Équation différentielle y' = ay

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Une quantité croît à une vitesse proportionnelle à sa valeur : $y' = 2y$ . Quelle forme ont les solutions ?

Les solutions forment une famille de courbes, une pour chaque constante.

Les solutions de $y' = ay$ sur $\mathbb{R}$ sont les fonctions $x \mapsto C\mathrm{e}^{ax}$ , où $C$ est un réel.

Une condition $y(x_0) = y_0$ détermine une unique solution.

Résous $y' = -3y$ avec $y(0) = 5$ .

y = C\mathrm{e}^{-3x}

La forme générale, avec a = −3.

C = 5

y(0) = C × e⁰ = C.

y = 5\mathrm{e}^{-3x}

On conclut.

À toi : $y' = 4y$ avec $y(0) = 2$ .

y = 2\mathrm{e}^{4x}

y = Ce⁴ˣ et C = 2.

Une quantité vérifie $y' = -5y$ et $y(0) = 7$ . Que vaut $y$ en fonction de $x$ ?
Une quantité vérifie $y' = -2y$ et $y(0) = 3$ . Que vaut $y$ en fonction de $x$ ?

Quelle est la forme de toutes les solutions de $y' = 6y$ ?
1. $y = C\mathrm{e}^{ 6x }$ , $C$ réel
2. $y = \mathrm{e}^{ 6x } + C$
3. $y = C\mathrm{e}^{-6x}$

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

$y' = ay$

Attention : $C$ multiplie l'exponentielle, il ne s'y ajoute pas.

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