Asymptoten und Verschiebungen von Exponential- und Logarithmusgraphen

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Bewege die Regler und beobachte den Graphen von $y = a \cdot 2^x + k$ .

Der Graph von y = a · 2^x + k, der sich mit den Reglern für a und k verändert.

Was bewirkt $k$ ?

Es verschiebt den Graphen und seine waagrechte Asymptote nach oben oder unten
Es verschiebt nur den Schnittpunkt mit der y-Achse
Es macht den Graphen steiler

Die Grundidee

Verschiebungen nehmen die Asymptoten mit.

y = a \cdot b^{x} + k

hat die waagrechte Asymptote

y = k

.

y = \log_b(x - h) + k

hat die senkrechte Asymptote

x = h

und die Definitionsmenge

x > h

Eine Streckung in y-Richtung mit $a$ verschiebt eine waagrechte Asymptote nicht.

Beispiel

Beschreibe $y = 3 \cdot 2^x + 4$ .

Waagrechte Asymptote:

y = 4

Für x → −∞ geht 3 · 2^x gegen 0.

y-Achsenabschnitt:

3 + 4 = 7

Bei x = 0 ist 2⁰ = 1.

Du bist dran

Jetzt du: $y = \log_3(x - 2) + 5$ . Ergänze die fehlende Zeile.

Definitionsmenge:

x > 2

Das Argument x − 2 muss positiv sein.

Senkrechte Asymptote:

x = 2

Die Asymptote liegt dort, wo das Argument 0 ist.

Üben ★

Der Graph von $y = 3\cdot 4^x + 7$ hat die waagrechte Asymptote $y = c$ . Wie groß ist $c$ ?
Der Graph von $y = 8\cdot 5^x + 5$ hat die waagrechte Asymptote $y = c$ . Wie groß ist $c$ ?
Der Graph von $y = 2\cdot 3^x + 9$ hat die waagrechte Asymptote $y = c$ . Wie groß ist $c$ ?
Der Graph von $y = 6\cdot 5^x + 2$ hat die waagrechte Asymptote $y = c$ . Wie groß ist $c$ ?
Der Graph von $y = 7\cdot 2^x + 2$ hat die waagrechte Asymptote $y = c$ . Wie groß ist $c$ ?

Vorsicht!

Üben ★★

Zeichne den Graphen von $y = 1 \cdot 2^x + 3$ : Setze zwei Punkte und die Asymptote.
Zeichne den Graphen von $y = 1 \cdot 2^x + 1$ : Setze zwei Punkte und die Asymptote.

Der Graph von $y = \log_{ 4 }(x - 6) + 1$ hat die senkrechte Asymptote $x = c$ . Wie groß ist $c$ ?
Der Graph von $y = \log_{ 2 }(x - 4) + 8$ hat die senkrechte Asymptote $x = c$ . Wie groß ist $c$ ?
Der Graph von $y = \log_{ 2 }(x - 9) + 3$ hat die senkrechte Asymptote $x = c$ . Wie groß ist $c$ ?
Der Graph von $y = \log_{ 4 }(x - 9) + 5$ hat die senkrechte Asymptote $x = c$ . Wie groß ist $c$ ?
Der Graph von $y = \log_{ 4 }(x - 5) + 3$ hat die senkrechte Asymptote $x = c$ . Wie groß ist $c$ ?

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

Der Graph von $y = \log_{ 4 }(x - 6) + 1$ hat die senkrechte Asymptote $x = c$ . Wie groß ist $c$ ?
Der Graph von $y = \log_{ 2 }(x - 4) + 8$ hat die senkrechte Asymptote $x = c$ . Wie groß ist $c$ ?
Der Graph von $y = \log_{ 2 }(x - 9) + 3$ hat die senkrechte Asymptote $x = c$ . Wie groß ist $c$ ?

Merkkarte

Asymptoten nach Verschiebungen

$y = a \cdot b^{x} + k$ : waagrechte Asymptote $y = k$ .
$y = \log_b(x - h) + k$ : senkrechte Asymptote $x = h$ , Definitionsmenge $x > h$ .

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