Suites

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Toutes les leçons du chapitre, prêtes pour le papier. Les séries d'exercices sont notées A, B, C… et corrigées à la fin.

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1. Raisonnement par récurrence

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

On aligne des dominos. Le premier tombe, et chaque domino qui tombe fait tomber le suivant. Que se passe-t-il ?

  1. Tous les dominos tombent
  2. On ne peut rien dire

L'idée clé

Pour démontrer qu'une propriété PnP_n est vraie pour tout entier n≥n0n \geq n_0, on procède en deux temps.

Initialisation : on vérifie que Pn0P_{n_0} est vraie.

Hérédité : on suppose PnP_n vraie pour un entier n≥n0n \geq n_0 (hypothèse de récurrence), et on démontre Pn+1P_{n+1}.

Conclusion : PnP_n est vraie pour tout n≥n0n \geq n_0.

Exemple corrigé

Soit u0=1u_0 = 1 et un+1=2unu_{n+1} = 2u_n. Démontre que un=2nu_n = 2^n pour tout n∈Nn \in \mathbb{N}.

u0=1=20u_0 = 1 = 2^0 : vrai.
Initialisation : on vérifie au rang 0.
Supposons un=2nu_n = 2^n pour un entier nn.
Hérédité : on suppose la propriété au rang n.
un+1=2un=2×2n=2n+1u_{n+1} = 2u_n = 2 \times 2^n = 2^{n+1}.
On utilise la relation, puis l'hypothèse.
Donc un=2nu_n = 2^n pour tout nn.
Les deux étapes sont faites.

À toi, guidé

À toi : avec u0=3u_0 = 3 et un+1=un+2u_{n+1} = u_n + 2, on veut montrer que un=3+2nu_n = 3 + 2n. Au rang n=0n = 0, que vaut 3+2n3 + 2n ?

3+2×03 + 2 \times 0
On remplace n par 0.
33
L'initialisation est vérifiée : c'est bien u₀.

Entraînement ★

  1. Conclure pour tout nn
  2. Démontrer la propriété au rang n+1n + 1 à l'aide de l'hypothèse
  3. Supposer la propriété vraie à un rang nn
  4. Vérifier la propriété au premier rang

Attention !

Entraînement ★★

  1. Soit u0=2u_0 = 2 et un+1=6unu_{n+1} = 6u_n. On suppose que un=2×6nu_n = 2 \times 6^n pour un entier nn. Avec cette hypothèse, quelle valeur obtient-on pour un+1u_{n+1} lorsque n=2n = 2 ?
  2. Soit u0=4u_0 = 4 et un+1=4unu_{n+1} = 4u_n. On suppose que un=4×4nu_n = 4 \times 4^n pour un entier nn. Avec cette hypothèse, quelle valeur obtient-on pour un+1u_{n+1} lorsque n=2n = 2 ?
  3. Soit u0=2u_0 = 2 et un+1=4unu_{n+1} = 4u_n. On suppose que un=2×4nu_n = 2 \times 4^n pour un entier nn. Avec cette hypothèse, quelle valeur obtient-on pour un+1u_{n+1} lorsque n=2n = 2 ?
  1. Pour démontrer par récurrence que un=7nu_n = 7^n, avec u0=1u_0 = 1 et un+1=7unu_{n+1} = 7u_n, qu'écrit-on au début de l'hérédité ?
    1. Supposons que un=7nu_n = 7^n pour un certain entier nn.
    2. Supposons que un+1=7n+1u_{n+1} = 7^{n+1}.
    3. Supposons que un=7nu_n = 7^n pour tout entier nn.
    4. On vérifie que u0=1u_0 = 1.
  2. Pour démontrer par récurrence que un=5nu_n = 5^n, avec u0=1u_0 = 1 et un+1=5unu_{n+1} = 5u_n, qu'écrit-on au début de l'hérédité ?
    1. Supposons que un=5nu_n = 5^n pour un certain entier nn.
    2. Supposons que un+1=5n+1u_{n+1} = 5^{n+1}.
    3. Supposons que un=5nu_n = 5^n pour tout entier nn.
    4. On vérifie que u0=1u_0 = 1.
  1. On démontre par récurrence que 1+2+⋯+n=n(n+1)21 + 2 + \dots + n = \dfrac{n(n + 1)}{2}. Pour passer du rang 8 au rang 99, quel nombre ajoute-t-on à la somme ?
  1. Pour démontrer une propriété P(n)P(n) pour tout n≥0n \geq 0, on a prouvé : si P(n)P(n) est vraie, alors P(n+1)P(n + 1) est vraie. Que manque-t-il ?
    1. L'initialisation : prouver P(0)P(0)
    2. Rien : la démonstration est complète
    3. Vérifier P(n)P(n) pour quelques valeurs de plus

