Randverhalten und biquadratische Gleichungen

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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$x^4 - 5x^2 + 4 = 0$ sieht schwierig aus. Setze $u = x^2$ . Welche Gleichung entsteht?

$x^4 = (x^2)^2 = u^2$ $x^{4} = (x^{2})^{2} = u^{2}$ . Das ist eine quadratische Gleichung." data-option="1"> $u^2 - 5u + 4 = 0$
$u = x^2$ $u = x^{2}$ ist $x^4 = u^2$ , nicht $u^4$ ." data-option="2"> $u^4 - 5u^2 + 4 = 0$

Die Grundidee

Zwei Werkzeuge für ganzrationale Funktionen: die höchste Potenz fürs Verhalten am Rand, die Substitution für biquadratische Gleichungen.

Randverhalten: Für $x \to \pm\infty$ bestimmt der Summand mit der höchsten Potenz $a_nx^n$ das Verhalten. Gerader Grad: beide Enden gleich gerichtet; ungerader Grad: entgegengesetzt. Das Vorzeichen von $a_n$ entscheidet, welche Richtung.

Biquadratische Gleichung $ax^4 + bx^2 + c = 0$ : Setze $u = x^2$ , löse $au^2 + bu + c = 0$ und substituiere zurück: Aus $u > 0$ wird $x = \pm\sqrt{u}$ ; $u < 0$ liefert keine Lösung.

Beispiel

Löse $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$ .

u^2 - 5u + 4 = 0

Substitution u = x².

(u - 1)(u - 4) = 0

, also

u = 1

oder

u = 4

Faktorisieren.

x = \pm 1

oder

x = \pm 2

Rücksubstitution.

Du bist dran

Jetzt du: Löse $x^4 - 10x^2 + 9 = 0$ . Die Werte von $u$ sind 1 und 9. Wie groß ist die größte Lösung $x$ ?

x = \pm 3

x² = 9.

3

Größte Lösung.

Üben ★

Löse $x^4 - 40x^2 + 144 = 0$ . Wie groß ist die größte Lösung?
Löse $x^4 - 34x^2 + 225 = 0$ . Wie groß ist die größte Lösung?

Für $x^4 - 37x^2 + 36 = 0$ setzt man $u = x^2$ . Wie groß ist der größere Wert von $u$ ?

Vorsicht!

Üben ★★

Wie viele reelle Lösungen hat $x^4 + 5x^2 + 2 = 0$ ?
1. Keine: Für alle $x$ ist der Term positiv
2. Vier
3. Zwei

Wie verhält sich $f(x) = -5x^3 + 3x^2 + 5$ am Rand?
1. Für $x \to +\infty$ geht $f(x) \to -\infty$ , für $x \to -\infty$ geht $f(x) \to +\infty$
2. Für $x \to +\infty$ geht $f(x) \to +\infty$ , für $x \to -\infty$ geht $f(x) \to -\infty$
3. Für $x \to \pm\infty$ geht $f(x) \to +\infty$

Abschlussaufgabe. Löse $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$ .

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

Löse $x^4 - 40x^2 + 144 = 0$ . Wie groß ist die größte Lösung?
Löse $x^4 - 34x^2 + 225 = 0$ . Wie groß ist die größte Lösung?
Löse $x^4 - 26x^2 + 25 = 0$ . Wie groß ist die größte Lösung?

Merkkarte

Randverhalten und Substitution

Die höchste Potenz bestimmt das Verhalten am Rand.
Grad und Vorzeichen von $a_n$ ablesen.
Biquadratisch: $u = x^2$ .

Achtung: Zurücksubstituieren; negatives $u$ liefert keine Lösung.

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