Logarithmengesetze: Produkt-, Quotienten- und Potenzregel

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Nutze, dass $\log_2 x$ der Exponent zur Basis 2 ist. Vergleiche $\log_2 4 + \log_2 8$ mit $\log_2 32$ .

Warum sind sie gleich? Tipp: $4 \cdot 8 = 32$ und $2^2 \cdot 2^3 = 2^{2+3}$ .

Die Grundidee

Logarithmen machen aus Multiplikation Addition, weil sich beim Multiplizieren von Potenzen die Exponenten addieren.

\log_b(MN) = \log_b M + \log_b N

;

\log_b \dfrac{M}{N} = \log_b M - \log_b N

;

\log_b(M^p) = p \cdot \log_b M

Das gilt für $M > 0$ und $N > 0$ .

Beispiel

Berechne $\log_6 4 + \log_6 9$ ohne Taschenrechner.

= \log_6(4 \cdot 9)

Produktregel.

Warum stimmt die erste Zeile?

Der Logarithmus eines Produkts ist die Summe der Logarithmen
Man darf im Logarithmus addieren
Die Logarithmen werden multipliziert

= \log_6 36

4 · 9 = 36.

= 2

6² = 36.

Du bist dran

Jetzt du: Berechne $2\log_3 6 - \log_3 4$ . Ergänze die fehlende Zeile.

= \log_3 36 - \log_3 4

Potenzregel: 2 log₃ 6 = log₃ 36.

= \log_3 9

Quotientenregel: 36 : 4 = 9.

= 2

3² = 9.

Üben ★

Welcher Term ist gleich $\log_{ 8 }(2 \cdot 7)$ ?
1. $\log_{ 8 } 2 + \log_{ 8 } 7$
2. $\log_{ 8 } 2 \cdot \log_{ 8 } 7$
3. $\log_{ 8 }(2 + 7)$
4. $7 \cdot \log_{ 8 } 2$
Welcher Term ist gleich $\log_{ 7 }(4 \cdot 9)$ ?
1. $\log_{ 7 } 4 + \log_{ 7 } 9$
2. $\log_{ 7 } 4 \cdot \log_{ 7 } 9$
3. $\log_{ 7 }(4 + 9)$
4. $9 \cdot \log_{ 7 } 4$
Welcher Term ist gleich $\log_{ 7 }(5 \cdot 3)$ ?
1. $\log_{ 7 } 5 + \log_{ 7 } 3$
2. $\log_{ 7 } 5 \cdot \log_{ 7 } 3$
3. $\log_{ 7 }(5 + 3)$
4. $3 \cdot \log_{ 7 } 5$

Berechne $\log_{ 10 } 20 + \log_{ 10 } 5$ ohne Taschenrechner.
Berechne $\log_{ 10 } 40 + \log_{ 10 } 25$ ohne Taschenrechner.
Berechne $\log_{ 10 } 50 + \log_{ 10 } 20$ ohne Taschenrechner.
Berechne $\log_{ 10 } 25 + \log_{ 10 } 4$ ohne Taschenrechner.
Berechne $\log_{ 6 } 12 + \log_{ 6 } 18$ ohne Taschenrechner.

Vorsicht!

Üben ★★

Berechne $2\log_{ 2 } 6 - \log_{ 2 } 9$ ohne Taschenrechner.
Berechne $2\log_{ 3 } 6 - \log_{ 3 } 4$ ohne Taschenrechner.
Berechne $2\log_{ 5 } 15 - \log_{ 5 } 9$ ohne Taschenrechner.
Berechne $2\log_{ 3 } 18 - \log_{ 3 } 12$ ohne Taschenrechner.
Berechne $2\log_{ 3 } 15 - \log_{ 3 } 75$ ohne Taschenrechner.

Schreibe $\log_{ 3 } x + 2\log_{ 3 } 4$ als einen einzigen Logarithmus.
Schreibe $\log_{ 6 } x + 2\log_{ 6 } 5$ als einen einzigen Logarithmus.
Schreibe $\log_{ 7 } x + 2\log_{ 7 } 4$ als einen einzigen Logarithmus.

Zerlege $\log_{ 8 }\left(\dfrac{x^{ 4 }}{y^{ 5 }}\right)$ : Schreibe ihn nur mit Logarithmen von $x$ und $y$ .
Zerlege $\log_{ 5 }\left(\dfrac{x^{ 5 }}{y^{ 3 }}\right)$ : Schreibe ihn nur mit Logarithmen von $x$ und $y$ .
Zerlege $\log_{ 8 }\left(\dfrac{x^{ 2 }}{y^{ 5 }}\right)$ : Schreibe ihn nur mit Logarithmen von $x$ und $y$ .

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

Berechne $2\log_{ 2 } 6 - \log_{ 2 } 9$ ohne Taschenrechner.
Berechne $2\log_{ 3 } 6 - \log_{ 3 } 4$ ohne Taschenrechner.
Berechne $2\log_{ 5 } 15 - \log_{ 5 } 9$ ohne Taschenrechner.

Merkkarte

Rechenregeln für Logarithmen ( $M, N > 0$ )

Produkt: $\log_b(MN) = \log_b M + \log_b N$ .
Quotient: $\log_b \frac{M}{N} = \log_b M - \log_b N$ .
Potenz: $\log_b(M^p) = p \cdot \log_b M$ .

Achtung: Für $\log_b(M + N)$ gibt es keine Regel.

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