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. Pour démontrer par récurrence que un=7nu_n = 7^n, avec u0=1u_0 = 1 et un+1=7unu_{n+1} = 7u_n, qu'écrit-on au début de l'hérédité ?
    1. Supposons que un=7nu_n = 7^n pour un certain entier nn.
    2. Supposons que un+1=7n+1u_{n+1} = 7^{n+1}.
    3. Supposons que un=7nu_n = 7^n pour tout entier nn.
    4. On vérifie que u0=1u_0 = 1.
  2. Pour démontrer par récurrence que un=5nu_n = 5^n, avec u0=1u_0 = 1 et un+1=5unu_{n+1} = 5u_n, qu'écrit-on au début de l'hérédité ?
    1. Supposons que un=5nu_n = 5^n pour un certain entier nn.
    2. Supposons que un+1=5n+1u_{n+1} = 5^{n+1}.
    3. Supposons que un=5nu_n = 5^n pour tout entier nn.
    4. On vérifie que u0=1u_0 = 1.
  3. Pour démontrer par récurrence que un=3nu_n = 3^n, avec u0=1u_0 = 1 et un+1=3unu_{n+1} = 3u_n, qu'écrit-on au début de l'hérédité ?
    1. Supposons que un=3nu_n = 3^n pour un certain entier nn.
    2. Supposons que un+1=3n+1u_{n+1} = 3^{n+1}.
    3. Supposons que un=3nu_n = 3^n pour tout entier nn.
    4. On vérifie que u0=1u_0 = 1.

Fiche résumé

Récurrence

  • Initialisation : Pn0P_{n_0} est vraie.
  • Hérédité : si PnP_n est vraie, alors Pn+1P_{n+1} est vraie.

Attention : sans initialisation, il n'y a pas de démonstration, même si l'hérédité marche.

2. Limite d'une suite

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

On considère un=3+1nu_n = 3 + \dfrac{1}{n} pour n≥1n \geq 1 : u1=4u_1 = 4, u10=3,1u_{10} = 3{,}1, u100=3,01u_{100} = 3{,}01. Vers quoi semble tendre la suite ?

  1. Vers 3
  2. Vers +∞+\infty

L'idée clé

La limite décrit le comportement de unu_n quand nn devient très grand.

(un)(u_n) converge vers le réel ℓ\ell si tout intervalle ouvert contenant ℓ\ell contient tous les unu_n à partir d'un certain rang.

(un)(u_n) tend vers +∞+\infty si tout intervalle [A;+∞[[A ; +\infty[ contient tous les unu_n à partir d'un certain rang.

Limites de référence : 1n\dfrac{1}{n}, 1n2\dfrac{1}{n^2}, 1n\dfrac{1}{\sqrt{n}} tendent vers 00 ; nn, n2n^2, n\sqrt{n} tendent vers +∞+\infty.

Exemple corrigé

Soit un=n2u_n = n^2. À partir de quel rang a-t-on un≥10 000u_n \geq 10\,000 ?

n2≥10 000  ⟺  n≥100n^2 \geq 10\,000 \iff n \geq 100
On résout l'inéquation pour n positif.
Dès le rang 100100, un∈[10 000;+∞[u_n \in [10\,000 ; +\infty[.
Tous les termes suivants restent au-dessus : c'est ce que dit la limite +∞.

