Primitives et équations différentielles

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1. Primitives

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

Quelle fonction a pour dérivée 3x23x^2 ?

  1. x3x^3
  2. 6x6x

L'idée clé

FF est une primitive de ff sur un intervalle si F′=fF' = f, c'est-à-dire si FF est solution de l'équation différentielle y′=fy' = f. Deux primitives d'une même fonction diffèrent d'une constante.

Primitives de référence : xn→xn+1n+1x^n \to \dfrac{x^{n+1}}{n + 1} pour n≠−1n \neq -1 ; 1x→ln⁡x\dfrac{1}{x} \to \ln x sur ]0;+∞[]0 ; +\infty[ ; 1x→2x\dfrac{1}{\sqrt{x}} \to 2\sqrt{x} ; ex→ex\mathrm{e}^x \to \mathrm{e}^x ; cos⁡x→sin⁡x\cos x \to \sin x ; sin⁡x→−cos⁡x\sin x \to -\cos x.

Exemple corrigé

Trouve la primitive FF de f(x)=4x3+sin⁡xf(x) = 4x^3 + \sin x telle que F(0)=2F(0) = 2.

F(x)=x4−cos⁡x+CF(x) = x^4 - \cos x + C
Terme à terme.
C=3C = 3
F(0) = 0 − 1 + C = 2.
F(x)=x4−cos⁡x+3F(x) = x^4 - \cos x + 3
On vérifie en dérivant.

À toi, guidé

À toi : f(x)=6x2f(x) = 6x^2, avec F(0)=0F(0) = 0.

F(x)=2x3F(x) = 2x^3
6x³/3.

Entraînement ★

  1. Trouve la primitive FF de f(x)=4x3+9f(x) = 4x^{ 3 } + 9 telle que F(0)=0F(0) = 0.
  2. Trouve la primitive FF de f(x)=2x2+8f(x) = 2x^{ 2 } + 8 telle que F(0)=0F(0) = 0.
  3. Trouve la primitive FF de f(x)=5x4+6f(x) = 5x^{ 4 } + 6 telle que F(0)=0F(0) = 0.

Attention !

Entraînement ★★

  1. Trouve la primitive FF de f(x)=cos⁡x+exf(x) = \cos x + \mathrm{e}^x telle que F(0)=6F(0) = 6.
  2. Trouve la primitive FF de f(x)=cos⁡x+exf(x) = \cos x + \mathrm{e}^x telle que F(0)=4F(0) = 4.
  1. Trouve la primitive FF de f(x)=1xf(x) = \dfrac{1}{x}, pour x>0x > 0, telle que F(1)=−9F(1) = -9.
  2. Trouve la primitive FF de f(x)=1xf(x) = \dfrac{1}{x}, pour x>0x > 0, telle que F(1)=8F(1) = 8.

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. Trouve la primitive FF de f(x)=4x3+9f(x) = 4x^{ 3 } + 9 telle que F(0)=0F(0) = 0.
  2. Trouve la primitive FF de f(x)=2x2+8f(x) = 2x^{ 2 } + 8 telle que F(0)=0F(0) = 0.
  3. Trouve la primitive FF de f(x)=5x4+6f(x) = 5x^{ 4 } + 6 telle que F(0)=0F(0) = 0.

Fiche résumé

Primitives

  • xn→xn+1n+1x^n \to \dfrac{x^{n+1}}{n+1} ; 1x→ln⁡x\dfrac{1}{x} \to \ln x ; ex→ex\mathrm{e}^x \to \mathrm{e}^x ; cos⁡→sin⁡\cos \to \sin ; sin⁡→−cos⁡\sin \to -\cos.
  • Une valeur donnée permet de trouver CC.

Attention : vérifie toujours en dérivant.

2. Reconnaître une dérivée composée pour trouver une primitive

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

On sait que (sin⁡(x2))′=2xcos⁡(x2)\big(\sin(x^2)\big)' = 2x\cos(x^2). Quelle est donc une primitive de 2xcos⁡(x2)2x\cos(x^2) ?

