Bezugswinkel und Vorzeichen in den Quadranten

Über diese Lektion

Jahrgangsstufe 10 › Sinus- und Kosinusfunktion

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Bezugswinkel und Vorzeichen in den Quadranten

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Der Punkt bei 150∘150^\circ ist das Spiegelbild des Punkts bei 30∘30^\circ an der yy-Achse. Wie groß ist cos⁡150∘\cos 150^\circ?

  1. −32-\dfrac{\sqrt{3}}{2}
  2. 32\dfrac{\sqrt{3}}{2}

Die Grundidee

Jeder Winkel hat einen Bezugswinkel: den spitzen Winkel zwischen seinem Schenkel und der xx-Achse.

sin⁡\sin und cos⁡\cos eines Winkels haben denselben Betrag wie beim Bezugswinkel; der Quadrant bestimmt das Vorzeichen. I. Quadrant: beide positiv. II.: sin⁡>0\sin > 0, cos⁡<0\cos < 0. III.: beide negativ. IV.: sin⁡<0\sin < 0, cos⁡>0\cos > 0.

Beispiel

Bestimme sin⁡225∘\sin 225^\circ.

III. Quadrant
225° liegt zwischen 180° und 270°.
Bezugswinkel: 225∘−180∘=45∘225^\circ - 180^\circ = 45^\circ
Von 180° aus messen.
sin⁡225∘=−22\sin 225^\circ = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}
sin 45° = √2/2, und der Sinus ist im III. Quadranten negativ.

Du bist dran

Jetzt du: cos⁡300∘\cos 300^\circ.

Bezugswinkel: 360∘−300∘=60∘360^\circ - 300^\circ = 60^\circ
300° liegt zwischen 270° und 360°: IV. Quadrant.
cos⁡300∘=12\cos 300^\circ = \dfrac{1}{2}
cos 60° = 1/2, und der Kosinus ist im IV. Quadranten positiv.

Üben ★

  1. Wie groß ist der Bezugswinkel von 200∘200^\circ in Grad?
  2. Wie groß ist der Bezugswinkel von 240∘240^\circ in Grad?
  3. Wie groß ist der Bezugswinkel von 250∘250^\circ in Grad?

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Bestimme den exakten Wert von cos⁡(5π4)\cos\left(\frac{5 \pi}{4}\right).
  2. Bestimme den exakten Wert von cos⁡(4π3)\cos\left(\frac{4 \pi}{3}\right).
  3. Bestimme den exakten Wert von cos⁡(2π3)\cos\left(\frac{2 \pi}{3}\right).
  4. Bestimme den exakten Wert von cos⁡(7π4)\cos\left(\frac{7 \pi}{4}\right).
  1. In welchem Quadranten gilt sin⁡α<0\sin\alpha < 0 und cos⁡α>0\cos\alpha > 0?
    1. II. Quadrant
    2. III. Quadrant
    3. IV. Quadrant

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Bestimme den exakten Wert von cos⁡(5π4)\cos\left(\frac{5 \pi}{4}\right).
  2. Bestimme den exakten Wert von cos⁡(4π3)\cos\left(\frac{4 \pi}{3}\right).
  3. Bestimme den exakten Wert von cos⁡(2π3)\cos\left(\frac{2 \pi}{3}\right).

Merkkarte

Bezugswinkel

  1. Den Quadranten bestimmen.
  2. Bezugswinkel: spitzer Winkel zur xx-Achse (180∘−α180^\circ - \alpha, α−180∘\alpha - 180^\circ oder 360∘−α360^\circ - \alpha).
  3. Wert des Bezugswinkels mit dem Vorzeichen des Quadranten.

Achtung: Der Kosinus ist links negativ (II, III), der Sinus unten (III, IV).

Ende der Lektion

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Lösungen: Bezugswinkel und Vorzeichen in den Quadranten

A

  1. 2020
  2. 6060
  3. 7070

B

  1. −22- \frac{\sqrt{2}}{2}
  2. −12- \frac{1}{2}
  3. −12- \frac{1}{2}
  4. 22\frac{\sqrt{2}}{2}

C

  1. IV. Quadrant

D

  1. −22- \frac{\sqrt{2}}{2}
  2. −12- \frac{1}{2}
  3. −12- \frac{1}{2}

CC BY-SA 4.0