À toi, guidé

À toi : un=5−2nu_n = 5 - \dfrac{2}{n}. Quelle est la limite de unu_n ?

2n→0\dfrac{2}{n} \to 0
2/n tend vers 0.
lim⁡n→+∞un=5\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = 5
Il reste 5.

Entraînement ★

  1. Quelle est la limite de la suite un=−4+6nu_n = -4 + \dfrac{ 6 }{n} quand nn tend vers +∞+\infty ?
  2. Quelle est la limite de la suite un=3+4nu_n = 3 + \dfrac{ 4 }{n} quand nn tend vers +∞+\infty ?
  3. Quelle est la limite de la suite un=−5+5nu_n = -5 + \dfrac{ 5 }{n} quand nn tend vers +∞+\infty ?

Attention !

Entraînement ★★

  1. Soit un=n2u_n = n^2. Quel est le plus petit entier nn tel que un≥6400u_n \geq 6400 ?
  2. Soit un=n2u_n = n^2. Quel est le plus petit entier nn tel que un≥1600u_n \geq 1600 ?
  1. La suite un=5−1nu_n = 5 - \dfrac{1}{n} est croissante. Que peut-on dire de sa limite ?
    1. Elle converge vers 5
    2. Elle tend vers +∞+\infty, car elle est croissante
    3. Elle converge vers 0
  2. La suite un=6−1nu_n = 6 - \dfrac{1}{n} est croissante. Que peut-on dire de sa limite ?
    1. Elle converge vers 6
    2. Elle tend vers +∞+\infty, car elle est croissante
    3. Elle converge vers 0
  1. Quelle est la limite de la suite un=4n−1u_n = 4n - 1 ?
    1. +∞+\infty
    2. 44
    3. Elle n'a pas de limite

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. Quelle est la limite de la suite un=−4+6nu_n = -4 + \dfrac{ 6 }{n} quand nn tend vers +∞+\infty ?
  2. Quelle est la limite de la suite un=3+4nu_n = 3 + \dfrac{ 4 }{n} quand nn tend vers +∞+\infty ?
  3. Quelle est la limite de la suite un=−5+5nu_n = -5 + \dfrac{ 5 }{n} quand nn tend vers +∞+\infty ?

Fiche résumé

Limite d'une suite

  • Convergente : les termes se rapprochent d'un réel ℓ\ell.
  • Limite +∞+\infty : les termes dépassent tout nombre AA, et restent au-dessus.

Attention : croissante ne veut pas dire « tend vers +∞+\infty ».

3. Opérations sur les limites de suites

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

Si un→+∞u_n \to +\infty et vn→+∞v_n \to +\infty, peut-on dire que un−vn→0u_n - v_n \to 0 ? Teste avec un=2nu_n = 2n et vn=nv_n = n.

  1. Non, on ne peut pas conclure
  2. Oui

L'idée clé

Les limites se combinent, sauf dans quatre cas.

Si les limites sont finies, on additionne, on multiplie et on divise (sans diviser par 0). Et ℓ+∞=∞\ell + \infty = \infty ; ℓ×∞=±∞\ell \times \infty = \pm\infty si ℓ≠0\ell \neq 0 ; ℓ∞=0\dfrac{\ell}{\infty} = 0.

Formes indéterminées : ∞−∞\infty - \infty, 0×∞0 \times \infty, ∞∞\dfrac{\infty}{\infty}, 00\dfrac{0}{0}. On transforme alors l'écriture, en général en factorisant le terme prépondérant.

Exemple corrigé

Trouve la limite de un=n2−3nu_n = n^2 - 3n.

On factorise par n2n^2 : un=n2(1−3n)u_n = n^2\left(1 - \dfrac{3}{n}\right)
n² − 3n donne ∞ − ∞ : forme indéterminée.
1−3n→11 - \dfrac{3}{n} \to 1
La parenthèse tend vers 1.
lim⁡n→+∞un=+∞\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty
+∞ × 1.