  1. sin⁡(x2)\sin(x^2)
  2. 2xsin⁡(x2)2x\sin(x^2)

L'idée clé

On cherche la forme (v′∘u)×u′(v' \circ u) \times u', dont une primitive est v∘uv \circ u.

Formes à reconnaître, pour uu dérivable :

u′eu→euu'\mathrm{e}^u \to \mathrm{e}^u ; u′u→ln⁡u\dfrac{u'}{u} \to \ln u (avec u>0u > 0) ; u′un→un+1n+1u'u^n \to \dfrac{u^{n+1}}{n + 1} ; u′u→2u\dfrac{u'}{\sqrt{u}} \to 2\sqrt{u} ; u′cos⁡u→sin⁡uu'\cos u \to \sin u ; u′sin⁡u→−cos⁡uu'\sin u \to -\cos u.

Exemple corrigé

Trouve une primitive de f(x)=x(x2+1)4f(x) = x(x^2 + 1)^4.

f(x)=12×2x(x2+1)4f(x) = \dfrac{1}{2} \times 2x(x^2 + 1)^4
Avec u = x² + 1, on a u' = 2x. Il manque un facteur 2.
F(x)=12×(x2+1)55F(x) = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{(x^2 + 1)^5}{5}
u'u⁴ a pour primitive u⁵/5.
F(x)=(x2+1)510F(x) = \dfrac{(x^2 + 1)^5}{10}
On simplifie.

À toi, guidé

À toi : une primitive de 3x2ex33x^2\mathrm{e}^{x^3}.

ex3\mathrm{e}^{x^3}
u = x³ et u' = 3x² : c'est exactement u'eᵘ.

Entraînement ★

  1. Trouve la primitive FF de f(x)=(2x+2)5f(x) = (2x + 2)^{ 5 } telle que F(−22)=0F\left(-\dfrac{ 2 }{ 2 }\right) = 0.
  2. Trouve la primitive FF de f(x)=(3x+1)5f(x) = (3x + 1)^{ 5 } telle que F(−13)=0F\left(-\dfrac{ 1 }{ 3 }\right) = 0.
  3. Trouve la primitive FF de f(x)=(6x+1)2f(x) = (6x + 1)^{ 2 } telle que F(−16)=0F\left(-\dfrac{ 1 }{ 6 }\right) = 0.

Attention !

Entraînement ★★

  1. Trouve la primitive FF de f(x)=e4xf(x) = \mathrm{e}^{ 4x } telle que F(0)=14F(0) = \dfrac{1}{ 4 }.
  2. Trouve la primitive FF de f(x)=e3xf(x) = \mathrm{e}^{ 3x } telle que F(0)=13F(0) = \dfrac{1}{ 3 }.
  1. Sur R\mathbb{R}, trouve la primitive FF de f(x)=2xx2+8f(x) = \dfrac{2x}{x^2 + 8} qui s'annule en 0.
  2. Sur R\mathbb{R}, trouve la primitive FF de f(x)=2xx2+9f(x) = \dfrac{2x}{x^2 + 9} qui s'annule en 0.
  1. Trouve la primitive FF de f(x)=cos⁡(5x)f(x) = \cos(5x) telle que F(0)=0F(0) = 0.

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. Trouve la primitive FF de f(x)=(2x+2)5f(x) = (2x + 2)^{ 5 } telle que F(−22)=0F\left(-\dfrac{ 2 }{ 2 }\right) = 0.
  2. Trouve la primitive FF de f(x)=(3x+1)5f(x) = (3x + 1)^{ 5 } telle que F(−13)=0F\left(-\dfrac{ 1 }{ 3 }\right) = 0.
  3. Trouve la primitive FF de f(x)=(6x+1)2f(x) = (6x + 1)^{ 2 } telle que F(−16)=0F\left(-\dfrac{ 1 }{ 6 }\right) = 0.

Fiche résumé

Formes composées

  • u′eu→euu'\mathrm{e}^u \to \mathrm{e}^u ; u′u→ln⁡u\dfrac{u'}{u} \to \ln u ; u′un→un+1n+1u'u^n \to \dfrac{u^{n+1}}{n+1}.
  • S'il manque un facteur constant, on l'ajuste.

Attention : un facteur xx ne s'ajuste pas ; seul un facteur constant le peut.

