Exponentialgleichungen mit beliebiger Basis mithilfe von Logarithmen lösen

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Jahrgangsstufe 10 › Exponentielles Wachstum und Logarithmus

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Exponentialgleichungen mit beliebiger Basis mithilfe von Logarithmen lösen

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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$2^x = 8$ löst du im Kopf. Und $2^x = 7$ ?

Zwischen welchen zwei ganzen Zahlen liegt die Lösung? Wie könnten Logarithmen sie genau liefern?

Die Grundidee

So löst du $a \cdot b^x = c$ : die Potenz freistellen, auf beiden Seiten den Logarithmus anwenden und die Potenzregel nutzen.

b^x = k \iff x = \dfrac{\ln k}{\ln b} = \dfrac{\log k}{\log b}

(für

k > 0

)

Beispiel

Löse $3 \cdot 2^x = 21$ .

2^x = 7

Beide Seiten durch 3 teilen, um die Potenz freizustellen.

x \ln 2 = \ln 7

Auf beiden Seiten logarithmieren; Potenzregel.

x = \dfrac{\ln 7}{\ln 2} \approx 2{,}81

Durch ln 2 teilen.

Bringe die Schritte zum Lösen von $a \cdot b^x = c$ in die richtige Reihenfolge.

Potenzregel anwenden: $x \ln b = \ln \frac{c}{a}$
Durch $\ln b$ teilen
Auf beiden Seiten logarithmieren
Beide Seiten durch $a$ teilen

Du bist dran

Jetzt du: Löse $5^x = 12$ . Ergänze die fehlende Zeile.

x \ln 5 = \ln 12

Auf beiden Seiten logarithmieren; Potenzregel.

x = \dfrac{\ln 12}{\ln 5}

Durch ln 5 teilen.

Üben ★

Löse $6^x = 35$ . Gib die exakte Lösung mit natürlichen Logarithmen an.
Löse $2^x = 10$ . Gib die exakte Lösung mit natürlichen Logarithmen an.
Löse $7^x = 36$ . Gib die exakte Lösung mit natürlichen Logarithmen an.
Löse $4^x = 20$ . Gib die exakte Lösung mit natürlichen Logarithmen an.
Löse $2^x = 17$ . Gib die exakte Lösung mit natürlichen Logarithmen an.

Vorsicht!

Üben ★★

Löse $2\cdot 3^x = 48$ . Gib die exakte Lösung an.
Löse $6\cdot 4^x = 90$ . Gib die exakte Lösung an.
Löse $4\cdot 4^x = 30$ . Gib die exakte Lösung an.
Löse $6\cdot 5^x = 50$ . Gib die exakte Lösung an.
Löse $2\cdot 4^x = 72$ . Gib die exakte Lösung an.

Löse $4\cdot 2^x = 65$ Schritt für Schritt.
Löse $3\cdot 5^x = 63$ Schritt für Schritt.

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

Löse $2\cdot 3^x = 48$ . Gib die exakte Lösung an.
Löse $6\cdot 4^x = 90$ . Gib die exakte Lösung an.
Löse $4\cdot 4^x = 30$ . Gib die exakte Lösung an.

Merkkarte

$a \cdot b^x = c$ lösen

Potenz freistellen: $b^x = \dfrac{c}{a}$ .
Logarithmieren: $x \ln b = \ln \dfrac{c}{a}$ .
Teilen: $x = \dfrac{\ln(c/a)}{\ln b}$ .

Achtung: $a$ nie in die Basis hineinmultiplizieren.

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Lösungen: Exponentialgleichungen mit beliebiger Basis mithilfe von Logarithmen lösen

A

$\frac{\ln{\left(35 \right)}}{\ln{\left(6 \right)}}$
$\frac{\ln{\left(10 \right)}}{\ln{\left(2 \right)}}$
$\frac{\ln{\left(36 \right)}}{\ln{\left(7 \right)}}$
$\frac{\ln{\left(20 \right)}}{\ln{\left(4 \right)}}$
$\frac{\ln{\left(17 \right)}}{\ln{\left(2 \right)}}$

B

$\frac{\ln{\left(24 \right)}}{\ln{\left(3 \right)}}$
$\frac{\ln{\left(15 \right)}}{\ln{\left(4 \right)}}$
$\frac{\ln{\left(\frac{15}{2} \right)}}{\ln{\left(4 \right)}}$
$\frac{\ln{\left(\frac{25}{3} \right)}}{\ln{\left(5 \right)}}$
$\frac{\ln{\left(36 \right)}}{\ln{\left(4 \right)}}$

C

$\frac{\ln{\left(\frac{65}{4} \right)}}{\ln{\left(2 \right)}}$
$\frac{\ln{\left(21 \right)}}{\ln{\left(5 \right)}}$

D

$\frac{\ln{\left(24 \right)}}{\ln{\left(3 \right)}}$
$\frac{\ln{\left(15 \right)}}{\ln{\left(4 \right)}}$
$\frac{\ln{\left(\frac{15}{2} \right)}}{\ln{\left(4 \right)}}$

CC BY-SA 4.0