À toi, guidé

À toi : limite de un=4n+12n+3u_n = \dfrac{4n + 1}{2n + 3}.

un=4+1n2+3nu_n = \dfrac{4 + \frac{1}{n}}{2 + \frac{3}{n}}
On factorise par n en haut et en bas.
La limite est 22
4 ÷ 2.

Entraînement ★

  1. Quelle est la limite de la suite un=9n+73n+6u_n = \dfrac{ 9n + 7 }{ 3n + 6 } ?
  2. Quelle est la limite de la suite un=2n+73n+6u_n = \dfrac{ 2n + 7 }{ 3n + 6 } ?
  3. Quelle est la limite de la suite un=2n+16n+4u_n = \dfrac{ 2n + 1 }{ 6n + 4 } ?

Attention !

Entraînement ★★

  1. Laquelle de ces limites est une forme indéterminée si on l'écrit directement ?
    1. n2−6nn^2 - 6n
    2. n2+6nn^2 + 6n
    3. 6n2\dfrac{ 6 }{n^2}
  2. Laquelle de ces limites est une forme indéterminée si on l'écrit directement ?
    1. n2−2nn^2 - 2n
    2. n2+2nn^2 + 2n
    3. 2n2\dfrac{ 2 }{n^2}
  1. On sait que un→2u_n \to 2 et vn→8v_n \to 8. Quelle est la limite de 4un−vn4u_n - v_n ?
  2. On sait que un→4u_n \to 4 et vn→6v_n \to 6. Quelle est la limite de 6un−vn6u_n - v_n ?
  1. Quelle est la limite de un=5n2+n6n2+1u_n = \dfrac{ 5n^2 + n }{ 6n^2 + 1 } ?

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. Quelle est la limite de la suite un=9n+73n+6u_n = \dfrac{ 9n + 7 }{ 3n + 6 } ?
  2. Quelle est la limite de la suite un=2n+73n+6u_n = \dfrac{ 2n + 7 }{ 3n + 6 } ?
  3. Quelle est la limite de la suite un=2n+16n+4u_n = \dfrac{ 2n + 1 }{ 6n + 4 } ?

Fiche résumé

Opérations sur les limites

  • On combine les limites, sauf les formes indéterminées.
  • Formes indéterminées : ∞−∞\infty - \infty, 0×∞0 \times \infty, ∞∞\dfrac{\infty}{\infty}, 00\dfrac{0}{0}.
  • Méthode : factoriser le terme prépondérant.

Attention : ∞\infty n'est pas un nombre, on ne « simplifie » pas.

4. Comparaison et théorème des gendarmes

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

On a −1n≤(−1)nn≤1n\dfrac{-1}{n} \leq \dfrac{(-1)^n}{n} \leq \dfrac{1}{n}. Vers quoi tend (−1)nn\dfrac{(-1)^n}{n} ?

  1. Vers 0
  2. Elle n'a pas de limite, car elle change de signe

L'idée clé

On peut trouver une limite sans la calculer, en encadrant la suite.

Théorème des gendarmes : si vn≤un≤wnv_n \leq u_n \leq w_n à partir d'un certain rang, et si (vn)(v_n) et (wn)(w_n) convergent vers le même réel ℓ\ell, alors (un)(u_n) converge vers ℓ\ell.

Comparaison : si un≥vnu_n \geq v_n et vn→+∞v_n \to +\infty, alors un→+∞u_n \to +\infty.

Exemple corrigé

Trouve la limite de un=cos⁡nnu_n = \dfrac{\cos n}{n} pour n≥1n \geq 1.

−1≤cos⁡n≤1-1 \leq \cos n \leq 1
Pour tout n, cos n est entre −1 et 1.
−1n≤un≤1n-\dfrac{1}{n} \leq u_n \leq \dfrac{1}{n}
On divise par n > 0.
lim⁡n→+∞un=0\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = 0
Les deux bornes tendent vers 0 : gendarmes.

À toi, guidé

À toi : 3−1n≤un≤3+1n3 - \dfrac{1}{n} \leq u_n \leq 3 + \dfrac{1}{n}. Quelle est la limite de unu_n ?

