Sinus und Kosinus am Einheitskreis: besondere Winkel

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Jahrgangsstufe 10 › Sinus- und Kosinusfunktion

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Sinus und Kosinus am Einheitskreis: besondere Winkel

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Starte auf dem Kreis mit Radius 1 um den Ursprung bei (1∣0)(1|0) und drehe um den Winkel α\alpha. Du erreichst einen Punkt. Welcher ist es bei α=π2\alpha = \dfrac{\pi}{2}?

  1. (0∣1)(0|1)
  2. (1∣0)(1|0)

Die Grundidee

Der Einheitskreis hat den Radius 1. Die Drehung um α\alpha von (1∣0)(1|0) aus führt zu einem Punkt, den man mit Sinus und Kosinus benennt.

Der Punkt zum Winkel α\alpha ist (cos⁡α∣sin⁡α)(\cos\alpha|\sin\alpha): Der Kosinus ist die xx-Koordinate, der Sinus die yy-Koordinate. Besondere Winkel: cos⁡π6=32\cos\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}, sin⁡π6=12\sin\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2}; cos⁡π4=sin⁡π4=22\cos\dfrac{\pi}{4} = \sin\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}; cos⁡π3=12\cos\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}, sin⁡π3=32\sin\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}.

Beispiel

Bestimme sin⁡π3\sin\dfrac{\pi}{3} und cos⁡π3\cos\dfrac{\pi}{3}.

Der Punkt ist (12|32)\left(\dfrac{1}{2}\middle|\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)
π/3 entspricht 60°: Der Punkt liegt hoch und nah an der y-Achse.
cos⁡π3=12\cos\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}
Der Kosinus ist die x-Koordinate.
sin⁡π3=32\sin\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}
Der Sinus ist die y-Koordinate.

Du bist dran

Jetzt du: α=π6\alpha = \dfrac{\pi}{6}.

Der Punkt ist (32|12)\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\middle|\dfrac{1}{2}\right)
π/6 entspricht 30°: Der Punkt liegt tief und weit rechts.
sin⁡π6=12\sin\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2}
Die y-Koordinate.

Üben ★

  1. Bestimme den exakten Wert von cos⁡(π6)\cos\left(\frac{\pi}{6}\right).
  2. Bestimme den exakten Wert von cos⁡(π3)\cos\left(\frac{\pi}{3}\right).
  3. Bestimme den exakten Wert von cos⁡(π2)\cos\left(\frac{\pi}{2}\right).
  4. Bestimme den exakten Wert von cos⁡(0)\cos\left(0\right).

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Bestimme den exakten Wert von sin⁡(π2)\sin\left(\frac{\pi}{2}\right).
  2. Bestimme den exakten Wert von sin⁡(π6)\sin\left(\frac{\pi}{6}\right).
  3. Bestimme den exakten Wert von sin⁡(π3)\sin\left(\frac{\pi}{3}\right).
  4. Bestimme den exakten Wert von sin⁡(0)\sin\left(0\right).
  1. Ordne jedem Winkel seinen Punkt (cos⁡α∣sin⁡α)(\cos\alpha|\sin\alpha) am Einheitskreis zu.
    1. π6\dfrac{\pi}{6}
    2. π4\dfrac{\pi}{4}
    3. π3\dfrac{\pi}{3}
    4. π2\dfrac{\pi}{2}
    1. (32|12)\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\middle|\dfrac{1}{2}\right)
    2. (22|22)\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\middle|\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)
    3. (12|32)\left(\dfrac{1}{2}\middle|\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)
    4. (0∣1)(0|1)

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Bestimme den exakten Wert von sin⁡(π2)\sin\left(\frac{\pi}{2}\right).
  2. Bestimme den exakten Wert von sin⁡(π6)\sin\left(\frac{\pi}{6}\right).
  3. Bestimme den exakten Wert von sin⁡(π3)\sin\left(\frac{\pi}{3}\right).

Merkkarte

Der Einheitskreis

  • Der Punkt zum Winkel α\alpha ist (cos⁡α∣sin⁡α)(\cos\alpha|\sin\alpha).
  • π6\dfrac{\pi}{6}: (32|12)\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\middle|\dfrac{1}{2}\right); π4\dfrac{\pi}{4}: (22|22)\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\middle|\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right); π3\dfrac{\pi}{3}: (12|32)\left(\dfrac{1}{2}\middle|\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right).

Achtung: Kosinus ist xx, Sinus ist yy.

Ende der Lektion

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Lösungen: Sinus und Kosinus am Einheitskreis: besondere Winkel

A

  1. 32\frac{\sqrt{3}}{2}
  2. 12\frac{1}{2}
  3. 00
  4. 11

B

  1. 11
  2. 12\frac{1}{2}
  3. 32\frac{\sqrt{3}}{2}
  4. 00

C

  1. π6\dfrac{\pi}{6} → (32|12)\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\middle|\dfrac{1}{2}\right) · π4\dfrac{\pi}{4} → (22|22)\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\middle|\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) · π3\dfrac{\pi}{3} → (12|32)\left(\dfrac{1}{2}\middle|\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) · π2\dfrac{\pi}{2} → (0∣1)(0|1)

D

  1. 11
  2. 12\frac{1}{2}
  3. 32\frac{\sqrt{3}}{2}

CC BY-SA 4.0