Kugelvolumen; Dichte

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Eine Kugel mit Radius $r$ passt genau in einen Zylinder mit Radius $r$ und Höhe $2r$ . Sie füllt $\dfrac{2}{3}$ davon. Wie groß ist ihr Volumen?

Nicht maßstabsgetreu

$\dfrac{4}{3}\pi r^3$
$4\pi r^2$

Die Grundidee

Die Kugel.

Eine Kugel mit Mittelpunkt $M$ und Radius $r$ besteht aus allen Punkten mit Abstand höchstens $r$ von $M$ ; ihre Oberfläche aus denen mit Abstand genau $r$ . Volumen: $V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$ . Oberflächeninhalt: $O = 4\pi r^2$ . Eine Ebene schneidet eine Kugel in einem Kreis.

Dichte = Masse : Volumen.

Beispiel

Eine Stahlkugel mit Radius 3 cm und der Dichte 7,8 g/cm³.

V = 36\pi \approx 113{,}1

cm³

(4/3)π · 27.

m \approx 7{,}8 \cdot 113{,}1 \approx 882

g

Masse = Dichte · Volumen.

Du bist dran

Jetzt du: eine Masse von 200 g bei einem Volumen von 50 cm³. Wie groß ist die Dichte?

4

g/cm³

200 : 50.

Üben ★

Berechne das Volumen einer Kugel mit Radius 5 cm (exakter Wert, mit $\pi$ ).Nicht maßstabsgetreu
Berechne das Volumen einer Kugel mit Radius 9 cm (exakter Wert, mit $\pi$ ).Nicht maßstabsgetreu

Ein Block hat die Masse 526 g und das Volumen 27 cm³. Berechne seine Dichte (in g/cm³).

Vorsicht!

Üben ★★

Berechne das Volumen einer Halbkugel mit Radius 3 cm (exakter Wert, mit $\pi$ ).
Berechne das Volumen einer Halbkugel mit Radius 5 cm (exakter Wert, mit $\pi$ ).

Abschlussaufgabe. Eine massive Metallkugel hat den Radius 7 cm. Das Metall hat die Dichte 6 g/cm³.

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

Berechne das Volumen einer Kugel mit Radius 5 cm (exakter Wert, mit $\pi$ ).Nicht maßstabsgetreu
Berechne das Volumen einer Kugel mit Radius 9 cm (exakter Wert, mit $\pi$ ).Nicht maßstabsgetreu
Berechne das Volumen einer Kugel mit Radius 8 cm (exakter Wert, mit $\pi$ ).Nicht maßstabsgetreu

Merkkarte

Kugel

$V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$ .
Dichte = Masse : Volumen.

Achtung: $r^3$ beim Volumen, $r^2$ bei der Oberfläche.

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