Les deux bornes ont la même limite.
1/n tend vers 0 : les deux bornes tendent vers le même réel.
La limite est 33
Théorème des gendarmes.

Entraînement ★

  1. Pour tout n≥1n \geq 1, on a −4−5n≤un≤−4+5n-4 - \dfrac{ 5 }{n} \leq u_n \leq -4 + \dfrac{ 5 }{n}. Quelle est la limite de unu_n ?
  2. Pour tout n≥1n \geq 1, on a −8−6n≤un≤−8+6n-8 - \dfrac{ 6 }{n} \leq u_n \leq -8 + \dfrac{ 6 }{n}. Quelle est la limite de unu_n ?
  3. Pour tout n≥1n \geq 1, on a −8−2n≤un≤−8+2n-8 - \dfrac{ 2 }{n} \leq u_n \leq -8 + \dfrac{ 2 }{n}. Quelle est la limite de unu_n ?

Attention !

Entraînement ★★

  1. On sait que 3≤un≤5+1n3 \leq u_n \leq 5 + \dfrac{1}{n}. Que peut-on conclure sur la limite de unu_n avec le théorème des gendarmes ?
    1. Rien : les bornes ont des limites différentes
    2. Elle vaut 3
    3. Elle vaut 5
  2. On sait que 1≤un≤8+1n1 \leq u_n \leq 8 + \dfrac{1}{n}. Que peut-on conclure sur la limite de unu_n avec le théorème des gendarmes ?
    1. Rien : les bornes ont des limites différentes
    2. Elle vaut 1
    3. Elle vaut 8
  1. On sait que un≥6n−1u_n \geq 6n - 1 pour tout nn. Que vaut la limite de unu_n ?
    1. +∞+\infty
    2. 6
    3. On ne peut pas conclure
  1. Quelle est la limite de un=5+cos⁡nnu_n = 5 + \dfrac{\cos n}{n} ?

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. Pour tout n≥1n \geq 1, on a −4−5n≤un≤−4+5n-4 - \dfrac{ 5 }{n} \leq u_n \leq -4 + \dfrac{ 5 }{n}. Quelle est la limite de unu_n ?
  2. Pour tout n≥1n \geq 1, on a −8−6n≤un≤−8+6n-8 - \dfrac{ 6 }{n} \leq u_n \leq -8 + \dfrac{ 6 }{n}. Quelle est la limite de unu_n ?
  3. Pour tout n≥1n \geq 1, on a −8−2n≤un≤−8+2n-8 - \dfrac{ 2 }{n} \leq u_n \leq -8 + \dfrac{ 2 }{n}. Quelle est la limite de unu_n ?

Fiche résumé

Encadrer pour conclure

  • Gendarmes : vn≤un≤wnv_n \leq u_n \leq w_n, avec vnv_n et wnw_n de même limite ℓ\ell.
  • Comparaison : un≥vnu_n \geq v_n et vn→+∞v_n \to +\infty donnent un→+∞u_n \to +\infty.

Attention : les deux bornes doivent avoir la même limite.

5. Limite d'une suite géométrique

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

Calcule mentalement 0,520{,}5^2, 0,530{,}5^3, 0,5100{,}5^{10}. Vers quoi tend 0,5n0{,}5^n ?

  1. Vers 0
  2. Vers +∞+\infty

L'idée clé

Le comportement de qnq^n dépend uniquement de la position de qq.

  • Si q>1q > 1 : qn→+∞q^n \to +\infty.
  • Si q=1q = 1 : qn=1q^n = 1.
  • Si −1<q<1-1 < q < 1 : qn→0q^n \to 0.
  • Si q≤−1q \leq -1 : (qn)(q^n) n'a pas de limite.

Exemple corrigé

Trouve la limite de un=5×0,8n+2u_n = 5 \times 0{,}8^n + 2.

0,8n→00{,}8^n \to 0
−1 < 0,8 < 1.
lim⁡n→+∞un=2\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = 2
On multiplie par 5, puis on ajoute 2.

À toi, guidé

À toi : limite de un=7−3×0,5nu_n = 7 - 3 \times 0{,}5^n.

