Équation différentielle y' = ay + f

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

On admet que $y_p(x) = 2x$ est solution de $y' = y - 2x + 2$ . Quelle est la différence entre une autre solution $y$ et $y_p$ ?

Une solution particulière suffit pour avoir toutes les solutions.

Si $y_p$ est une solution particulière de $y' = ay + f$ , alors toutes les solutions sont $x \mapsto C\mathrm{e}^{ax} + y_p(x)$ , où $C$ est un réel.

On admet que $y_p(x) = x + 1$ est solution de $y' = 2y - 2x - 1$ . Trouve la solution avec $y(0) = 4$ .

y = C\mathrm{e}^{2x} + x + 1

Toutes les solutions, avec a = 2.

C = 3

y(0) = C + 1 = 4.

y = 3\mathrm{e}^{2x} + x + 1

On conclut.

À toi : avec $y = C\mathrm{e}^{x} + x$ et $y(0) = 6$ , trouve $C$ .

C = 6

y(0) = C + 0.

Les solutions d'une équation différentielle sont $y = C\mathrm{e}^{ 5x } + 3x + 2$ . Quelle valeur de $C$ correspond à la condition $y(0) = 4$ ?
Les solutions d'une équation différentielle sont $y = C\mathrm{e}^{ 5x } + 6x + 6$ . Quelle valeur de $C$ correspond à la condition $y(0) = 8$ ?
Les solutions d'une équation différentielle sont $y = C\mathrm{e}^{ 3x } + 4x + 4$ . Quelle valeur de $C$ correspond à la condition $y(0) = 6$ ?

$y_p(x) = 6x$ est solution de $y' = 5y + f(x)$ . Quelle est la forme de toutes les solutions ?
1. $C\mathrm{e}^{ 5x } + 6x$
2. $C\mathrm{e}^{ 5x } \times 6x$
3. $6x$ uniquement
$y_p(x) = 5x$ est solution de $y' = 2y + f(x)$ . Quelle est la forme de toutes les solutions ?
1. $C\mathrm{e}^{ 2x } + 5x$
2. $C\mathrm{e}^{ 2x } \times 5x$
3. $5x$ uniquement

$y_p(x) = 3x$ est solution de $y' = y + f(x)$ . Quelle est la valeur de $f(0)$ ?

Les solutions sont $y = C\mathrm{e}^{ 3x } + 2x$ . Pour $y(0) = 2$ , que vaut $C$ ?

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

Les solutions d'une équation différentielle sont $y = C\mathrm{e}^{ 5x } + 3x + 2$ . Quelle valeur de $C$ correspond à la condition $y(0) = 4$ ?
Les solutions d'une équation différentielle sont $y = C\mathrm{e}^{ 5x } + 6x + 6$ . Quelle valeur de $C$ correspond à la condition $y(0) = 8$ ?
Les solutions d'une équation différentielle sont $y = C\mathrm{e}^{ 3x } + 4x + 4$ . Quelle valeur de $C$ correspond à la condition $y(0) = 6$ ?

$y' = ay + f$

Solutions : $C\mathrm{e}^{ax} + y_p(x)$ , avec $y_p$ une solution particulière donnée.

Attention : la constante $C$ se calcule sur la solution complète.

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