Échantillon d'une loi : somme Sₙ et moyenne Mₙ

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

Une variable $X$ a pour écart type $\sigma$ . On fait la moyenne de 100 répétitions indépendantes de $X$ . Cette moyenne est-elle plus ou moins dispersée que $X$ ?

Moins
Autant

L'idée clé

Un échantillon de taille $n$ de la loi de $X$ est une liste $X_1, \dots, X_n$ de variables indépendantes de même loi que $X$ .

Pour $S_n = X_1 + \dots + X_n$ : $E(S_n) = nE(X)$ et $V(S_n) = nV(X)$ .

Pour $M_n = \dfrac{S_n}{n}$ : $E(M_n) = E(X)$ , $V(M_n) = \dfrac{V(X)}{n}$ et $\sigma(M_n) = \dfrac{\sigma(X)}{\sqrt{n}}$ .

Exemple corrigé

$E(X) = 3$ , $V(X) = 16$ . Avec un échantillon de taille $n = 4$ , calcule $E(M_4)$ et $\sigma(M_4)$ .

E(M_4) = 3

La moyenne garde l'espérance.

\sigma(M_4) = 2

V(M₄) = 16/4 = 4.

À toi, guidé

À toi : $V(X) = 5$ . Calcule $V(S_{10})$ .

50

10 × 5.

Entraînement ★

$X$ a pour espérance 7. Calcule $E(S_{ 2 })$ pour un échantillon de taille 2.
$X$ a pour espérance 2. Calcule $E(S_{ 6 })$ pour un échantillon de taille 6.
$X$ a pour espérance 6. Calcule $E(S_{ 20 })$ pour un échantillon de taille 20.

Attention !

Entraînement ★★

$V(X) = 5$ . Calcule $V(M_{ 9 })$ pour un échantillon de taille 9.
$V(X) = 4$ . Calcule $V(M_{ 12 })$ pour un échantillon de taille 12.

Problème final. $E(X) = 3$ , $\sigma(X) = 1$ et on prend un échantillon de taille $n = 25$ .

$V(X) = 4$ . Calcule $V(S_{ 4 })$ pour un échantillon de taille 4.

$E(X) = 8$ . Calcule $E(M_{ 2 })$ pour un échantillon de taille 2.

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

$X$ a pour espérance 7. Calcule $E(S_{ 2 })$ pour un échantillon de taille 2.
$X$ a pour espérance 2. Calcule $E(S_{ 6 })$ pour un échantillon de taille 6.
$X$ a pour espérance 6. Calcule $E(S_{ 20 })$ pour un échantillon de taille 20.

Fiche résumé

Échantillon

$E(S_n) = nE(X)$ et $V(S_n) = nV(X)$ .
$E(M_n) = E(X)$ et $V(M_n) = \dfrac{V(X)}{n}$ .

Attention : $\sigma$ est divisé par $\sqrt{n}$ , pas par $n$ .

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