Was ist ein Logarithmus? Logarithmen als Exponenten

Über diese Lektion

Jahrgangsstufe 10 › Exponentielles Wachstum und Logarithmus

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Was ist ein Logarithmus? Logarithmen als Exponenten

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Hier ist ein Teil einer Tabelle von Zehnerpotenzen: 100=110^0 = 1, 101=1010^1 = 10, 102=10010^2 = 100, 103=100010^3 = 1000.

Löse 10x=100010^x = 1000. Versuche nun 10x=5010^x = 50: Zwischen welchen zwei ganzen Zahlen liegt xx?

Die Grundidee

Ein Logarithmus ist ein Exponent. log⁡bx\log_b x beantwortet die Frage: „Mit welcher Hochzahl muss man bb potenzieren, um xx zu erhalten?“

log⁡bx=y  ⟺  by=x\log_b x = y \iff b^y = x (mit b>0b > 0, b≠1b \neq 1, x>0x > 0)

Ohne Basis bedeutet log⁡x\log x dasselbe wie log⁡10x\log_{10} x. Die Lösung von 10x=5010^x = 50 ist also x=log⁡50≈1,7x = \log 50 \approx 1{,}7.

Beispiel

Berechne log⁡232\log_2 32.

2y=322^{y} = 32
Frage: 2 hoch was ergibt 32?
y=5y = 5
2⁵ = 32.
log⁡232=5\log_2 32 = 5
Der Logarithmus ist also 5.

Du bist dran

Jetzt du: Berechne log⁡381\log_3 81. Ergänze die fehlende Zeile.

3y=813^{y} = 81
Frage: 3 hoch was ergibt 81?
log⁡381=4\log_3 81 = 4
3⁴ = 81.

Üben ★

  1. Berechne log⁡416\log_{ 4 } 16.
  2. Berechne log⁡525\log_{ 5 } 25.
  3. Berechne log⁡4256\log_{ 4 } 256.
  4. Berechne log⁡464\log_{ 4 } 64.
  5. Berechne log⁡28\log_{ 2 } 8.

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Ordne jeder Logarithmus-Aussage dieselbe Aussage als Potenz zu.
    1. log⁡8y=2\log_{ 8 } y = 2
    2. log⁡8y=3\log_{ 8 } y = 3
    3. log⁡8y=−1\log_{ 8 } y = -1
    4. log⁡8y=12\log_{ 8 } y = \tfrac{1}{2}
    1. y=82y = 8^{2}
    2. y=83y = 8^{3}
    3. y=18y = \dfrac{1}{ 8 }
    4. y=8y = \sqrt{ 8 }
  2. Ordne jeder Logarithmus-Aussage dieselbe Aussage als Potenz zu.
    1. log⁡3y=2\log_{ 3 } y = 2
    2. log⁡3y=3\log_{ 3 } y = 3
    3. log⁡3y=−1\log_{ 3 } y = -1
    4. log⁡3y=12\log_{ 3 } y = \tfrac{1}{2}
    1. y=32y = 3^{2}
    2. y=33y = 3^{3}
    3. y=13y = \dfrac{1}{ 3 }
    4. y=3y = \sqrt{ 3 }
  1. Löse 6x=216^x = 21. Gib die exakte Lösung mit einem Logarithmus an.
  2. Löse 7x=167^x = 16. Gib die exakte Lösung mit einem Logarithmus an.
  3. Löse 2x=312^x = 31. Gib die exakte Lösung mit einem Logarithmus an.
  4. Löse 7x=157^x = 15. Gib die exakte Lösung mit einem Logarithmus an.
  5. Löse 2x=372^x = 37. Gib die exakte Lösung mit einem Logarithmus an.

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Löse 6x=216^x = 21. Gib die exakte Lösung mit einem Logarithmus an.
  2. Löse 7x=167^x = 16. Gib die exakte Lösung mit einem Logarithmus an.
  3. Löse 2x=312^x = 31. Gib die exakte Lösung mit einem Logarithmus an.

Merkkarte

Logarithmen sind Exponenten

  • log⁡bx=y\log_b x = y bedeutet by=xb^y = x.
  • log⁡x\log x bedeutet log⁡10x\log_{10} x.
  • Die Lösung von bx=cb^x = c ist x=log⁡bcx = \log_b c.

Achtung: log⁡bx\log_b x ist nie x:bx : b.

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Lösungen: Was ist ein Logarithmus? Logarithmen als Exponenten

A

  1. 22
  2. 22
  3. 44
  4. 33
  5. 33

B

  1. log⁡8y=2\log_{ 8 } y = 2 → y=82y = 8^{2} · log⁡8y=3\log_{ 8 } y = 3 → y=83y = 8^{3} · log⁡8y=−1\log_{ 8 } y = -1 → y=18y = \dfrac{1}{ 8 } · log⁡8y=12\log_{ 8 } y = \tfrac{1}{2} → y=8y = \sqrt{ 8 }
  2. log⁡3y=2\log_{ 3 } y = 2 → y=32y = 3^{2} · log⁡3y=3\log_{ 3 } y = 3 → y=33y = 3^{3} · log⁡3y=−1\log_{ 3 } y = -1 → y=13y = \dfrac{1}{ 3 } · log⁡3y=12\log_{ 3 } y = \tfrac{1}{2} → y=3y = \sqrt{ 3 }

C

  1. ln⁡(21)ln⁡(6)\frac{\ln{\left(21 \right)}}{\ln{\left(6 \right)}}
  2. ln⁡(16)ln⁡(7)\frac{\ln{\left(16 \right)}}{\ln{\left(7 \right)}}
  3. ln⁡(31)ln⁡(2)\frac{\ln{\left(31 \right)}}{\ln{\left(2 \right)}}
  4. ln⁡(15)ln⁡(7)\frac{\ln{\left(15 \right)}}{\ln{\left(7 \right)}}
  5. ln⁡(37)ln⁡(2)\frac{\ln{\left(37 \right)}}{\ln{\left(2 \right)}}

D

  1. ln⁡(21)ln⁡(6)\frac{\ln{\left(21 \right)}}{\ln{\left(6 \right)}}
  2. ln⁡(16)ln⁡(7)\frac{\ln{\left(16 \right)}}{\ln{\left(7 \right)}}
  3. ln⁡(31)ln⁡(2)\frac{\ln{\left(31 \right)}}{\ln{\left(2 \right)}}

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