Sommes de variables aléatoires

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Toutes les leçons du chapitre, prêtes pour le papier. Les séries d'exercices sont notées A, B, C… et corrigées à la fin.

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1. Combiner des variables aléatoires

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

Deux dés indépendants ont chacun un écart type d'environ 1,71{,}7. L'écart type de leur somme vaut-il environ 3,43{,}4 ?

  1. Non, moins : environ 2,42{,}4
  2. Oui

L'idée clé

L'espérance est toujours linéaire ; les variances s'additionnent quand les variables sont indépendantes.

E(X+Y)=E(X)+E(Y)E(X + Y) = E(X) + E(Y) et E(aX+b)=aE(X)+bE(aX + b) = aE(X) + b.

V(aX+b)=a2V(X)V(aX + b) = a^2V(X), donc σ(aX+b)=∣a∣σ(X)\sigma(aX + b) = |a|\sigma(X).

Si XX et YY sont indépendantes, V(X+Y)=V(X)+V(Y)V(X + Y) = V(X) + V(Y), et V(X−Y)=V(X)+V(Y)V(X - Y) = V(X) + V(Y) aussi.

Exemple corrigé

Trajet du matin : espérance 20 min, écart type 3 min ; du soir : espérance 25 min, écart type 4 min. Ils sont indépendants.

E(T)=45E(T) = 45
L'espérance est linéaire.
V(T)=9+16=25V(T) = 9 + 16 = 25
Les variances s'additionnent.
σ(T)=5\sigma(T) = 5
Racine carrée.

À toi, guidé

À toi : σ(X)=6\sigma(X) = 6, σ(Y)=8\sigma(Y) = 8, indépendantes. Calcule σ(X−Y)\sigma(X - Y).

1010
√(36 + 64).

Entraînement ★

  1. XX et YY sont indépendantes, avec σ(X)=27\sigma(X) = 27 et σ(Y)=36\sigma(Y) = 36. Calcule σ(X+Y)\sigma(X + Y).
  2. XX et YY sont indépendantes, avec σ(X)=18\sigma(X) = 18 et σ(Y)=24\sigma(Y) = 24. Calcule σ(X+Y)\sigma(X + Y).
  1. σ(X)=8\sigma(X) = 8. On pose Y=12+5XY = 12 + 5X. Calcule σ(Y)\sigma(Y).

Attention !

Entraînement ★★

  1. XX et YY sont indépendantes, avec σ(X)=24\sigma(X) = 24 et σ(Y)=10\sigma(Y) = 10. Calcule σ(X−Y)\sigma(X - Y).
  2. XX et YY sont indépendantes, avec σ(X)=72\sigma(X) = 72 et σ(Y)=30\sigma(Y) = 30. Calcule σ(X−Y)\sigma(X - Y).

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. XX et YY sont indépendantes, avec σ(X)=27\sigma(X) = 27 et σ(Y)=36\sigma(Y) = 36. Calcule σ(X+Y)\sigma(X + Y).
  2. XX et YY sont indépendantes, avec σ(X)=18\sigma(X) = 18 et σ(Y)=24\sigma(Y) = 24. Calcule σ(X+Y)\sigma(X + Y).
  3. XX et YY sont indépendantes, avec σ(X)=12\sigma(X) = 12 et σ(Y)=16\sigma(Y) = 16. Calcule σ(X+Y)\sigma(X + Y).

Fiche résumé

Somme de variables aléatoires

  • Espérance : toujours linéaire.
  • Indépendantes : les variances s'additionnent, pour une somme comme pour une différence.

Attention : n'additionne jamais directement les écarts types.

2. Échantillon d'une loi : somme Sₙ et moyenne Mₙ

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

Une variable XX a pour écart type σ\sigma. On fait la moyenne de 100 répétitions indépendantes de XX. Cette moyenne est-elle plus ou moins dispersée que XX ?

  1. Moins
  2. Autant

L'idée clé

Un échantillon de taille nn de la loi de XX est une liste X1,…,XnX_1, \dots, X_n de variables indépendantes de même loi que XX.

Pour Sn=X1+⋯+XnS_n = X_1 + \dots + X_n : E(Sn)=nE(X)E(S_n) = nE(X) et V(Sn)=nV(X)V(S_n) = nV(X).

Pour Mn=SnnM_n = \dfrac{S_n}{n} : E(Mn)=E(X)E(M_n) = E(X), V(Mn)=V(X)nV(M_n) = \dfrac{V(X)}{n} et σ(Mn)=σ(X)n\sigma(M_n) = \dfrac{\sigma(X)}{\sqrt{n}}.

Exemple corrigé

E(X)=3E(X) = 3, V(X)=16V(X) = 16. Avec un échantillon de taille n=4n = 4, calcule E(M4)E(M_4) et σ(M4)\sigma(M_4).

E(M4)=3E(M_4) = 3
La moyenne garde l'espérance.
σ(M4)=2\sigma(M_4) = 2
V(M₄) = 16/4 = 4.

À toi, guidé

À toi : V(X)=5V(X) = 5. Calcule V(S10)V(S_{10}).

5050
10 × 5.

Entraînement ★

  1. XX a pour espérance 7. Calcule E(S2)E(S_{ 2 }) pour un échantillon de taille 2.
  2. XX a pour espérance 2. Calcule E(S6)E(S_{ 6 }) pour un échantillon de taille 6.
  3. XX a pour espérance 6. Calcule E(S20)E(S_{ 20 }) pour un échantillon de taille 20.

Attention !

Entraînement ★★

  1. V(X)=5V(X) = 5. Calcule V(M9)V(M_{ 9 }) pour un échantillon de taille 9.
  2. V(X)=4V(X) = 4. Calcule V(M12)V(M_{ 12 }) pour un échantillon de taille 12.
  1. Problème final. E(X)=3E(X) = 3, σ(X)=1\sigma(X) = 1 et on prend un échantillon de taille n=25n = 25.
  1. V(X)=4V(X) = 4. Calcule V(S4)V(S_{ 4 }) pour un échantillon de taille 4.
  1. E(X)=8E(X) = 8. Calcule E(M2)E(M_{ 2 }) pour un échantillon de taille 2.

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. XX a pour espérance 7. Calcule E(S2)E(S_{ 2 }) pour un échantillon de taille 2.
  2. XX a pour espérance 2. Calcule E(S6)E(S_{ 6 }) pour un échantillon de taille 6.
  3. XX a pour espérance 6. Calcule E(S20)E(S_{ 20 }) pour un échantillon de taille 20.

Fiche résumé

Échantillon

  • E(Sn)=nE(X)E(S_n) = nE(X) et V(Sn)=nV(X)V(S_n) = nV(X).
  • E(Mn)=E(X)E(M_n) = E(X) et V(Mn)=V(X)nV(M_n) = \dfrac{V(X)}{n}.

Attention : σ\sigma est divisé par n\sqrt{n}, pas par nn.

Corrigé: Sommes de variables aléatoires

1. Combiner des variables aléatoires

A

  1. 4545
  2. 3030

B

  1. 4040

C

  1. 2626
  2. 7878

D

  1. 4545
  2. 3030
  3. 2020

2. Échantillon d'une loi : somme Sₙ et moyenne Mₙ

A

  1. 1414
  2. 1212
  3. 120120

B

  1. 59\frac{5}{9}
  2. 13\frac{1}{3}

C

  1. 15\frac{1}{5}

D

  1. 1616

E

  1. 88

F

  1. 1414
  2. 1212
  3. 120120