Bogenmaß und Bogenlänge

Über diese Lektion

Jahrgangsstufe 10 › Sinus- und Kosinusfunktion

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Bogenmaß und Bogenlänge

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Lege einen Faden, der so lang ist wie der Radius, auf den Rand eines Kreises. Der Winkel, den er am Mittelpunkt einschließt, ist bei jedem Kreis gleich. Wie viele solcher Winkel ergeben eine halbe Drehung?

  1. Etwa 3,14, also π\pi
  2. 180

Die Grundidee

Der Winkel, dessen Bogen so lang ist wie der Radius, hat im Bogenmaß die Größe 1.

180∘180^\circ entspricht π\pi. Gradmaß ins Bogenmaß: mal π180\dfrac{\pi}{180}. Bogenmaß ins Gradmaß: mal 180π\dfrac{180}{\pi}. Bogenlänge: b=r⋅xb = r \cdot x, mit xx im Bogenmaß.

Beispiel

Rechne 135∘135^\circ ins Bogenmaß um und bestimme den zugehörigen Bogen auf einem Kreis mit dem Radius 4 cm.

135⋅π180=3π4135 \cdot \dfrac{\pi}{180} = \dfrac{3\pi}{4}
Mal π/180.
b=4⋅3π4=3πb = 4 \cdot \dfrac{3\pi}{4} = 3\pi cm
b = r · x, x im Bogenmaß.

Du bist dran

Jetzt du: Rechne 5π6\dfrac{5\pi}{6} ins Gradmaß um.

5⋅1806\dfrac{5 \cdot 180}{6}
π durch 180° ersetzen.
=150∘= 150^\circ
900 : 6.

Üben ★

  1. Rechne 225∘225^\circ ins Bogenmaß um. Gib den exakten Wert an.
  2. Rechne 330∘330^\circ ins Bogenmaß um. Gib den exakten Wert an.
  3. Rechne 300∘300^\circ ins Bogenmaß um. Gib den exakten Wert an.
  4. Rechne 30∘30^\circ ins Bogenmaß um. Gib den exakten Wert an.
  5. Rechne 180∘180^\circ ins Bogenmaß um. Gib den exakten Wert an.

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Rechne π\pi ins Gradmaß um.
  2. Rechne 5π4\frac{5 \pi}{4} ins Gradmaß um.
  3. Rechne 3π3 \pi ins Gradmaß um.
  1. Ein Kreis hat den Radius 4 cm. Wie lang ist der Bogen zum Mittelpunktswinkel 3π4\frac{3 \pi}{4}? Gib den exakten Wert in cm an.
  2. Ein Kreis hat den Radius 8 cm. Wie lang ist der Bogen zum Mittelpunktswinkel 2π3\frac{2 \pi}{3}? Gib den exakten Wert in cm an.
  3. Ein Kreis hat den Radius 12 cm. Wie lang ist der Bogen zum Mittelpunktswinkel 5π6\frac{5 \pi}{6}? Gib den exakten Wert in cm an.

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Ein Kreis hat den Radius 4 cm. Wie lang ist der Bogen zum Mittelpunktswinkel 3π4\frac{3 \pi}{4}? Gib den exakten Wert in cm an.
  2. Ein Kreis hat den Radius 8 cm. Wie lang ist der Bogen zum Mittelpunktswinkel 2π3\frac{2 \pi}{3}? Gib den exakten Wert in cm an.
  3. Ein Kreis hat den Radius 12 cm. Wie lang ist der Bogen zum Mittelpunktswinkel 5π6\frac{5 \pi}{6}? Gib den exakten Wert in cm an.

Merkkarte

Bogenmaß

  • 180∘180^\circ entspricht π\pi.
  • Grad → Bogenmaß: ⋅π180\cdot \dfrac{\pi}{180}. Bogenmaß → Grad: ⋅180π\cdot \dfrac{180}{\pi}.
  • Bogenlänge: b=r⋅xb = r \cdot x, xx im Bogenmaß.

Achtung: Nie Grad in b=r⋅xb = r \cdot x einsetzen.

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Lösungen: Bogenmaß und Bogenlänge

A

  1. 5π4\frac{5 \pi}{4}
  2. 11π6\frac{11 \pi}{6}
  3. 5π3\frac{5 \pi}{3}
  4. π6\frac{\pi}{6}
  5. π\pi

B

  1. 180180
  2. 225225
  3. 540540

C

  1. 3π3 \pi
  2. 16π3\frac{16 \pi}{3}
  3. 10π10 \pi

D

  1. 3π3 \pi
  2. 16π3\frac{16 \pi}{3}
  3. 10π10 \pi

CC BY-SA 4.0