3×0,5n→03 \times 0{,}5^n \to 0
0,5ⁿ tend vers 0.
La limite est 77
Il reste 7.

Entraînement ★

  1. Quelle est la limite de la suite un=8×0,5n+7u_n = 8 \times 0{,}5^n + 7 ?
  2. Quelle est la limite de la suite un=5×0,9n+4u_n = 5 \times 0{,}9^n + 4 ?
  3. Quelle est la limite de la suite un=3×0,9n+1u_n = 3 \times 0{,}9^n + 1 ?

Attention !

Entraînement ★★

  1. Quelle est la limite de 9n9^n quand nn tend vers +∞+\infty ?
    1. +∞+\infty
    2. 00
    3. Elle n'a pas de limite
  2. Quelle est la limite de 2n2^n quand nn tend vers +∞+\infty ?
    1. +∞+\infty
    2. 00
    3. Elle n'a pas de limite
  3. Quelle est la limite de 5n5^n quand nn tend vers +∞+\infty ?
    1. +∞+\infty
    2. 00
    3. Elle n'a pas de limite
  1. Quelle est la limite de 19n\dfrac{1}{ 9^n } quand nn tend vers +∞+\infty ?
    1. 00
    2. 19\dfrac{1}{ 9 }
    3. +∞+\infty
  1. On pose un=(12)nu_n = \left(\dfrac{1}{2}\right)^n. Quel est le plus petit entier nn tel que un≤14u_n \leq \dfrac{1}{ 4 } ?

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. Quelle est la limite de la suite un=8×0,5n+7u_n = 8 \times 0{,}5^n + 7 ?
  2. Quelle est la limite de la suite un=5×0,9n+4u_n = 5 \times 0{,}9^n + 4 ?
  3. Quelle est la limite de la suite un=3×0,9n+1u_n = 3 \times 0{,}9^n + 1 ?

Fiche résumé

Limite de qnq^n

  • q>1q > 1 : +∞+\infty.
  • −1<q<1-1 < q < 1 : 00.
  • q≤−1q \leq -1 : pas de limite.

Attention : pour un qq négatif, regarde le signe alterné.

6. Suites monotones et bornées

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

Une suite est croissante, et tous ses termes sont inférieurs à 10. Que peut-on dire ?

  1. Elle converge
  2. Elle tend vers +∞+\infty

L'idée clé

Le théorème suivant, admis, garantit l'existence d'une limite sans la donner.

Toute suite croissante et majorée converge. Toute suite décroissante et minorée converge.

Une suite croissante non majorée tend vers +∞+\infty.

Exemple corrigé

Soit u0=0u_0 = 0 et un+1=12un+1u_{n+1} = \dfrac{1}{2}u_n + 1. On admet que (un)(u_n) est croissante et que un≤2u_n \leq 2. Trouve sa limite.

(un)(u_n) converge vers un réel ℓ\ell.
Croissante et majorée : le théorème dit qu'elle converge.
ℓ=12ℓ+1\ell = \dfrac{1}{2}\ell + 1
En passant à la limite dans la relation.
ℓ=2\ell = 2
On résout.

À toi, guidé

À toi : la suite un+1=0,5un+3u_{n+1} = 0{,}5u_n + 3 converge. Trouve sa limite ℓ\ell.

0,5ℓ=30{,}5\ell = 3
On pose ℓ = 0,5ℓ + 3, soit 0,5ℓ = 3.
ℓ=6\ell = 6
On divise.

Entraînement ★

  1. La suite définie par un+1=12un+2u_{n+1} = \dfrac{1}{2}u_n + 2 converge. Quelle est sa limite ?
  2. La suite définie par un+1=12un+7u_{n+1} = \dfrac{1}{2}u_n + 7 converge. Quelle est sa limite ?
  3. La suite définie par un+1=12un+5u_{n+1} = \dfrac{1}{2}u_n + 5 converge. Quelle est sa limite ?

Attention !

