Exponentielles Wachstum und exponentielle Abnahme: Multiplizieren mit einem konstanten Faktor

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Jahrgangsstufe 10 › Exponentielles Wachstum und Logarithmus

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Exponentielles Wachstum und exponentielle Abnahme: Multiplizieren mit einem konstanten Faktor

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Zwei Teiche haben anfangs je 5 m² Algen. In Teich A wächst die Fläche jede Woche um 5 m². In Teich B verdoppelt sie sich jede Woche.

Nach 1 Woche haben beide 10 m². In welchem Teich sind nach 4 Wochen mehr Algen? Schätze zuerst.

  1. Teich A
  2. Teich B
  3. Gleich viele

Prüfe dann mit einer kleinen Tabelle für die Wochen 0 bis 4.

Die Grundidee

Wird eine Größe bei jedem Schritt mit demselben Faktor bb multipliziert, ändert sie sich exponentiell.

Anfangswert aa, Faktor bb pro Schritt: Nach nn Schritten ist der Bestand a⋅bna \cdot b^n

  • Für b>1b > 1 wächst die Größe (exponentielles Wachstum).
  • Für 0<b<10 < b < 1 nimmt sie ab (exponentieller Zerfall).
  • Wer pro Schritt p %p\,\% verliert, behält (100−p) %(100 - p)\,\%: Der Faktor ist 1−p1001 - \frac{p}{100}. Ein Zuwachs von p %p\,\% ergibt den Faktor 1+p1001 + \frac{p}{100}.

Beispiel

Ein Foto ist 1000 Pixel breit. Bei jeder Verkleinerung wird es auf 80 % seiner Breite gebracht. Wie breit ist es nach 3 Verkleinerungen?

W=1000⋅0,8⋅0,8⋅0,8W = 1000 \cdot 0{,}8 \cdot 0{,}8 \cdot 0{,}8
80 % behalten heißt jedes Mal mit 0,8 multiplizieren.
W=1000⋅0,83W = 1000 \cdot 0{,}8^3
Drei gleiche Faktoren ergeben eine Potenz.
W=512W = 512 Pixel
0,8³ = 0,512.

Du bist dran

Jetzt du: Eine Pflanze ist 3 cm hoch, und ihre Höhe verdreifacht sich jede Woche. Wie hoch ist sie nach 4 Wochen? Ergänze die fehlende Zeile.

h=3⋅34h = 3 \cdot 3^4
Bei 3 beginnen und viermal mit 3 multiplizieren.
h=243h = 243 cm
3⁴ = 81, und 3 · 81 = 243.

Üben ★

  1. Die Algenfläche beträgt anfangs 5 m² und wird jede Woche mit 4 multipliziert. Vervollständige die Tabelle.
  2. Die Algenfläche beträgt anfangs 2 m² und wird jede Woche mit 2 multipliziert. Vervollständige die Tabelle.
  1. Eine Kultur beginnt mit 7 Gramm Algen. Jede Woche wird die Menge mit 3 multipliziert. Wie viele Gramm sind es nach 3 Wochen?
  2. Eine Kultur beginnt mit 5 Gramm Algen. Jede Woche wird die Menge mit 2 multipliziert. Wie viele Gramm sind es nach 5 Wochen?
  3. Eine Kultur beginnt mit 3 Gramm Algen. Jede Woche wird die Menge mit 3 multipliziert. Wie viele Gramm sind es nach 5 Wochen?
  4. Eine Kultur beginnt mit 6 Gramm Algen. Jede Woche wird die Menge mit 5 multipliziert. Wie viele Gramm sind es nach 5 Wochen?
  5. Eine Kultur beginnt mit 5 Gramm Algen. Jede Woche wird die Menge mit 2 multipliziert. Wie viele Gramm sind es nach 3 Wochen?

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Ein Foto ist 8000 Pixel breit. Bei jeder Verkleinerung verliert seine Breite 40 %. Gib die Breite W(t)W(t) nach tt Verkleinerungen an.
  2. Ein Foto ist 2000 Pixel breit. Bei jeder Verkleinerung verliert seine Breite 30 %. Gib die Breite W(t)W(t) nach tt Verkleinerungen an.
  3. Ein Foto ist 2000 Pixel breit. Bei jeder Verkleinerung verliert seine Breite 25 %. Gib die Breite W(t)W(t) nach tt Verkleinerungen an.
  4. Ein Foto ist 8000 Pixel breit. Bei jeder Verkleinerung verliert seine Breite 10 %. Gib die Breite W(t)W(t) nach tt Verkleinerungen an.
  5. Ein Foto ist 4000 Pixel breit. Bei jeder Verkleinerung verliert seine Breite 30 %. Gib die Breite W(t)W(t) nach tt Verkleinerungen an.

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Ein Foto ist 8000 Pixel breit. Bei jeder Verkleinerung verliert seine Breite 40 %. Gib die Breite W(t)W(t) nach tt Verkleinerungen an.
  2. Ein Foto ist 2000 Pixel breit. Bei jeder Verkleinerung verliert seine Breite 30 %. Gib die Breite W(t)W(t) nach tt Verkleinerungen an.
  3. Ein Foto ist 2000 Pixel breit. Bei jeder Verkleinerung verliert seine Breite 25 %. Gib die Breite W(t)W(t) nach tt Verkleinerungen an.

Merkkarte

Exponentielle Änderung: bei jedem Schritt derselbe Faktor

  • Anfangswert aa, Faktor bb pro Schritt: nach nn Schritten a⋅bna \cdot b^n.
  • Zuwachs p %p\,\%: Faktor 1+p1001 + \frac{p}{100}. Abnahme p %p\,\%: Faktor 1−p1001 - \frac{p}{100}.

Achtung: Bei jedem Schritt denselben Betrag addieren ist linear, nicht exponentiell.

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Lösungen: Exponentielles Wachstum und exponentielle Abnahme: Multiplizieren mit einem konstanten Faktor

A

  1. 20,80,32020, 80, 320
  2. 4,8,164, 8, 16

B

  1. 189189
  2. 160160
  3. 729729
  4. 1875018750
  5. 4040

C

  1. 8000(35)t8000 \left(\frac{3}{5}\right)^{t}
  2. 2000(710)t2000 \left(\frac{7}{10}\right)^{t}
  3. 2000(34)t2000 \left(\frac{3}{4}\right)^{t}
  4. 8000(910)t8000 \left(\frac{9}{10}\right)^{t}
  5. 4000(710)t4000 \left(\frac{7}{10}\right)^{t}

D

  1. 8000(35)t8000 \left(\frac{3}{5}\right)^{t}
  2. 2000(710)t2000 \left(\frac{7}{10}\right)^{t}
  3. 2000(34)t2000 \left(\frac{3}{4}\right)^{t}

CC BY-SA 4.0