Nullstellen von Polynomen und ihre Vielfachheit

Über diese Lektion

Jahrgangsstufe 10 › Ganzrationale Funktionen

Für ein PDF wähle im Druckdialog „Als PDF speichern“.

Nullstellen von Polynomen und ihre Vielfachheit

Aufwärmen

Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

Entdecken

p(x)=(x−2)(x+3)p(x) = (x - 2)(x + 3). Für welche xx ist p(x)=0p(x) = 0?

  1. x=2x = 2 und x=−3x = -3
  2. x=2x = 2 und x=3x = 3

Die Grundidee

Ein Produkt ist null, wenn einer seiner Faktoren null ist. Das liefert die Nullstellen eines faktorisierten Terms.

Der Faktor (x−r)m(x - r)^m ergibt die Nullstelle rr mit der Vielfachheit mm. Ist mm ungerade, schneidet der Graph die xx-Achse bei rr; ist mm gerade, berührt er sie und kehrt um.

Beispiel

Beschreibe die Nullstellen von p(x)=(x−1)2(x+4)p(x) = (x - 1)^2(x + 4).

x=1x = 1, Vielfachheit 2: Der Graph berührt die Achse
x − 1 = 0, und der Faktor ist quadriert.
x=−4x = -4, Vielfachheit 1: Der Graph schneidet sie
x + 4 = 0, der Faktor kommt einmal vor.

Du bist dran

Jetzt du: p(x)=(x+5)3(x−2)p(x) = (x + 5)^3(x - 2).

x=2x = 2, Vielfachheit 1
x − 2 = 0, einmal: Der Graph schneidet.
x=−5x = -5, Vielfachheit 3: Der Graph schneidet
x + 5 = 0: Gib die Nullstelle ein.

Üben ★

  1. Bestimme alle Nullstellen von p(x)=(x−4)(x+2)2p(x) = (x - 4)(x + 2)^2.
  2. Bestimme alle Nullstellen von p(x)=(x−5)(x+1)2p(x) = (x - 5)(x + 1)^2.
  3. Bestimme alle Nullstellen von p(x)=(x−9)(x+1)2p(x) = (x - 9)(x + 1)^2.
  4. Bestimme alle Nullstellen von p(x)=(x−3)(x+1)2p(x) = (x - 3)(x + 1)^2.

Vorsicht!

Üben ★★

  1. p(x)=(x−4)2(x+9)p(x) = (x - 4)^2(x + 9). Was macht der Graph von pp bei x=4x = 4?
    1. Er berührt die x-Achse und kehrt um
    2. Er schneidet die x-Achse
    3. Er erreicht die x-Achse nicht
  2. p(x)=(x−5)2(x+1)p(x) = (x - 5)^2(x + 1). Was macht der Graph von pp bei x=5x = 5?
    1. Er berührt die x-Achse und kehrt um
    2. Er schneidet die x-Achse
    3. Er erreicht die x-Achse nicht
  3. p(x)=(x−7)2(x+4)p(x) = (x - 7)^2(x + 4). Was macht der Graph von pp bei x=7x = 7?
    1. Er berührt die x-Achse und kehrt um
    2. Er schneidet die x-Achse
    3. Er erreicht die x-Achse nicht
  1. Welche Zahlen sind Nullstellen von p(x)=x(x−9)(x+7)p(x) = x(x - 9)(x + 7)? Kreuze alle an.
    1. 00
    2. 99
    3. −7-7
    4. −9-9
    5. 77
  2. Welche Zahlen sind Nullstellen von p(x)=x(x−2)(x+4)p(x) = x(x - 2)(x + 4)? Kreuze alle an.
    1. 00
    2. 22
    3. −4-4
    4. −2-2
    5. 44

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Bestimme alle Nullstellen von p(x)=(x−4)(x+2)2p(x) = (x - 4)(x + 2)^2.
  2. Bestimme alle Nullstellen von p(x)=(x−5)(x+1)2p(x) = (x - 5)(x + 1)^2.
  3. Bestimme alle Nullstellen von p(x)=(x−9)(x+1)2p(x) = (x - 9)(x + 1)^2.

Merkkarte

Nullstellen und Vielfachheit

  • (x−r)(x - r) ergibt die Nullstelle rr; (x+q)(x + q) ergibt die Nullstelle −q-q.
  • Ungerade Vielfachheit: Der Graph schneidet. Gerade: Er berührt und kehrt um.

Achtung: Auf das Vorzeichen achten: x+3=0x + 3 = 0 bedeutet x=−3x = -3.

Ende der Lektion

Nächste Lektion: Randverhalten und biquadratische Gleichungen Zurück zum Kapitel

Lösungen: Nullstellen von Polynomen und ihre Vielfachheit

A

  1. 4, −24,\ -2
  2. 5, −15,\ -1
  3. 9, −19,\ -1
  4. 3, −13,\ -1

B

  1. Er berührt die x-Achse und kehrt um
  2. Er berührt die x-Achse und kehrt um
  3. Er berührt die x-Achse und kehrt um

C

  1. 00 · 99 · −7-7
  2. 00 · 22 · −4-4

D

  1. 4, −24,\ -2
  2. 5, −15,\ -1
  3. 9, −19,\ -1

CC BY-SA 4.0