3. Équations différentielles : solutions et équilibres

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

Une équation différentielle relie une fonction et ses dérivées. La fonction y=e2xy = \mathrm{e}^{2x} est-elle solution de y′=2yy' = 2y ?

  1. Oui
  2. Non

L'idée clé

Une solution est une fonction, pas un nombre.

Une équation différentielle relie yy, ses dérivées et la variable. Une fonction est solution si, une fois remplacée, les deux membres sont égaux pour tout xx. Une solution constante y=cy = c vérifie y′=0y' = 0.

Exemple corrigé

Trouve la solution constante de y′=3(y−5)y' = 3(y - 5), et vérifie que y=5+2e3ty = 5 + 2\mathrm{e}^{3t} est solution.

3(y−5)=03(y - 5) = 0, donc y=5y = 5
Solution constante : y' = 0.
y′=6e3ty' = 6\mathrm{e}^{3t}
On dérive la fonction proposée.
C'est bien une solution.
Second membre : 3 × 2e³ᵗ = 6e³ᵗ. Ils sont égaux.

À toi, guidé

À toi : la solution constante de y′=2(4−y)y' = 2(4 - y).

y=4y = 4
On pose 2(4 − y) = 0.

Entraînement ★

  1. Quelle fonction est solution de y′=5yy' = 5y ?
    1. y=3e5xy = 3\mathrm{e}^{ 5x}
    2. y=e3xy = \mathrm{e}^{3x}
    3. y=5xyy = 5xy
    4. y=ex+5y = \mathrm{e}^{x} + 5
  2. Quelle fonction est solution de y′=6yy' = 6y ?
    1. y=3e6xy = 3\mathrm{e}^{ 6x}
    2. y=e3xy = \mathrm{e}^{3x}
    3. y=6xyy = 6xy
    4. y=ex+6y = \mathrm{e}^{x} + 6
  1. y′=5(y−3)y' = 5(y - 3). Trouve la solution constante y=cy = c.
  2. y′=8(y−2)y' = 8(y - 2). Trouve la solution constante y=cy = c.

Attention !

Entraînement ★★

  1. Pour quelle valeur de k>0k > 0 la fonction y=ekxy = \mathrm{e}^{kx} est-elle solution de y′′−9y=0y'' - 9y = 0 ?
  2. Pour quelle valeur de k>0k > 0 la fonction y=ekxy = \mathrm{e}^{kx} est-elle solution de y′′−36y=0y'' - 36y = 0 ?

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. y′=5(y−3)y' = 5(y - 3). Trouve la solution constante y=cy = c.
  2. y′=8(y−2)y' = 8(y - 2). Trouve la solution constante y=cy = c.
  3. y′=8(y−1)y' = 8(y - 1). Trouve la solution constante y=cy = c.

Fiche résumé

Équations différentielles

  • Vérifier une solution : dériver, remplacer, comparer.
  • Solution constante : on résout y′=0y' = 0.

Attention : une solution constante vérifie y′=0y' = 0, pas y=0y = 0.

4. Équation différentielle y' = ay

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

Une quantité croît à une vitesse proportionnelle à sa valeur : y′=2yy' = 2y. Quelle forme ont les solutions ?

  1. y=Ce2xy = C\mathrm{e}^{2x}
  2. y=e2xy = \mathrm{e}^{2x} uniquement

L'idée clé

Les solutions forment une famille de courbes, une pour chaque constante.

Les solutions de y′=ayy' = ay sur R\mathbb{R} sont les fonctions x↦Ceaxx \mapsto C\mathrm{e}^{ax}, où CC est un réel.

Une condition y(x0)=y0y(x_0) = y_0 détermine une unique solution.

Exemple corrigé

Résous y′=−3yy' = -3y avec y(0)=5y(0) = 5.

y=Ce−3xy = C\mathrm{e}^{-3x}
La forme générale, avec a = −3.
C=5C = 5
y(0) = C × e⁰ = C.
y=5e−3xy = 5\mathrm{e}^{-3x}
On conclut.

À toi, guidé

À toi : y′=4yy' = 4y avec y(0)=2y(0) = 2.

y=2e4xy = 2\mathrm{e}^{4x}
y = Ce⁴ˣ et C = 2.

