Équations cos x = a et étude de fonctions trigonométriques

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Sur $[-\pi ; \pi]$ , combien de solutions l'équation $\cos x = \dfrac{1}{2}$ a-t-elle ?

Pour résoudre, on lit le cercle trigonométrique.

Sur $[-\pi ; \pi]$ , si $\cos \alpha = a$ avec $\alpha \in [0 ; \pi]$ , alors $\cos x = a$ a pour solutions $x = \alpha$ et $x = -\alpha$ .

Et $\cos x \geq a \iff -\alpha \leq x \leq \alpha$ .

Résous $\cos x \leq \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ sur $[-\pi ; \pi]$ .

\alpha = \dfrac{\pi}{4}

cos(π/4) = √2/2.

\cos x \geq \dfrac{\sqrt{2}}{2}

sur

\left[-\dfrac{\pi}{4} ; \dfrac{\pi}{4}\right]

Le cosinus est au-dessus de √2/2 entre −π/4 et π/4.

\left[-\pi ; -\dfrac{\pi}{4}\right] \cup \left[\dfrac{\pi}{4} ; \pi\right]

On veut le contraire, bornes comprises.

À toi : $f(x) = x + \cos x$ . Que vaut $f'(0)$ ?

f'(0) = 1 - \sin 0

f'(x) = 1 − sin x.

1

sin 0 = 0.

Combien de solutions l'équation $\cos x = \cos\dfrac{\pi}{ 2 }$ a-t-elle sur $[-\pi ; \pi]$ ?
1. Deux
2. Une
3. Une infinité
Combien de solutions l'équation $\cos x = \cos\dfrac{\pi}{ 4 }$ a-t-elle sur $[-\pi ; \pi]$ ?
1. Deux
2. Une
3. Une infinité
Combien de solutions l'équation $\cos x = \cos\dfrac{\pi}{ 3 }$ a-t-elle sur $[-\pi ; \pi]$ ?
1. Deux
2. Une
3. Une infinité

Sur $[0 ; \pi]$ , comment varie $\cos$ ?
1. Elle est décroissante
2. Elle est croissante
3. Elle croît puis décroît

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

Équations trigonométriques

Attention : il y a en général deux solutions.

À propos de cette leçon