Suites monotones et bornées

À propos de cette leçon

Terminale, spécialité › Suites

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Suites monotones et bornées

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

Une suite est croissante, et tous ses termes sont inférieurs à 10. Que peut-on dire ?

  1. Elle converge
  2. Elle tend vers +∞+\infty

L'idée clé

Le théorème suivant, admis, garantit l'existence d'une limite sans la donner.

Toute suite croissante et majorée converge. Toute suite décroissante et minorée converge.

Une suite croissante non majorée tend vers +∞+\infty.

Exemple corrigé

Soit u0=0u_0 = 0 et un+1=12un+1u_{n+1} = \dfrac{1}{2}u_n + 1. On admet que (un)(u_n) est croissante et que un≤2u_n \leq 2. Trouve sa limite.

(un)(u_n) converge vers un réel ℓ\ell.
Croissante et majorée : le théorème dit qu'elle converge.
ℓ=12ℓ+1\ell = \dfrac{1}{2}\ell + 1
En passant à la limite dans la relation.
ℓ=2\ell = 2
On résout.

À toi, guidé

À toi : la suite un+1=0,5un+3u_{n+1} = 0{,}5u_n + 3 converge. Trouve sa limite ℓ\ell.

0,5ℓ=30{,}5\ell = 3
On pose ℓ = 0,5ℓ + 3, soit 0,5ℓ = 3.
ℓ=6\ell = 6
On divise.

Entraînement ★

  1. La suite définie par un+1=12un+2u_{n+1} = \dfrac{1}{2}u_n + 2 converge. Quelle est sa limite ?
  2. La suite définie par un+1=12un+7u_{n+1} = \dfrac{1}{2}u_n + 7 converge. Quelle est sa limite ?
  3. La suite définie par un+1=12un+5u_{n+1} = \dfrac{1}{2}u_n + 5 converge. Quelle est sa limite ?

Attention !

Entraînement ★★

  1. Une suite décroissante a tous ses termes supérieurs à 11. Que peut-on affirmer ?
    1. Elle converge vers un réel supérieur ou égal à 11
    2. Elle converge vers 11
    3. Elle tend vers −∞-\infty
  2. Une suite décroissante a tous ses termes supérieurs à 10. Que peut-on affirmer ?
    1. Elle converge vers un réel supérieur ou égal à 10
    2. Elle converge vers 10
    3. Elle tend vers −∞-\infty
  1. Problème final. Chaque jour, un organisme élimine la moitié d'un médicament présent, puis le patient en reprend 20 mg. On note unu_n la quantité (en mg) après la prise du jour nn, avec u0=0u_0 = 0 : un+1=0,5un+20u_{n+1} = 0{,}5u_n + 20.
  1. La suite un=1−1nu_n = 1 - \dfrac{1}{n} est croissante et majorée par 1. Que peut-on affirmer ?
    1. Elle converge
    2. Elle tend vers +∞+\infty
    3. Elle diverge, car elle croît
  1. Une suite est croissante et converge vers 88. Quel est le plus petit majorant possible de ses termes ?

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. La suite définie par un+1=12un+2u_{n+1} = \dfrac{1}{2}u_n + 2 converge. Quelle est sa limite ?
  2. La suite définie par un+1=12un+7u_{n+1} = \dfrac{1}{2}u_n + 7 converge. Quelle est sa limite ?
  3. La suite définie par un+1=12un+5u_{n+1} = \dfrac{1}{2}u_n + 5 converge. Quelle est sa limite ?

Fiche résumé

Suites monotones

  • Croissante et majorée, ou décroissante et minorée : elle converge.
  • Pour un+1=f(un)u_{n+1} = f(u_n) : la limite vérifie ℓ=f(ℓ)\ell = f(\ell) quand ff est continue.

Attention : un majorant n'est pas forcément la limite.

Fin de la leçon

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Corrigé: Suites monotones et bornées

A

  1. 44
  2. 1414
  3. 1010

B

  1. Elle converge vers un réel supérieur ou égal à 11
  2. Elle converge vers un réel supérieur ou égal à 10

C

  1. 4040

D

  1. Elle converge

E

  1. 88

F

  1. 44
  2. 1414
  3. 1010

CC BY-SA 4.0