Entraînement ★

  1. Résous l'équation différentielle y′=6yy' = 6y avec la condition y(0)=9y(0) = 9.
  2. Résous l'équation différentielle y′=5yy' = 5y avec la condition y(0)=4y(0) = 4.
  3. Résous l'équation différentielle y′=4yy' = 4y avec la condition y(0)=2y(0) = 2.

Attention !

Entraînement ★★

  1. Une quantité vérifie y′=−5yy' = -5y et y(0)=7y(0) = 7. Que vaut yy en fonction de xx ?
  2. Une quantité vérifie y′=−2yy' = -2y et y(0)=3y(0) = 3. Que vaut yy en fonction de xx ?
  1. Quelle est la forme de toutes les solutions de y′=6yy' = 6y ?
    1. y=Ce6xy = C\mathrm{e}^{ 6x }, CC réel
    2. y=e6x+Cy = \mathrm{e}^{ 6x } + C
    3. y=Ce−6xy = C\mathrm{e}^{-6x}
  1. y′=yy' = y et y(0)=7y(0) = 7. Calcule y(1)y(1).

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. Résous l'équation différentielle y′=6yy' = 6y avec la condition y(0)=9y(0) = 9.
  2. Résous l'équation différentielle y′=5yy' = 5y avec la condition y(0)=4y(0) = 4.
  3. Résous l'équation différentielle y′=4yy' = 4y avec la condition y(0)=2y(0) = 2.

Fiche résumé

y′=ayy' = ay

  • Solutions : CeaxC\mathrm{e}^{ax}.
  • La condition initiale donne CC.

Attention : CC multiplie l'exponentielle, il ne s'y ajoute pas.

5. Équation différentielle y' = ay + b

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

Un café à 80 °C refroidit dans une pièce à 20 °C : sa température vérifie y′=−0,1y+2y' = -0{,}1y + 2. Vers quelle température tend-elle ?

  1. 20 °C
  2. 0 °C

L'idée clé

On ajoute une solution constante aux solutions de y′=ayy' = ay.

Pour a≠0a \neq 0, y′=ay+by' = ay + b a pour solution constante y0=−bay_0 = -\dfrac{b}{a}.

Toutes les solutions sont x↦Ceax−bax \mapsto C\mathrm{e}^{ax} - \dfrac{b}{a}, où CC est un réel.

Exemple corrigé

Résous y′=2y−6y' = 2y - 6 avec y(0)=5y(0) = 5.

y0=3y_0 = 3
Solution constante : 2y − 6 = 0.
y=Ce2x+3y = C\mathrm{e}^{2x} + 3
On ajoute Ce²ˣ.
C=2C = 2
y(0) = C + 3 = 5.
y=2e2x+3y = 2\mathrm{e}^{2x} + 3
On conclut.

À toi, guidé

À toi : quelle est la solution constante de y′=3y+12y' = 3y + 12 ?

y0=−4y_0 = -4
3y + 12 = 0.

Entraînement ★

  1. Quelle est la solution constante de l'équation différentielle y′=2y−8y' = 2y - 8 ?
  2. Quelle est la solution constante de l'équation différentielle y′=5y−30y' = 5y - 30 ?
  3. Quelle est la solution constante de l'équation différentielle y′=2y−6y' = 2y - 6 ?

Attention !

Entraînement ★★

  1. Résous y′=5y−15y' = 5y - 15 avec y(0)=8y(0) = 8.
  2. Résous y′=4y−20y' = 4y - 20 avec y(0)=7y(0) = 7.
  3. Résous y′=2y−10y' = 2y - 10 avec y(0)=8y(0) = 8.
  1. Problème final. On résout y′=−5y+15y' = -5y + 15 avec y(0)=7y(0) = 7.
  1. La solution de y′=−1y+4y' = -1y + 4 avec y(0)=12y(0) = 12 s'écrit y=8e−1x+4y = 8\mathrm{e}^{-1x} + 4. Quelle est sa limite en +∞+\infty ?
  1. Laquelle de ces fonctions constantes est solution de y′=6y−30y' = 6y - 30 ?
    1. y=5y = 5
    2. y=30y = 30
    3. y=0y = 0

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. Quelle est la solution constante de l'équation différentielle y′=2y−8y' = 2y - 8 ?
  2. Quelle est la solution constante de l'équation différentielle y′=5y−30y' = 5y - 30 ?
  3. Quelle est la solution constante de l'équation différentielle y′=2y−6y' = 2y - 6 ?

