Fonctions sinus et cosinus

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Toutes les leçons du chapitre, prêtes pour le papier. Les séries d'exercices sont notées A, B, C… et corrigées à la fin.

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1. Fonctions sinus et cosinus : parité, périodicité, courbes

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

Sur le cercle trigonométrique, les points associés à xx et à −x-x sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses. Que peut-on dire de cos⁡(−x)\cos(-x) ?

  1. cos⁡(−x)=cos⁡x\cos(-x) = \cos x
  2. cos⁡(−x)=−cos⁡x\cos(-x) = -\cos x

L'idée clé

Le cercle trigonométrique donne les symétries des deux courbes.

Périodicité : sin⁡(x+2π)=sin⁡x\sin(x + 2\pi) = \sin x et cos⁡(x+2π)=cos⁡x\cos(x + 2\pi) = \cos x. Les fonctions sont 2π2\pi-périodiques.

Parité : cos⁡(−x)=cos⁡x\cos(-x) = \cos x : cosinus est paire, sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. sin⁡(−x)=−sin⁡x\sin(-x) = -\sin x : sinus est impaire, sa courbe est symétrique par rapport à l'origine.

Exemple corrigé

Calcule sin⁡(13π6)\sin\left(\dfrac{13\pi}{6}\right).

13π6=π6+2π\dfrac{13\pi}{6} = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi
13π/6 = π/6 + 2π.
sin⁡(13π6)=sin⁡π6\sin\left(\dfrac{13\pi}{6}\right) = \sin\dfrac{\pi}{6}
Le sinus est 2π-périodique.
sin⁡(13π6)=12\sin\left(\dfrac{13\pi}{6}\right) = \dfrac{1}{2}
Valeur remarquable.

À toi, guidé

À toi : on sait que sin⁡π2=1\sin\dfrac{\pi}{2} = 1. Que vaut sin⁡(−π2)\sin\left(-\dfrac{\pi}{2}\right) ?

−1-1
Le sinus est impair.

Entraînement ★

  1. On sait que sin⁡a=0,9\sin a = 0{,}9. Que vaut sin⁡(a+2π)+sin⁡(−a)\sin(a + 2\pi) + \sin(-a) ?
  2. On sait que sin⁡a=0,4\sin a = 0{,}4. Que vaut sin⁡(a+2π)+sin⁡(−a)\sin(a + 2\pi) + \sin(-a) ?
  3. On sait que sin⁡a=0,8\sin a = 0{,}8. Que vaut sin⁡(a+2π)+sin⁡(−a)\sin(a + 2\pi) + \sin(-a) ?

Attention !

Entraînement ★★

  1. La fonction f(x)=3cos⁡xf(x) = 3\cos x est-elle paire, impaire ou ni l'une ni l'autre ?
    1. Paire
    2. Impaire
    3. Ni l'une ni l'autre
  2. La fonction f(x)=6cos⁡xf(x) = 6\cos x est-elle paire, impaire ou ni l'une ni l'autre ?
    1. Paire
    2. Impaire
    3. Ni l'une ni l'autre
  3. La fonction f(x)=8cos⁡xf(x) = 8\cos x est-elle paire, impaire ou ni l'une ni l'autre ?
    1. Paire
    2. Impaire
    3. Ni l'une ni l'autre
  1. On sait que cos⁡x=0,1\cos x = 0{,}1. Que vaut cos⁡(x+2π)\cos(x + 2\pi) ?
  1. On sait que cos⁡a=0,2\cos a = 0{,}2. Que vaut cos⁡(−a)\cos(-a) ?

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. La fonction f(x)=3cos⁡xf(x) = 3\cos x est-elle paire, impaire ou ni l'une ni l'autre ?
    1. Paire
    2. Impaire
    3. Ni l'une ni l'autre
  2. La fonction f(x)=6cos⁡xf(x) = 6\cos x est-elle paire, impaire ou ni l'une ni l'autre ?
    1. Paire
    2. Impaire
    3. Ni l'une ni l'autre
  3. La fonction f(x)=8cos⁡xf(x) = 8\cos x est-elle paire, impaire ou ni l'une ni l'autre ?
    1. Paire
    2. Impaire
    3. Ni l'une ni l'autre

Fiche résumé

Sinus et cosinus

  • 2π2\pi-périodiques.
  • Cosinus paire, sinus impaire.
  • Valeurs entre −1-1 et 11.

Attention : « paire » concerne −x-x, « périodique » concerne x+2πx + 2\pi.

2. Dérivées de sinus et cosinus

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

Les courbes violettes sont celles de y=sin⁡xy = \sin x et y=cos⁡xy = \cos x ; la droite bleue est la tangente à la courbe du sinus en x=ax = a. Déplace aa et compare le coefficient directeur de la tangente à la hauteur du cosinus en x=ax = a.

