Kosinus und Sinus einer reellen Zahl

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Jahrgangsstufe 10 › Sinus- und Kosinusfunktion

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Kosinus und Sinus einer reellen Zahl

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Der Punkt P(x)P(x) hat die Koordinaten (cos⁡x∣sin⁡x)(\cos x|\sin x). Wie groß ist cos⁡0\cos 0?

  1. 11
  2. 00

Die Grundidee

Der Einheitskreis legt Sinus und Kosinus für jede reelle Zahl fest.

P(x)P(x) hat die x-Koordinate cos⁡x\cos x und die y-Koordinate sin⁡x\sin x. Also gilt (cos⁡x)2+(sin⁡x)2=1(\cos x)^2 + (\sin x)^2 = 1, und beide Werte liegen zwischen −1-1 und 11.

cos⁡π6=32\cos\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}, sin⁡π6=12\sin\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2}; cos⁡π4=sin⁡π4=22\cos\dfrac{\pi}{4} = \sin\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}; cos⁡π3=12\cos\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}, sin⁡π3=32\sin\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}. Außerdem: cos⁡(π−x)=−cos⁡x\cos(\pi - x) = -\cos x und sin⁡(π−x)=sin⁡x\sin(\pi - x) = \sin x.

Beispiel

Berechne cos⁡2π3\cos\dfrac{2\pi}{3}.

cos⁡(π−π3)\cos\left(\pi - \dfrac{\pi}{3}\right)
2π/3 = π − π/3.
−cos⁡π3=−12-\cos\dfrac{\pi}{3} = -\dfrac{1}{2}
Spiegelung an der y-Achse.

Du bist dran

Jetzt du: Wie groß ist sin⁡π2\sin\dfrac{\pi}{2}?

11
Punkt (0|1).

Üben ★

  1. Für welchen Wert gilt cos⁡x=0\cos x = 0 und sin⁡x=1\sin x = 1?
    1. π2\dfrac{\pi}{2}
    2. 00
    3. π\pi
  2. Für welchen Wert gilt cos⁡x=0\cos x = 0 und sin⁡x=1\sin x = 1?
    1. π2\dfrac{\pi}{2}
    2. 00
    3. π\pi
  3. Für welchen Wert gilt cos⁡x=0\cos x = 0 und sin⁡x=1\sin x = 1?
    1. π2\dfrac{\pi}{2}
    2. 00
    3. π\pi

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Es gilt cos⁡x=35\cos x = \dfrac{3}{5} und sin⁡x>0\sin x > 0. Berechne sin⁡x\sin x.
  1. Abschlussaufgabe. Der Punkt P(π−π4)P\left(\pi - \dfrac{\pi}{ 4 }\right) wird am Einheitskreis eingezeichnet.
  1. Wie groß ist cos⁡π3\cos\dfrac{\pi}{3}?
    1. 12\dfrac{1}{2}
    2. 32\dfrac{\sqrt{3}}{2}
    3. 0
  1. Es gilt (sin⁡x)2=0,3(\sin x)^2 = 0{,}3. Wie groß ist (cos⁡x)2(\cos x)^2?

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Für welchen Wert gilt cos⁡x=0\cos x = 0 und sin⁡x=1\sin x = 1?
    1. π2\dfrac{\pi}{2}
    2. 00
    3. π\pi
  2. Für welchen Wert gilt cos⁡x=0\cos x = 0 und sin⁡x=1\sin x = 1?
    1. π2\dfrac{\pi}{2}
    2. 00
    3. π\pi
  3. Für welchen Wert gilt cos⁡x=0\cos x = 0 und sin⁡x=1\sin x = 1?
    1. π2\dfrac{\pi}{2}
    2. 00
    3. π\pi

Merkkarte

Kosinus und Sinus

  • P(x)=(cos⁡x∣sin⁡x)P(x) = (\cos x|\sin x).
  • (cos⁡x)2+(sin⁡x)2=1(\cos x)^2 + (\sin x)^2 = 1.

Achtung: Den Punkt immer am Kreis einzeichnen.

Ende der Lektion

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Lösungen: Kosinus und Sinus einer reellen Zahl

A

  1. π2\dfrac{\pi}{2}
  2. π2\dfrac{\pi}{2}
  3. π2\dfrac{\pi}{2}

B

  1. 45\frac{4}{5}

C

  1. 00

D

  1. 12\dfrac{1}{2}

E

  1. 710\frac{7}{10}

F

  1. π2\dfrac{\pi}{2}
  2. π2\dfrac{\pi}{2}
  3. π2\dfrac{\pi}{2}

CC BY-SA 4.0