Fiche résumé

y′=ay+by' = ay + b

  1. Solution constante : −ba-\dfrac{b}{a}.
  2. Solutions : Ceax−baC\mathrm{e}^{ax} - \dfrac{b}{a}.
  3. Une condition initiale donne CC.

Attention : pour trouver CC, utilise la solution complète, avec la constante.

6. Équation différentielle y' = ay + f

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

On admet que yp(x)=2xy_p(x) = 2x est solution de y′=y−2x+2y' = y - 2x + 2. Quelle est la différence entre une autre solution yy et ypy_p ?

  1. Elle vérifie z′=zz' = z
  2. Elle est nulle

L'idée clé

Une solution particulière suffit pour avoir toutes les solutions.

Si ypy_p est une solution particulière de y′=ay+fy' = ay + f, alors toutes les solutions sont x↦Ceax+yp(x)x \mapsto C\mathrm{e}^{ax} + y_p(x), où CC est un réel.

Exemple corrigé

On admet que yp(x)=x+1y_p(x) = x + 1 est solution de y′=2y−2x−1y' = 2y - 2x - 1. Trouve la solution avec y(0)=4y(0) = 4.

y=Ce2x+x+1y = C\mathrm{e}^{2x} + x + 1
Toutes les solutions, avec a = 2.
C=3C = 3
y(0) = C + 1 = 4.
y=3e2x+x+1y = 3\mathrm{e}^{2x} + x + 1
On conclut.

À toi, guidé

À toi : avec y=Cex+xy = C\mathrm{e}^{x} + x et y(0)=6y(0) = 6, trouve CC.

C=6C = 6
y(0) = C + 0.

Entraînement ★

  1. Les solutions d'une équation différentielle sont y=Ce5x+3x+2y = C\mathrm{e}^{ 5x } + 3x + 2. Quelle valeur de CC correspond à la condition y(0)=4y(0) = 4 ?
  2. Les solutions d'une équation différentielle sont y=Ce5x+6x+6y = C\mathrm{e}^{ 5x } + 6x + 6. Quelle valeur de CC correspond à la condition y(0)=8y(0) = 8 ?
  3. Les solutions d'une équation différentielle sont y=Ce3x+4x+4y = C\mathrm{e}^{ 3x } + 4x + 4. Quelle valeur de CC correspond à la condition y(0)=6y(0) = 6 ?

Attention !

Entraînement ★★

  1. yp(x)=6xy_p(x) = 6x est solution de y′=5y+f(x)y' = 5y + f(x). Quelle est la forme de toutes les solutions ?
    1. Ce5x+6xC\mathrm{e}^{ 5x } + 6x
    2. Ce5x×6xC\mathrm{e}^{ 5x } \times 6x
    3. 6x6x uniquement
  2. yp(x)=5xy_p(x) = 5x est solution de y′=2y+f(x)y' = 2y + f(x). Quelle est la forme de toutes les solutions ?
    1. Ce2x+5xC\mathrm{e}^{ 2x } + 5x
    2. Ce2x×5xC\mathrm{e}^{ 2x } \times 5x
    3. 5x5x uniquement
  1. yp(x)=3xy_p(x) = 3x est solution de y′=y+f(x)y' = y + f(x). Quelle est la valeur de f(0)f(0) ?
  1. Les solutions sont y=Ce3x+2xy = C\mathrm{e}^{ 3x } + 2x. Pour y(0)=2y(0) = 2, que vaut CC ?

