Sinus- und Kosinusfunktion: Symmetrie, Periode, Graphen

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Jahrgangsstufe 10 › Sinus- und Kosinusfunktion

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Sinus- und Kosinusfunktion: Symmetrie, Periode, Graphen

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Am Einheitskreis liegen die Punkte zu xx und zu −x-x symmetrisch zur x-Achse. Was folgt für cos⁡(−x)\cos(-x)?

  1. cos⁡(−x)=cos⁡x\cos(-x) = \cos x
  2. cos⁡(−x)=−cos⁡x\cos(-x) = -\cos x

Die Grundidee

Der Einheitskreis zeigt die Symmetrien der beiden Graphen.

Periodizität: sin⁡(x+2π)=sin⁡x\sin(x + 2\pi) = \sin x und cos⁡(x+2π)=cos⁡x\cos(x + 2\pi) = \cos x. Beide Funktionen haben die Periode 2π2\pi.

Symmetrie: cos⁡(−x)=cos⁡x\cos(-x) = \cos x: Der Graph des Kosinus ist achsensymmetrisch zur y-Achse. sin⁡(−x)=−sin⁡x\sin(-x) = -\sin x: Der Graph des Sinus ist punktsymmetrisch zum Ursprung.

Beispiel

Berechne sin⁡(13π6)\sin\left(\dfrac{13\pi}{6}\right).

13π6=π6+2π\dfrac{13\pi}{6} = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi
13π/6 = π/6 + 2π.
sin⁡(13π6)=sin⁡π6\sin\left(\dfrac{13\pi}{6}\right) = \sin\dfrac{\pi}{6}
Der Sinus hat die Periode 2π.
sin⁡(13π6)=12\sin\left(\dfrac{13\pi}{6}\right) = \dfrac{1}{2}
Besonderer Wert.

Du bist dran

Jetzt du: Es ist sin⁡π2=1\sin\dfrac{\pi}{2} = 1. Wie groß ist sin⁡(−π2)\sin\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)?

−1-1
Der Sinus ist punktsymmetrisch.

Üben ★

  1. Es gilt sin⁡a=0,9\sin a = 0{,}9. Wie groß ist sin⁡(a+2π)+sin⁡(−a)\sin(a + 2\pi) + \sin(-a)?
  2. Es gilt sin⁡a=0,4\sin a = 0{,}4. Wie groß ist sin⁡(a+2π)+sin⁡(−a)\sin(a + 2\pi) + \sin(-a)?
  3. Es gilt sin⁡a=0,8\sin a = 0{,}8. Wie groß ist sin⁡(a+2π)+sin⁡(−a)\sin(a + 2\pi) + \sin(-a)?

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Ist der Graph von f(x)=3cos⁡xf(x) = 3\cos x achsensymmetrisch zur y-Achse, punktsymmetrisch zum Ursprung oder keins von beiden?
    1. Achsensymmetrisch zur y-Achse
    2. Punktsymmetrisch zum Ursprung
    3. Keins von beiden
  2. Ist der Graph von f(x)=6cos⁡xf(x) = 6\cos x achsensymmetrisch zur y-Achse, punktsymmetrisch zum Ursprung oder keins von beiden?
    1. Achsensymmetrisch zur y-Achse
    2. Punktsymmetrisch zum Ursprung
    3. Keins von beiden
  3. Ist der Graph von f(x)=8cos⁡xf(x) = 8\cos x achsensymmetrisch zur y-Achse, punktsymmetrisch zum Ursprung oder keins von beiden?
    1. Achsensymmetrisch zur y-Achse
    2. Punktsymmetrisch zum Ursprung
    3. Keins von beiden
  1. Es gilt cos⁡x=0,1\cos x = 0{,}1. Wie groß ist cos⁡(x+2π)\cos(x + 2\pi)?
  1. Es gilt cos⁡a=0,2\cos a = 0{,}2. Wie groß ist cos⁡(−a)\cos(-a)?

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Ist der Graph von f(x)=3cos⁡xf(x) = 3\cos x achsensymmetrisch zur y-Achse, punktsymmetrisch zum Ursprung oder keins von beiden?
    1. Achsensymmetrisch zur y-Achse
    2. Punktsymmetrisch zum Ursprung
    3. Keins von beiden
  2. Ist der Graph von f(x)=6cos⁡xf(x) = 6\cos x achsensymmetrisch zur y-Achse, punktsymmetrisch zum Ursprung oder keins von beiden?
    1. Achsensymmetrisch zur y-Achse
    2. Punktsymmetrisch zum Ursprung
    3. Keins von beiden
  3. Ist der Graph von f(x)=8cos⁡xf(x) = 8\cos x achsensymmetrisch zur y-Achse, punktsymmetrisch zum Ursprung oder keins von beiden?
    1. Achsensymmetrisch zur y-Achse
    2. Punktsymmetrisch zum Ursprung
    3. Keins von beiden

Merkkarte

Sinus und Kosinus

  • Periode 2π2\pi.
  • Kosinus achsensymmetrisch, Sinus punktsymmetrisch.
  • Werte zwischen −1-1 und 11.

Achtung: Symmetrie betrifft −x-x, Periodizität betrifft x+2πx + 2\pi.

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Lösungen: Sinus- und Kosinusfunktion: Symmetrie, Periode, Graphen

A

  1. 00
  2. 00
  3. 00

B

  1. Achsensymmetrisch zur y-Achse
  2. Achsensymmetrisch zur y-Achse
  3. Achsensymmetrisch zur y-Achse

C

  1. 110\frac{1}{10}

D

  1. 15\frac{1}{5}

E

  1. Achsensymmetrisch zur y-Achse
  2. Achsensymmetrisch zur y-Achse
  3. Achsensymmetrisch zur y-Achse

CC BY-SA 4.0