La courbe du sinus, celle du cosinus et la tangente à la courbe du sinus en x = a. Le coefficient directeur de la tangente est toujours égal à la hauteur du cosinus en a.

En a=π2≈1,57a = \dfrac{\pi}{2} \approx 1{,}57, le sinus est à son maximum. Quelle est la pente en ce point, et que vaut cos⁡π2\cos\dfrac{\pi}{2} ?

  1. Les deux valent 0
  2. Les deux valent 1

L'idée clé

Avec xx en radians :

sin⁡′=cos⁡\sin' = \cos et cos⁡′=−sin⁡\cos' = -\sin. Pour uu dérivable : (sin⁡u)′=u′cos⁡u(\sin u)' = u'\cos u et (cos⁡u)′=−u′sin⁡u(\cos u)' = -u'\sin u.

Exemple corrigé

f(x)=3sin⁡x−4cos⁡xf(x) = 3\sin x - 4\cos x. Calcule f′(x)f'(x).

(3sin⁡x)′=3cos⁡x(3\sin x)' = 3\cos x
sin' = cos.
(−4cos⁡x)′=4sin⁡x(-4\cos x)' = 4\sin x
cos' = −sin, et − × − = +.
f′(x)=3cos⁡x+4sin⁡xf'(x) = 3\cos x + 4\sin x
On rassemble.

À toi, guidé

À toi : f(x)=2cos⁡x+x2f(x) = 2\cos x + x^2.

f′(x)=−2sin⁡x+2xf'(x) = -2\sin x + 2x
−2 sin x et 2x.

Entraînement ★

  1. f(x)=3sin⁡x+5cos⁡xf(x) = 3\sin x + 5\cos x. Calcule f′(x)f'(x).
  2. f(x)=5sin⁡x+7cos⁡xf(x) = 5\sin x + 7\cos x. Calcule f′(x)f'(x).
  3. f(x)=5sin⁡x+9cos⁡xf(x) = 5\sin x + 9\cos x. Calcule f′(x)f'(x).

Attention !

Entraînement ★★

  1. Quel est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de y=sin⁡xy = \sin x en x=π2x = \dfrac{\pi}{ 2 } ? Donne la valeur exacte.
  2. Quel est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de y=sin⁡xy = \sin x en x=π3x = \dfrac{\pi}{ 3 } ? Donne la valeur exacte.
  1. f(x)=4x−4cos⁡xf(x) = 4x - 4\cos x. Calcule f′(x)f'(x).
  2. f(x)=4x−8cos⁡xf(x) = 4x - 8\cos x. Calcule f′(x)f'(x).

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. f(x)=3sin⁡x+5cos⁡xf(x) = 3\sin x + 5\cos x. Calcule f′(x)f'(x).
  2. f(x)=5sin⁡x+7cos⁡xf(x) = 5\sin x + 7\cos x. Calcule f′(x)f'(x).
  3. f(x)=5sin⁡x+9cos⁡xf(x) = 5\sin x + 9\cos x. Calcule f′(x)f'(x).

Fiche résumé

Dérivées de sin et de cos

  • sin⁡′=cos⁡\sin' = \cos.
  • cos⁡′=−sin⁡\cos' = -\sin.

Attention : le signe moins va avec la dérivée du cosinus ; ces formules supposent xx en radians.

3. Équations cos x = a et étude de fonctions trigonométriques

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

Sur [−π;π][-\pi ; \pi], combien de solutions l'équation cos⁡x=12\cos x = \dfrac{1}{2} a-t-elle ?

  1. Deux
  2. Une

L'idée clé

Pour résoudre, on lit le cercle trigonométrique.

Sur [−π;π][-\pi ; \pi], si cos⁡α=a\cos \alpha = a avec α∈[0;π]\alpha \in [0 ; \pi], alors cos⁡x=a\cos x = a a pour solutions x=αx = \alpha et x=−αx = -\alpha.

Et cos⁡x≥a  ⟺  −α≤x≤α\cos x \geq a \iff -\alpha \leq x \leq \alpha.

Exemple corrigé

Résous cos⁡x≤22\cos x \leq \dfrac{\sqrt{2}}{2} sur [−π;π][-\pi ; \pi].

α=π4\alpha = \dfrac{\pi}{4}
cos(π/4) = √2/2.
cos⁡x≥22\cos x \geq \dfrac{\sqrt{2}}{2} sur [−π4;π4]\left[-\dfrac{\pi}{4} ; \dfrac{\pi}{4}\right]
Le cosinus est au-dessus de √2/2 entre −π/4 et π/4.
[−π;−π4]∪[π4;π]\left[-\pi ; -\dfrac{\pi}{4}\right] \cup \left[\dfrac{\pi}{4} ; \pi\right]
On veut le contraire, bornes comprises.