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. Les solutions d'une équation différentielle sont y=Ce5x+3x+2y = C\mathrm{e}^{ 5x } + 3x + 2. Quelle valeur de CC correspond à la condition y(0)=4y(0) = 4 ?
  2. Les solutions d'une équation différentielle sont y=Ce5x+6x+6y = C\mathrm{e}^{ 5x } + 6x + 6. Quelle valeur de CC correspond à la condition y(0)=8y(0) = 8 ?
  3. Les solutions d'une équation différentielle sont y=Ce3x+4x+4y = C\mathrm{e}^{ 3x } + 4x + 4. Quelle valeur de CC correspond à la condition y(0)=6y(0) = 6 ?

Fiche résumé

y′=ay+fy' = ay + f

Solutions : Ceax+yp(x)C\mathrm{e}^{ax} + y_p(x), avec ypy_p une solution particulière donnée.

Attention : la constante CC se calcule sur la solution complète.

Corrigé: Primitives et équations différentielles

1. Primitives

A

  1. x4+9xx^{4} + 9 x
  2. 2x33+8x\frac{2 x^{3}}{3} + 8 x
  3. x5+6xx^{5} + 6 x

B

  1. ex+sin⁡(x)+5e^{x} + \sin{\left(x \right)} + 5
  2. ex+sin⁡(x)+3e^{x} + \sin{\left(x \right)} + 3

C

  1. ln⁡(x)−9\ln{\left(x \right)} - 9
  2. ln⁡(x)+8\ln{\left(x \right)} + 8

D

  1. x4+9xx^{4} + 9 x
  2. 2x33+8x\frac{2 x^{3}}{3} + 8 x
  3. x5+6xx^{5} + 6 x

2. Reconnaître une dérivée composée pour trouver une primitive

A

  1. (2x+2)612\frac{\left(2 x + 2\right)^{6}}{12}
  2. (3x+1)618\frac{\left(3 x + 1\right)^{6}}{18}
  3. (6x+1)318\frac{\left(6 x + 1\right)^{3}}{18}

B

  1. e4x4\frac{e^{4 x}}{4}
  2. e3x3\frac{e^{3 x}}{3}

C

  1. ln⁡(x2+8)−ln⁡(8)\ln{\left(x^{2} + 8 \right)} - \ln{\left(8 \right)}
  2. ln⁡(x2+9)−ln⁡(9)\ln{\left(x^{2} + 9 \right)} - \ln{\left(9 \right)}

D

  1. sin⁡(5x)5\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{5}

E

  1. (2x+2)612\frac{\left(2 x + 2\right)^{6}}{12}
  2. (3x+1)618\frac{\left(3 x + 1\right)^{6}}{18}
  3. (6x+1)318\frac{\left(6 x + 1\right)^{3}}{18}

3. Équations différentielles : solutions et équilibres

A

  1. y=3e5xy = 3\mathrm{e}^{ 5x}
  2. y=3e6xy = 3\mathrm{e}^{ 6x}

B

  1. 33
  2. 22

C

  1. 33
  2. 66

D

  1. 33
  2. 22
  3. 11

4. Équation différentielle y' = ay

A

  1. 9e6x9 e^{6 x}
  2. 4e5x4 e^{5 x}
  3. 2e4x2 e^{4 x}

B

  1. 7e−5x7 e^{- 5 x}
  2. 3e−2x3 e^{- 2 x}

C

  1. y=Ce6xy = C\mathrm{e}^{ 6x }, CC réel

D

  1. 7e7 e

E

  1. 9e6x9 e^{6 x}
  2. 4e5x4 e^{5 x}
  3. 2e4x2 e^{4 x}

5. Équation différentielle y' = ay + b

A

  1. 44
  2. 66
  3. 33

B

  1. 5e5x+35 e^{5 x} + 3
  2. 2e4x+52 e^{4 x} + 5
  3. 3e2x+53 e^{2 x} + 5

C

  1. 3+4e−5x3 + 4 e^{- 5 x}

D

  1. 44

E

  1. y=5y = 5

F

  1. 44
  2. 66
  3. 33

6. Équation différentielle y' = ay + f

A

  1. 22
  2. 22
  3. 22

B

  1. Ce5x+6xC\mathrm{e}^{ 5x } + 6x
  2. Ce2x+5xC\mathrm{e}^{ 2x } + 5x

C

  1. 33

D

  1. 22

E

  1. 22
  2. 22
  3. 22