Entraînement ★★

  1. Une suite décroissante a tous ses termes supérieurs à 11. Que peut-on affirmer ?
    1. Elle converge vers un réel supérieur ou égal à 11
    2. Elle converge vers 11
    3. Elle tend vers −∞-\infty
  2. Une suite décroissante a tous ses termes supérieurs à 10. Que peut-on affirmer ?
    1. Elle converge vers un réel supérieur ou égal à 10
    2. Elle converge vers 10
    3. Elle tend vers −∞-\infty
  1. Problème final. Chaque jour, un organisme élimine la moitié d'un médicament présent, puis le patient en reprend 20 mg. On note unu_n la quantité (en mg) après la prise du jour nn, avec u0=0u_0 = 0 : un+1=0,5un+20u_{n+1} = 0{,}5u_n + 20.
  1. La suite un=1−1nu_n = 1 - \dfrac{1}{n} est croissante et majorée par 1. Que peut-on affirmer ?
    1. Elle converge
    2. Elle tend vers +∞+\infty
    3. Elle diverge, car elle croît
  1. Une suite est croissante et converge vers 88. Quel est le plus petit majorant possible de ses termes ?

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. La suite définie par un+1=12un+2u_{n+1} = \dfrac{1}{2}u_n + 2 converge. Quelle est sa limite ?
  2. La suite définie par un+1=12un+7u_{n+1} = \dfrac{1}{2}u_n + 7 converge. Quelle est sa limite ?
  3. La suite définie par un+1=12un+5u_{n+1} = \dfrac{1}{2}u_n + 5 converge. Quelle est sa limite ?

Fiche résumé

Suites monotones

  • Croissante et majorée, ou décroissante et minorée : elle converge.
  • Pour un+1=f(un)u_{n+1} = f(u_n) : la limite vérifie ℓ=f(ℓ)\ell = f(\ell) quand ff est continue.

Attention : un majorant n'est pas forcément la limite.

Corrigé: Suites

1. Raisonnement par récurrence

A

  1. 432432
  2. 256256
  3. 128128

B

  1. Supposons que un=7nu_n = 7^n pour un certain entier nn.
  2. Supposons que un=5nu_n = 5^n pour un certain entier nn.

C

  1. 99

D

  1. L'initialisation : prouver P(0)P(0)

E

  1. Supposons que un=7nu_n = 7^n pour un certain entier nn.
  2. Supposons que un=5nu_n = 5^n pour un certain entier nn.
  3. Supposons que un=3nu_n = 3^n pour un certain entier nn.

2. Limite d'une suite

A

  1. −4-4
  2. 33
  3. −5-5

B

  1. 8080
  2. 4040

C

  1. Elle converge vers 5
  2. Elle converge vers 6

D

  1. +∞+\infty

E

  1. −4-4
  2. 33
  3. −5-5

3. Opérations sur les limites de suites

A

  1. 33
  2. 23\frac{2}{3}
  3. 13\frac{1}{3}

B

  1. n2−6nn^2 - 6n
  2. n2−2nn^2 - 2n

C

  1. 00
  2. 1818

D

  1. 56\frac{5}{6}

E

  1. 33
  2. 23\frac{2}{3}
  3. 13\frac{1}{3}

4. Comparaison et théorème des gendarmes

A

  1. −4-4
  2. −8-8
  3. −8-8

B

  1. Rien : les bornes ont des limites différentes
  2. Rien : les bornes ont des limites différentes

C

  1. +∞+\infty

D

  1. 55

E

  1. −4-4
  2. −8-8
  3. −8-8

5. Limite d'une suite géométrique

A

  1. 77
  2. 44
  3. 11

B

  1. +∞+\infty
  2. +∞+\infty
  3. +∞+\infty

C

  1. 00

D

  1. 22

E

  1. 77
  2. 44
  3. 11

6. Suites monotones et bornées

A

  1. 44
  2. 1414
  3. 1010

B

  1. Elle converge vers un réel supérieur ou égal à 11
  2. Elle converge vers un réel supérieur ou égal à 10

C

  1. 4040

D

  1. Elle converge

E

  1. 88

F

  1. 44
  2. 1414
  3. 1010