À toi, guidé

À toi : f(x)=x+cos⁡xf(x) = x + \cos x. Que vaut f′(0)f'(0) ?

f′(0)=1−sin⁡0f'(0) = 1 - \sin 0
f'(x) = 1 − sin x.
11
sin 0 = 0.

Entraînement ★

  1. Combien de solutions l'équation cos⁡x=cos⁡π2\cos x = \cos\dfrac{\pi}{ 2 } a-t-elle sur [−π;π][-\pi ; \pi] ?
    1. Deux
    2. Une
    3. Une infinité
  2. Combien de solutions l'équation cos⁡x=cos⁡π4\cos x = \cos\dfrac{\pi}{ 4 } a-t-elle sur [−π;π][-\pi ; \pi] ?
    1. Deux
    2. Une
    3. Une infinité
  3. Combien de solutions l'équation cos⁡x=cos⁡π3\cos x = \cos\dfrac{\pi}{ 3 } a-t-elle sur [−π;π][-\pi ; \pi] ?
    1. Deux
    2. Une
    3. Une infinité

Attention !

Entraînement ★★

  1. f(x)=5cos⁡(2x)f(x) = 5\cos(2x). Calcule f′(x)f'(x).
  2. f(x)=3cos⁡(3x)f(x) = 3\cos(3x). Calcule f′(x)f'(x).
  1. Problème final. On étudie f(x)=4x−sin⁡(4x)f(x) = 4x - \sin(4x) sur R\mathbb{R}.
  1. f(x)=2sin⁡(5x)f(x) = 2\sin(5x). Calcule f′(x)f'(x).
  1. Sur [0;π][0 ; \pi], comment varie cos⁡\cos ?
    1. Elle est décroissante
    2. Elle est croissante
    3. Elle croît puis décroît

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. f(x)=5cos⁡(2x)f(x) = 5\cos(2x). Calcule f′(x)f'(x).
  2. f(x)=3cos⁡(3x)f(x) = 3\cos(3x). Calcule f′(x)f'(x).
  3. f(x)=5cos⁡(6x)f(x) = 5\cos(6x). Calcule f′(x)f'(x).

Fiche résumé

Équations trigonométriques

  • Sur [−π;π][-\pi ; \pi] : cos⁡x=cos⁡α  ⟺  x=±α\cos x = \cos\alpha \iff x = \pm\alpha.
  • On dérive avec sin⁡′=cos⁡\sin' = \cos, cos⁡′=−sin⁡\cos' = -\sin et on étudie le signe.

Attention : il y a en général deux solutions.

Corrigé: Fonctions sinus et cosinus

1. Fonctions sinus et cosinus : parité, périodicité, courbes

A

  1. 00
  2. 00
  3. 00

B

  1. Paire
  2. Paire
  3. Paire

C

  1. 110\frac{1}{10}

D

  1. 15\frac{1}{5}

E

  1. Paire
  2. Paire
  3. Paire

2. Dérivées de sinus et cosinus

A

  1. −5sin⁡(x)+3cos⁡(x)- 5 \sin{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(x \right)}
  2. −7sin⁡(x)+5cos⁡(x)- 7 \sin{\left(x \right)} + 5 \cos{\left(x \right)}
  3. −9sin⁡(x)+5cos⁡(x)- 9 \sin{\left(x \right)} + 5 \cos{\left(x \right)}

B

  1. 00
  2. 12\frac{1}{2}

C

  1. 4sin⁡(x)+44 \sin{\left(x \right)} + 4
  2. 8sin⁡(x)+48 \sin{\left(x \right)} + 4

D

  1. −5sin⁡(x)+3cos⁡(x)- 5 \sin{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(x \right)}
  2. −7sin⁡(x)+5cos⁡(x)- 7 \sin{\left(x \right)} + 5 \cos{\left(x \right)}
  3. −9sin⁡(x)+5cos⁡(x)- 9 \sin{\left(x \right)} + 5 \cos{\left(x \right)}

3. Équations cos x = a et étude de fonctions trigonométriques

A

  1. Deux
  2. Deux
  3. Deux

B

  1. −10sin⁡(2x)- 10 \sin{\left(2 x \right)}
  2. −9sin⁡(3x)- 9 \sin{\left(3 x \right)}

C

  1. 00

D

  1. 10cos⁡(5x)10 \cos{\left(5 x \right)}

E

  1. Elle est décroissante

F

  1. −10sin⁡(2x)- 10 \sin{\left(2 x \right)}
  2. −9sin⁡(3x)- 9 \sin{\left(3 x \right)}
  3. −30sin⁡(6x)- 30 \sin{\left(6 x \right)}