Comparaison et théorème des gendarmes

À propos de cette leçon

Terminale, spécialité › Suites

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Comparaison et théorème des gendarmes

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

On a −1n≤(−1)nn≤1n\dfrac{-1}{n} \leq \dfrac{(-1)^n}{n} \leq \dfrac{1}{n}. Vers quoi tend (−1)nn\dfrac{(-1)^n}{n} ?

  1. Vers 0
  2. Elle n'a pas de limite, car elle change de signe

L'idée clé

On peut trouver une limite sans la calculer, en encadrant la suite.

Théorème des gendarmes : si vn≤un≤wnv_n \leq u_n \leq w_n à partir d'un certain rang, et si (vn)(v_n) et (wn)(w_n) convergent vers le même réel ℓ\ell, alors (un)(u_n) converge vers ℓ\ell.

Comparaison : si un≥vnu_n \geq v_n et vn→+∞v_n \to +\infty, alors un→+∞u_n \to +\infty.

Exemple corrigé

Trouve la limite de un=cos⁡nnu_n = \dfrac{\cos n}{n} pour n≥1n \geq 1.

−1≤cos⁡n≤1-1 \leq \cos n \leq 1
Pour tout n, cos n est entre −1 et 1.
−1n≤un≤1n-\dfrac{1}{n} \leq u_n \leq \dfrac{1}{n}
On divise par n > 0.
lim⁡n→+∞un=0\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = 0
Les deux bornes tendent vers 0 : gendarmes.

À toi, guidé

À toi : 3−1n≤un≤3+1n3 - \dfrac{1}{n} \leq u_n \leq 3 + \dfrac{1}{n}. Quelle est la limite de unu_n ?

Les deux bornes ont la même limite.
1/n tend vers 0 : les deux bornes tendent vers le même réel.
La limite est 33
Théorème des gendarmes.

Entraînement ★

  1. Pour tout n≥1n \geq 1, on a −4−5n≤un≤−4+5n-4 - \dfrac{ 5 }{n} \leq u_n \leq -4 + \dfrac{ 5 }{n}. Quelle est la limite de unu_n ?
  2. Pour tout n≥1n \geq 1, on a −8−6n≤un≤−8+6n-8 - \dfrac{ 6 }{n} \leq u_n \leq -8 + \dfrac{ 6 }{n}. Quelle est la limite de unu_n ?
  3. Pour tout n≥1n \geq 1, on a −8−2n≤un≤−8+2n-8 - \dfrac{ 2 }{n} \leq u_n \leq -8 + \dfrac{ 2 }{n}. Quelle est la limite de unu_n ?

Attention !

Entraînement ★★

  1. On sait que 3≤un≤5+1n3 \leq u_n \leq 5 + \dfrac{1}{n}. Que peut-on conclure sur la limite de unu_n avec le théorème des gendarmes ?
    1. Rien : les bornes ont des limites différentes
    2. Elle vaut 3
    3. Elle vaut 5
  2. On sait que 1≤un≤8+1n1 \leq u_n \leq 8 + \dfrac{1}{n}. Que peut-on conclure sur la limite de unu_n avec le théorème des gendarmes ?
    1. Rien : les bornes ont des limites différentes
    2. Elle vaut 1
    3. Elle vaut 8
  1. On sait que un≥6n−1u_n \geq 6n - 1 pour tout nn. Que vaut la limite de unu_n ?
    1. +∞+\infty
    2. 6
    3. On ne peut pas conclure
  1. Quelle est la limite de un=5+cos⁡nnu_n = 5 + \dfrac{\cos n}{n} ?

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. Pour tout n≥1n \geq 1, on a −4−5n≤un≤−4+5n-4 - \dfrac{ 5 }{n} \leq u_n \leq -4 + \dfrac{ 5 }{n}. Quelle est la limite de unu_n ?
  2. Pour tout n≥1n \geq 1, on a −8−6n≤un≤−8+6n-8 - \dfrac{ 6 }{n} \leq u_n \leq -8 + \dfrac{ 6 }{n}. Quelle est la limite de unu_n ?
  3. Pour tout n≥1n \geq 1, on a −8−2n≤un≤−8+2n-8 - \dfrac{ 2 }{n} \leq u_n \leq -8 + \dfrac{ 2 }{n}. Quelle est la limite de unu_n ?

Fiche résumé

Encadrer pour conclure

  • Gendarmes : vn≤un≤wnv_n \leq u_n \leq w_n, avec vnv_n et wnw_n de même limite ℓ\ell.
  • Comparaison : un≥vnu_n \geq v_n et vn→+∞v_n \to +\infty donnent un→+∞u_n \to +\infty.

Attention : les deux bornes doivent avoir la même limite.

Fin de la leçon

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Corrigé: Comparaison et théorème des gendarmes

A

  1. −4-4
  2. −8-8
  3. −8-8

B

  1. Rien : les bornes ont des limites différentes
  2. Rien : les bornes ont des limites différentes

C

  1. +∞+\infty

D

  1. 55

E

  1. −4-4
  2. −8-8
  3. −8-8

CC BY-SA 4.0