  5. ln⁡(10)5\frac{\ln{\left(10 \right)}}{5}

B

  1. −1+ln⁡(12)4-1 + \frac{\ln{\left(12 \right)}}{4}
  2. −56+ln⁡(37)6- \frac{5}{6} + \frac{\ln{\left(37 \right)}}{6}
  3. −72+ln⁡(16)2- \frac{7}{2} + \frac{\ln{\left(16 \right)}}{2}
  4. −2+ln⁡(27)3-2 + \frac{\ln{\left(27 \right)}}{3}
  5. −76+ln⁡(39)6- \frac{7}{6} + \frac{\ln{\left(39 \right)}}{6}

C

  1. −1+ln⁡(12)4-1 + \frac{\ln{\left(12 \right)}}{4}
  2. −56+ln⁡(37)6- \frac{5}{6} + \frac{\ln{\left(37 \right)}}{6}
  3. −72+ln⁡(16)2- \frac{7}{2} + \frac{\ln{\left(16 \right)}}{2}

D

  1. ln⁡(18)4\frac{\ln{\left(18 \right)}}{4}
  2. ln⁡(195)2\frac{\ln{\left(\frac{19}{5} \right)}}{2}
  3. ln⁡(7)2\frac{\ln{\left(7 \right)}}{2}

4. Équations et inéquations avec ln et exp

A

  1. 1212
  2. 99
  3. 1212

B

  1. ]0 ; 8[]0\,;\,8[
  2. ]0 ; 17[]0\,;\,17[
  3. ]0 ; 14[]0\,;\,14[

C

  1. 44

D

  1. 77

E

  1. 1212
  2. 99
  3. 1212

5. Fonction ln : dérivée, variations, limites

A

  1. 88x+9\frac{8}{8 x + 9}
  2. 66x+2\frac{6}{6 x + 2}
  3. 77x+8\frac{7}{7 x + 8}

B

  1. −∞-\infty
  2. −∞-\infty

C

  1. 88
  2. 44

D

  1. 2xx2+4\frac{2 x}{x^{2} + 4}

E

  1. 88x+9\frac{8}{8 x + 9}
  2. 66x+2\frac{6}{6 x + 2}
  3. 77x+8\frac{7}{7 x + 8}

6. Croissance comparée du logarithme et des puissances

A

  1. 88
  2. 99
  3. 88

B

  1. +∞+\infty
  2. +∞+\infty

C

  1. 6−6ln⁡(6)6 - 6 \ln{\left(6 \right)}

D

  1. 33

E

  1. 0

F

  1. 88
  2. 99
  3. 88